湖北省宜昌市河口乡中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析

湖北省宜昌市河口乡中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域是（　 ） （A）                               （B） （C）                     （D） 参考答案： C 2. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为8，23，27，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　） A．101 B．808 C．1212 D．2012 参考答案： C 【考点】B3：分层抽样方法． 【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为8求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数． 【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为8 ∴每个个体被抽到的概率为= 样本容量为8+23+27+43=101 ∴这四个社区驾驶员的总人数N为101÷=1212． 故选C． 3. 已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　) A．2  B．4 C．6  D．8 参考答案： D 解析：选D.因为x>0，y>0，且＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2 ＝8， 当且仅当＝时等号成立．故选. 4. 以点(1,1)和(2,－2)为直径两端点的圆的方程是（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 可根据已知点直接求圆心和半径. 【详解】点(1,1)和(2,－2)的中点是圆心， 圆心坐标是 ， 点(1,1)和(2,－2)间的距离是直径， ，即， 圆的方程是. 故选A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程的求法，属于基础题型. 5. 在下列四组函数中，与表示同一函数是（    ）   A．     B．   C．       D． 参考答案： B 6. 如图所示，用两种方案将一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为S1、S2，周长分别为，则（  ） A. ， B. ， C. ， D. ， 参考答案： A 【分析】 根据弧长公式和扇形面积求解. 【详解】 为顶角为，腰长为2的等腰三角形， ， 方案一中扇形的周长 ， 方案二中扇形的周长， 方案一中扇形的面积， 方案二中扇形的面积， 所以，. 故选A. 【点睛】本题考查弧长公式，扇形面积公式. 7. 下列函数中，的最小值为4的是（    ） A．                B． C．        D． 参考答案： D 略 8. 下图是由哪个平面图形旋转得到的   （      ）   参考答案： A 9. 下列四个函数：①；②；③；④.    其中值域为的函数有   （    ） A．1个       B．2个       C．3个      D．4个   参考答案： B 略 10. 在区间[-1，1]上任取两个数、，则满足的概率是 A．      B．     C．        D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是  (    ) A、        B、       C、           D、 参考答案： D 略 12. 集合,集合且,则实数_________. 参考答案： 由，得，所以. 13. 下列命题中，正确命题的序号是__________． ①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π； ②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}； ③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像与函数y＝x的图像有3个公共点； ④把函数y＝3sin(2x＋)的图像向右平移得到y＝3sin2x的图像． 参考答案： ①④ 14. 已知钝角△ABC的三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范围　    　． 参考答案： （2，6） 【考点】HR：余弦定理． 【分析】根据余弦定理以及C为钝角，建立关于k的不等式，解之可得﹣2＜k＜6，再根据n为整数和构成三角形的条件，不难得出本题答案． 【解答】解：由题意，得c是最大边，即C是钝角 ∴由余弦定理，得（k+4）2=（k+2）2+k2﹣2k（k+2）?cosC＞=（k+2）2+k2 即（k+2）2+k2＜（k+4）2，解之得﹣2＜k＜6， ∵a+b＞c， ∴k+（k+2）＞k+4，解之得k＞2 综上所述，得k的取值范围是（2，6） 故答案为：（2，6） 【点评】本题给出钝角三角形的三边满足的条件，求参数k的取值范围，着重考查了利用余弦定理解三角形和不等式的解法等知识，属于基础题． 15. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c．已知a+c=2b，sinB=sinC，则=　　． 参考答案： 【考点】HS：余弦定理的应用；HQ：正弦定理的应用． 【分析】由题意和正弦定理可得a=b=c，代入余弦定理可得cosC，由二倍角公式和三角形内角的范围可得． 【解答】解：∵在△ABC中a+c=2b，sinB=sinC， ∴由正弦定理可得a+c=2b，b=c， 联立可解得a=b=c， ∴由余弦定理可得cosC= ==， 再由二倍角公式可得cosC=1﹣2sin2=， 解得=或=﹣， 再由三角形内角的范围可得∈（0，） 故= 故答案为： 16. 已知，向量的夹角为，则的最大值为_____.　 参考答案： 【分析】 将两边平方，化简后利用基本不等式求得的最大值. 【详解】将两边平方并化简得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值为. 【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17. 函数的定义域是__________． 参考答案： [0,+∞) 要使函数有意义，则，解得， 故函数的定义域是． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）设， （1）若，求a的值；（2）若，求a的值； （3）是否存在实数a使，若存在，求a的值。若不存在，请说明理由。 参考答案： 解： （1） （2）∵， ∴ 1和2至少有一个是A的元素， （3） 19. 如图，O，A，B三点不共线，，，设，． （1）试用，表示向量． （2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线． 参考答案： 【考点】平面向量的综合题． 【专题】计算题． 【分析】（1）由B，E，C三点共线，可得到一个向量等式，由A，E，D三点共线又可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）； （2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到． 【解答】解：（1）∵B，E，C三点共线， ∴=x+（1﹣x）=2x+（1﹣x），① 同理，∵A，E，D三点共线，可得=y+3（1﹣y），② 比较①，②，得解得x=，y=， ∴=． （2）∵，，， ∴，， ∴，∴L，M，N三点共线． 【点评】（1）由三点共线的条件设出参数，并利用待定系数法确定参数，利用算两次的数学思想，根据平面向量基本定理，使问题得以解决．（2）利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，必须注意两个有公共点的向量，其三点共线． 20. 已知函数． （1）求函数的单调区间. （2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值. 参考答案： （1）增区间是：减区间是：；（2）-2，1. 【分析】 （1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果. 【详解】（1） ， 由     得，   增区间是：， 由  得 减区间是： （2）由（Ⅰ）可得 把向右平移个单位得到函数， ， 因为， 所以， ， 故所在区间上的最大值为1， 最小值为. 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域. 21. 已知函数的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+3}． （1）若a=3，求（?RP）∩Q； （2）若P∪Q=Q，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算． 【专题】计算题；分类讨论；分类法；集合． 【分析】（1）将a=3代入求出P，令函数解析式有意义，求出Q，结合集合的交集，补集运算的定理，可得（?RP）∩Q； （2）若P∪Q=Q，则P?Q，分P=?和P≠?两种情况，分别求出满足条件的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（1）由得：Q=[﹣2，5]． 若a=3，则集合P={x|a+1≤x≤2a+3}=[4，9]． ∴?RP=（﹣∞，4）∪（9，+∞）， ∴（?RP）∩Q=[﹣2，4） （2）P∪Q=Q?P?Q， 当P=?时，即2a+3＜a+1，得a＜﹣2，此时有P=??Q；…． 当P≠?时，由P?Q得：， 解得﹣2≤a≤1… 综上有实数a的取值范围是a≤1… 【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题． 22. 已知点Pn(an，bn)都在直线L：y=2x+2上，P1为直线L与x轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为1(n∈N＊)。     ⑴求数列{an}，{bn}的通项公式；     ⑵若f(n)＝，问是否存在k∈N＊，使得f(k+5)=2f(k)－2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由； ⑶求证：(n≥2，n∈N＊)。 参考答案： 解：　 ⑴P1(－1，0)，an＝－1+(n－1)×1＝n－2，bn＝2(n－2)+2＝2n－2  -------4分 ⑵f(n)＝，假设存在符合条件的k ①若k为偶数，则k+5为奇数，有f(k+5)=k+3，f(k)=2k－2， 如果f(k+5)=2f(k)－2，则k+3=4k－6k=3与k为偶数矛盾。 ②若k为奇数，则k+5为偶数，有f(k+5)=2k+8，f(k)=k－2， 如果f(k+5)=2f(k)－2，则2k+8=2k－6，这样的k也不存在。 故不存在符合条件的k。  ---------------8分 ⑶∵Pn(n－2，2n－2)，∴|P1Pn|＝(n－1)，(n≥2) ∴    ----------14分   略