湖北省荆州市郑公中学2023年高二数学理测试题含解析

湖北省荆州市郑公中学2023年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 【考点】选择结构． 【专题】图表型；分类讨论． 【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案． 【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件； 当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件； 当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件， 故这样的x值有3个． 故选C． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案． 2. 是第二象限角，为其终边上一点且，则x的值为   （　　） A.             B.           C.             D. 参考答案： C 3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　） A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 参考答案： A 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案． 【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{an}，其中a1=103，d=13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5； 设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm =103m++97m+=2×1125， 解得：m=9． 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列在实际问题中的应用，属于基础题． 4. 函数处的切线方程是（　　） A．4πx+16y﹣π2=0 B．4πx﹣16y﹣π2=0 C．4πx+8y﹣π2=0 D．4πx﹣8y﹣π2=0 参考答案： C 【考点】62：导数的几何意义；63：导数的运算． 【分析】先利用导数的几何意义，求出k=y′|x=，再利用直线的点斜式求出切线方程． 【解答】解：∵y′=cos2x﹣2xsin2x， ∴， 整理得：4πx+8y﹣π2=0， 故选C． 5. 函数上点（1，-1）处的切线方程为（   ）. A．                      B. C．                     D. 参考答案： B 略 6. 在中，已知，，，则的面积等于（     ） A．       B．       C．        D． 参考答案： B 略 7. 若直线垂直于直线，则直线的倾斜角是    A．              B．              C．              D．不存在 参考答案： B 8. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为(     ) A． B． C．π D． 参考答案： A 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题． 分析：由三视图可判断这个几何体为圆柱体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积． 解答：解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1， 那么圆柱体的体积是：π×（）2×1=， 故选A． 点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键 9. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为(　　) A. -10 B. 6 C. 14 D. 18 参考答案： B 模拟法：输入； 不成立； 不成立 成立 输出,故选B. 考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程. 10. 若不等式在内恒成立,则的取值范围是 (    ) A．        B．   C．        D． 参考答案： A   解析： 在恒成立，得， 则。（另可画图做） 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点连线的夹角为直角，则　　　　　． 参考答案： 12. 已知正项等比数列满足，若存在两项使得， 则的最小值为             。 参考答案： 13. 已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x＝________. 参考答案： 1 14. 如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率e=         ；     参考答案：   15. 已知，则的末两位是           ． 参考答案： 49 略 16. 在四面体中，则二面角的大小为__________. 参考答案： 60° 略 17. 已知函数，则        . 参考答案：         三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（为参数）． （1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ （2）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．若C1上的点P对应的参数为，点Q在C2上，点M为PQ的中点，求点M到直线l距离的最小值． 参考答案： （1）表示以为圆心，1为半径的圆，表示焦点在轴上的椭圆；（2）. 试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到，的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果. 试题解析：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆， 的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆． （2）由已知得，设，则， 直线：， 点到直线的距离， 所以，即到的距离的最小值为． 19. (本小题满分14分)已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 参考答案： （Ⅰ）把点代入函数得. 所以数列的前项和为.        　．．．．．．．．．．．．．．．3分 当时， 当时， 对时也适合 . 　．．．．．．．．．．．．．．．６分     （Ⅱ）由得，所以.      ．．．．．．．．．．．8 分   ，             ① ，  ② 由①  - ②  得，,   ．．．．．．．．．．．．12分 所以 .        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 20. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望． 参考答案： 略 21. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标。 参考答案： （1）设直线的方程为，即 由垂径定理得圆心到直线的距离 结合点到直线的距离公式得 解得 所求直线的方程为或，即或 （2）设点，直线的方程分别为 即 由题意可知圆心到直线的距离等于到直线的距离 即，化简得 关于的方程由无穷多解，则有， 故 22. 如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A． （1）求实数b的值； （2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）由题意，联立方程组，根据判别式从而求实数b的值； （2）求出点A的坐标，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，问题得以解决． 【解答】解：（1）由得x2﹣4x﹣4b=0，① 因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0， 解得b=﹣1． （2）由（1）可知b=﹣1，故方程①即为x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入x2=4y，得y=1． 故点A（2，1）， 因为圆A与抛物线C的准线相切， 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2， 所以圆A的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4． 【点评】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．