湖北省荆门市石化中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析

湖北省荆门市石化中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，则(    ) A． B． C． D． 参考答案： C 试题分析：, 考点：集合的运算 2. 设集合，，，则（    ） A．          B．          C．             D．    参考答案： 答案：B 解析：分别算出和，容易知道选B 3. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（    ） A．        B．       C.           D． 参考答案： C 几何体是正方体被切去了个球,如下图所示,则几何体表面积为，故选. 4. 成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（　　） A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 参考答案： A 【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】应用题；函数的性质及应用． 【分析】设仓库应建在离车站x千米处，由仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，利用给出的x=10及对应的费用求出比例系数，得到y1，y2关于x的函数关系式， 写出这两项费用之和，由基本不等式求最值． 【解答】解：设仓库应建在离车站x千米处． ∵仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比， 令反比例系数为m（m＞0），则， 当x=10时，=2，∴m=20； ∵每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比， 令正比例系数为n（n＞0），则y2=nx， 当x=10时，y2=10n=8，∴n=． ∴两项费用之和： y=y1+y2=≥2=8（万元）． 当且仅当，即x=5时，取等号． ∴仓库应建在离车站5千米处，可使这两项费用之和最小，为8万元． 故选：A． 【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答此题的关键对题意的理解，通过题意求出比例系数，是中档题． 5. 已知sin＝，则cos(π＋2α)的值为(　　)． A．－          B. －           C.         D． 参考答案： B 6. 若函数f（x）=ex+x2﹣ax在区间（0，+∞）上存在减区间，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（2，+∞） 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；导数的综合应用． 【分析】求导f′（x）=ex+2x﹣a，从而可得f′（x）=ex+2x﹣a＜0在区间（0，+∞）上有解，再由其单调性确定答案即可． 【解答】解：∵f（x）=ex+x2﹣ax， ∴f′（x）=ex+2x﹣a； ∵函数f（x）=ex+x2﹣ax在区间（0，+∞）上存在减区间， ∴f′（x）=ex+2x﹣a＜0在区间（0，+∞）上有解， 又∵f′（x）=ex+2x﹣a在（0，+∞）上是增函数， ∴f′（0）=e0+2?0﹣a=1﹣a＜0， ∴a＞1； 故选：B． 【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用． 7. 设函数的定义域为D，如果对于任意的，存在唯一的，使得成立（其中C为常数），则称函数在D上的“算术均值”为C，则下列函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是           A．                  B．            C．                D． 参考答案： C 8. 一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A．200＋9π      B．200＋18π      C．140＋9π      D．140＋18π 参考答案： A 9. 如图所示，程序框图的输出值S=（　　） A．21 B．15 C．28 D．﹣21 参考答案： D 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=7时不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为﹣21． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S=0，i=1 满足条件i≤6，不满足条件i是偶数，S=1，i=2 满足条件i≤6，满足条件i是偶数，S=﹣3，i=3 满足条件i≤6，不满足条件i是偶数，S=6，i=4 满足条件i≤6，满足条件i是偶数，S=﹣10，i=5 满足条件i≤6，不满足条件i是偶数，S=15，i=6 满足条件i≤6，满足条件i是偶数，S=﹣21，i=7 不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为﹣21． 故选：D． 10. 已知的最小值是5，则z的最大值是（    ）        A．10                      B．12                       C．14                      D．15 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点A（-1，0）且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为       参考答案： 2x-y+2=0 12. 设等差数列的前n项和为，若，则       . 参考答案： 略 13. 随机地在棱长为1的正方体内部取一个点P， 满足的概率是      参考答案： 略 14. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣10.3]=﹣11，定义函数{x}=x﹣[x]，那么下列结论中正确的序号是　　． ①函数{x}的定义域为R，值域为[0，1]； ②方程有无数解； ③函数{x}是周期函数； ④函数{x}在[n，n+1]（n∈Z）是增函数． 参考答案： ②③ 【考点】函数的概念及其构成要素． 【分析】此题为函数定义方面的创新题， 【解答】①当 x 取整数时，{x}=0 恒成立．当 x∈（n，n+1）（n∈Z） 时，{x}不可能取到 1．{x}函数值域为[0，1）．故①不正确． ②当取 x=n+，且 n 为正整数时，{x}=x﹣[x]=n+﹣n=，故这样的正整数n有无数多个，所以②正确． ③因为{x+1}=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]={x}，故函数{x}是周期为1的函数．所以③正确； ④函数定义域为R，取 n 为正整数．当 x=n 时，{x}=n﹣[n]=0； 当 x=n+1 时，{x}=n+1﹣[n+1]=0； 所以{x}在区间[n，n+1]（n∈Z）不是增函数． 15. 已知函数，且在处的切线与直线垂直，则a=          ． 参考答案： 1 函数，求导得：. 在处的切线斜率为. 解得.   16. 在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1．再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是　　． 参考答案： 6x﹣8y+1=0 【考点】直线的一般式方程． 【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆． 【分析】利用直线的平移变换、直线的对称性即可得出． 【解答】解：设直线l的方程为：y=kx+b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y=k（x﹣3）+5+b，化为y=kx+b+5﹣3k， 再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，y=k（x﹣3﹣1）+b+5﹣2，化为y=kx+3﹣4k+b． 又与直线l重合． ∴b=3﹣4k+b，解得k=． ∴直线l的方程为：y=x+b，直线l1为：y=x++b， 设直线l上的一点P（m，b+），则点P关于点（2，3）的对称点P′（4﹣m，6﹣b﹣m）， ∴6﹣b﹣m=（4﹣m）+b+，解得b=． ∴直线l的方程是y=x+，化为：6x﹣8y+1=0． 故答案为：6x﹣8y+1=0． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质、直线的平移变换、直线的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表．   的导函数的图象如图所示． 下列关于函数的命题： ①函数是周期函数； ②函数在是减函数； ③如果当时，的最大值是2， 那么的最大值为4； ④当时，函数有4个零点． 其中真命题有_____________(写序号) 参考答案： ② 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （Ⅰ）当,且时,求的值． （Ⅱ）是否存在实数,使得函数的定义域、值域都是,若存在,则求出的值；若不存在,请说明理由． 参考答案： 解：（1）因为时，，所以在区间上单调递增，因为时，，所以在区间（0，1）上单调递减． 所以当，且时有，，…………………4分 所以，故； …………………………………………………6分 （2）不存在． 因为当时，在区间上单调递增， 所以的值域为； 而，……………… 10分 所以在区间上的值域不是． 故不存在实数，使得函数的定义域、值域都是………12分 19. （本小题 14 分）    如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点. (Ⅰ) 求证：∥平面； （Ⅱ）求证：平面⊥平面； （Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.   参考答案： (Ⅰ) 证明： 取中点为，连. ……1分 ∵ 是的中点  ∴是的中位线, ∴ .  ∵ 是中点且是菱形， ∴, ∴ . ∴       ∴ 四边形是平行四边形.  从而 .  …… 3分     ∵ 平面 ,平面,       ∴  ∥平面          ………………………………4分                                                      ………………………………8分   ∵平面  ∴ 平面⊥平面  .  ………………………………9分        说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）也可用向量法证.   ……10分 由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量 …11分      设平面的一个法向量为      由 ,且由      在以上二式中令，则得，， ∴.……12分   设平面与平面所成锐角为 故平面与平面所成的锐角为.    …………………………………14分 20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinA=． （Ⅰ）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值； （Ⅱ）若a=，求△ABC面积的最大值． 参考答案： 【考点】余弦定理；三角形的面积公式． 【专题】解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式两边平方后整理可解得cosA=，而由已知及余弦定理可得=，从而解得m的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得sinA=，结合余弦定理可求得bc≤a2，即可由三角形面积公式求最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由sinA=两边平方可得：2sin2A=3cosA， 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得：cosA=…4分 而a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形为：=， 即cosA==，所以m=1…7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=，则sinA=，又=…9分 所以bc=