湖北省荆州市石首高基庙中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据三棱锥的正视图和俯视图确定三棱锥的侧视图，根据侧视图的结构计算面积即可．
【解答】解：取BD的中点E，连结CE，AE，
∵平面ABD⊥平面CBD，
∴CE⊥AE，
∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，
∵BD=，∴CE=AE=，
∴△CEA的面积S=，
故选：B．
【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，根据三棱锥的结构得到三棱锥的侧视图是解决本题的关键．
2. 如图，空间四边形中，分别是直线上的点，如果，则点在直线（ ）上.
A． B． C． D．
参考答案：
C
3. 如果满足∠ABC=60°, AC=12, BC=k的△ABC恰有一个, 那么k的取值范围是
(A)k=8 (B)0＜k≤12 (C)k≥12 (D)0＜k≤12或k=8
参考答案：
D
4. 函数在处的导数的几何意义是
A、在点处的函数值
B、在点处的切线与轴所夹锐角的正切值
C、曲线在点处的切线的斜率
D、点与点（0，0）连线的斜率
参考答案：
C
5. 设若的最小值
A． B． C． D．8
参考答案：
A
6. 等比数列的前项和48，60，则 （ ）
（A）63 （B）64 （C）66 （D）75
参考答案：
A
7. 函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D） 3
参考答案：
C
由已知，周期
9. 已知点A(1,3)、B(5,2)，点P在x轴上，使|AP|–|BP|取得最大值时P的坐标（ ）
A. （4,0） B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)
参考答案：
B
10. 设变量满足，则的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D.
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于函数f（x）给出定义：
设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．
某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算
= ．
参考答案：
2016
【考点】导数的运算；函数的值．
【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．
【解答】解：由，
∴f′（x）=x2﹣x+3，
所以f″（x）=2x﹣1，由f″（x）=0，得x=．
∴f（x）的对称中心为（，1），
∴f（1﹣x）+f（x）=2，
故设f（）+f（）+f（）+…+f（）=m，
则f（）+f（）+…+f（）=m，
两式相加得2×2016=2m，
则m=2016，
故答案为：2016．
12. 已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为____________。
参考答案：
－4
略
13. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为，且用料最省，则此圆柱的底面半径为____________.
参考答案：
略
14. 设P:；Q：，若P是Q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_________.
参考答案：
0a1/2
略
15. 某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”的环节中，共为选手准备了A、B、C三类不同的题目，选手每答对一个A类、B类或C类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应要扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手甲答对A类、B类或C类题目的概率分别为0.6、0.75、0.85，若腰每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为 （填A、B或C）
参考答案：
B
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．
【分析】分别求出甲答A，B，C三种题目类型的均分，由此能求出结果．
【解答】解：选手甲选择A类题目，得分的均值为：0.6×300+0.4×（﹣300）=60，
选手甲选择B类题目，得分的均值为：0.75×200+0.25×（﹣200）=100，
选手甲选择C类题目，得分的均值为：0.85×100+0.15×（﹣100）=70，
∴若要每一次答题的均分更大一些，则选手甲应选择的题目类型应为B．
故答案为：B．
16. 已知复数是虚数单位，则复数的虚部是 .
参考答案：
7/10
17. 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为
A.18 B.24 C. 36 D. 48
参考答案：
C
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆C的左，右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线l的斜率为，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M,求证：为定值.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【分析】
（Ⅰ）根据，可得，再根据离心率求出，即可求出椭圆方程，
（Ⅱ）由题意可知，直线的方程为，根据韦达定理和弦长公式求出，再求出直线的方程可得的坐标，即可求出，问题得以证明．
【详解】（Ⅰ）由：，令可得，则，
则 ，可得
∵，∴，，
∴
∴椭圆的方程为．
证明：（Ⅱ）由题意可知，直线的方程为，
由，可得
设，，
∴，，
∴，
设的中点为，则，
则的过程为，
令，可得，
∴，
∵ ，
∴为定值．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19. 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB = 4，AD = 2，A1A = 2，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E = λ EC1（λ为实数）．
（1）求二面角D1 - AC - D的余弦值；
（2）当λ =时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；
（3）求证：直线与直线不可能垂直．
参考答案：
（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
则
，．
设平面的法向量为，
则．
即．令，则．
∴平面的一个法向量．
又平面的一个法向量为．
故，
即二面角的余弦值为．
（2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），．
所以．
因为 ，所以为锐角，
从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．
（3）假设，则．
∵，
∴，．
∴．化简得．
该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．
20. (本小题满分12分)
（1）计算（6分）ks5u
（2）已知复数z1满足(1+i)z-1=－1+5i， z-2=a－2－i， 其中i为虚数单位，a∈R，
若<|z1|，求a的取值范围.（6分）
参考答案：
解：（1）
………………6分
（2）解：由题意得 z1==2+3i，ks5u
于是==，=.
<，
得a2－8a+7<0，1
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