湖北省荆州市米积台镇中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

湖北省荆州市米积台镇中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 A．                              B．            C．                              D． 参考答案： A 2. 已知满足，则在复平面内对应的点为（   ）   A．(1,－1)          B．(1,1)             C．(－1,1)           D．(－1, －1) 参考答案： C 3. 设等差数列的前n项和为Sn，若a1=-15,  a3+a5= -18,则当Sn取最小值时n等于（   ）A．9        B．8       C．7          D．6 参考答案： B 因为a3+a5= -18，所以，又a1=-15，所以d=2，所以，由，所以当Sn取最小值时n等于8. 4. 若两点A（3，2）和B（—1，4）到直线 的距离相等，则实数m等于              。 参考答案： 略 5. 设若，则的值是(    )    A. -1     B. 2      C. 1      D.-2 参考答案： C 6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（　　） A．30° B．135° C．45°或135° D．45° 参考答案： D 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可． 【解答】解：由1+=．得1+=． 即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA， 即sin（A+B）=2sinCcosA， 即sinC=2sinCcosA， ∴cosA=，即A=， ∵a=2，c=2， ∴a＞c， 即A＞C， 由正弦定理得， 即， ∴sinC=， 即C=45°， 故选：D 【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键． 7. 函数的零点所在的一个区间是 A．（-2，-1）      B.（-1,0）       C.（0,1）        D.（1,2） 参考答案： B 8. 记函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）如果函数y=f（x）的图象过点（0，1），那么函数y=f﹣1（x）+1的图象过点（　　） 　 A． （1，1） B． （0，2） C． （0，0） D． （2，0）． 参考答案： A 略 9. 已知命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数．若p且?q为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．a≤1或a＞2 参考答案： C 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．  【专题】计算题；不等式的解法及应用． 【分析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，即可求出p且￢q为真命题时，即可求实数a的取值范围． 【解答】解：由题意，命题p：得a＞1． 命题q：2﹣a＜0，得a＞2，∴￢q：a≤2． 故由p且￢q为真命题，得1＜a≤2， 故选C． 【点评】本题考查函数方程思想、幂函数单调性的应用，同时又考查命题真假的理解，属于中档题． 10. 设△AnBnCn的三边长分别是an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，bn+1=，则（　　） A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列 参考答案： B 【考点】数列的函数特性． 【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=（bn+cn﹣2an），b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1﹣cn+1=（cn﹣bn），得bn﹣cn=，可知n→+∞时bn→cn，据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案． 【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1， ∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1， 又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1， 由题意，bn+1+cn+1=+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=（bn+cn﹣2an）， ∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1， 又由题意，bn+1﹣cn+1=， ∴bn+1﹣（2a1﹣bn+1）==a1﹣bn，bn+1﹣a1=（a1﹣bn）=（b1﹣a1）． ∴bn=a1+（b1﹣a1），cn=2a1﹣bn=a1﹣（b1﹣a1）， =?=单调递增． 可得{Sn}单调递增． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 则函数 的零点个数为 ． 参考答案： 8 12. （理）从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，记中位数是ξ，则数学期望E（ξ）=         ． 参考答案： 2 考点：离散型随机变量的期望与方差． 专题：计算题；概率与统计． 分析：确定变量的可能取值，做出变量对应的概率，写出期望值． 解答： 解：ξ的可能取值为1，2，3，则 P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==， ∴E（ξ）=1×+2×+3×=2． 故答案为：2． 点评：本题考查离散型随机变量的期望的计算，本题解题的关键是看出变量的可能取值，注意准确计算即可． 13. 已知函数 (p为常数，且p＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________． 参考答案： 略 14. 已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则的最小值为         ． 参考答案： 18 15. 若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为　　． 参考答案： 36 【考点】极差、方差与标准差． 【专题】计算题；转化思想；概率与统计． 【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案． 【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2， 则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4， ∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36， 故答案为：36 【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差，熟练掌握方差与标准差之间的关系，及数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，是解答的关键． 16. 已知，，则的最小值为______． 参考答案： 4 【分析】 化简得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】 当即时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力. 17. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是　     　cm． 参考答案： 4 【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题． 【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可． 【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4． 故答案为：4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 函数的定义域为集合A,函数的定义域为集合B. （1）求A；（2）若BA，求实数的取值范围 参考答案： （1）A：x＜-1或x≥1； --------------------------------4分 （2）B：（x-a-1）（x-2a）＜0 ∵φ≠BA∴① ∴a＞1 ------------------------8分 或②∴a≤-2或≤a＜1； ---------------------------10分 ∴a＞1或a≤-2或≤a＜1； ---------------------------------------13分 19. (本小题满分12分） 已知向量. （1）当时，求的值； （2）设函数，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求 ()的取值范围.   参考答案： 解：（1）    …………2分       …………6分    （2）+ 由正弦定理得   …………………9分 ,,   所以                --------------------12分 20. 如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是长边为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：I、III、V为绿化区域（图中阴影部分），II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计） （1）若经过圆心，求点到的距离； （2）设，. ①试用表示的长度； ②当为何值时，绿化区域面积之和最大. 参考答案： 以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系. （1）直线的方程为， 半圆的方程为（）, 由得. 所有，点到的距离为. (2)①由题意，得. 直线的方程为， 令，得. 直线的方程为， 令，得. 所有，的长度为 ，. ②区域IV、VI的面积之和为 ， 区域II的面积为 ， 所以（）. 设，则， ， 当且仅当，即时“=”成立. 所有，休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为. 答：当时，绿化区域I、III、V的面积之和最大. 21. 如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A，B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且， （1）求证：平面EAD⊥平面EBC； （2）若的长度为，求二面角的正弦值． 参考答案： （1）见解析；（2） 【分析】 （1）推导出平面，，，从而平面，由此能够证得结论；（2）连结，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面， 平面 平面    是直角        平面 平面    平面平面 （2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系 的长度为    则：，，，， ，， 设平面的一个法向量为 则：，令，解得：， 平面的一个法向量：     二面角的正弦值为   22. （本小题满分14分）     已知数列{an}满足：a1=1，a2=（a≠0），an+2=p·（其中P为非零常数，n∈N *）     （1）判断数列{}是不是等比数列？      （2）求an；        （3）当a=1时，令bn=，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn。   参考答案： 解：（1）由，得．     ……………………………1分 令，则，． ，，（非零常数）， 数列是等比数列．