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湖北省十堰市辽瓦乡西流中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出以下一个算法的程序框图(如图所示):
该程序框图的功能是( )
A.求出a, b, c三数中的最大数 B. 求出a, b, c三数中的最小数
C.将a, b, c 按从小到大排列 D. 将a, b, c 按从大到小排列
参考答案:
B
2. 等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,则a10等于( )
A.-1024 B.1024 C.-512 D.512
参考答案:
D
略
3. 已知不等式的解集为,点在直线上,其中,则的最小值为
(A) (B)8 (C)9 (D) 12
参考答案:
C
略
4. 一直两个非零向量 ,其中 为 的夹角,若 则 的值为
A.-8 B.-6 C.8 D.6
参考答案:
D
略
5. 如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2,且侧棱,正视图是边长为2的正方形,该三棱柱的侧视图面积为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 在中,若,则面积的最大值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知集合,则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【知识点】集合的运算;集合的关系A1
解析:因为,又因为
,故易知,故选C.
【思路点拨】先求出集合B,再进行判断即可。
8. 已知函数 若则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 设a为实数,函数f(x)=的导数是,且是偶函数,
则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 设是虚数单位,若复数是纯虚数,则的值为( )
A. B. C.1 D.3
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数.关于x的方程有解,则实数的取值范围是 _____
参考答案:
12. C.(几何证明选讲选做题)如图,从圆外一点引圆的切线和割线ABC,已知,圆的半径为3,圆心到AC的距离为,则 .
参考答案:
13. 已知f(n)=1+(n∈N*),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3, f(32)>,……,观察上述结果,则可归纳出一般结论为 。
参考答案:
14. 已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且点A是椭圆C上一点,点M的坐标为(2,0),若AM为的角平分线,则___________.
参考答案:
【分析】
由题意可知:A在y轴左侧,3,根据椭圆的性质可知:|AF1|+|AF2|=2a=10,即可求得|AF2|的值.
【详解】解:由题意可知:∠F1AM=∠MAF2,设A在y轴左侧,
∴3,
由|AF1|+|AF2|=2a=10,
A在y轴右侧时,|AF2|,
故答案为:.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质,属于基本知识的考查.
15. 若x>﹣3,则的最小值为 .
参考答案:
考点: 基本不等式.
专题: 计算题.
分析: 由题意可得x+3>0,所以=﹣3,由基本不等式可得答案,注意验证等号成立的条件.
解答: 解:∵x>﹣3,∴x+3>0,
所以=﹣3
≥2﹣3=,
当且仅当,即x=时取等号,
故答案为:
点评: 本题考查基本不等式求最值,凑出﹣3是解决问题的关键,属基础题.
16. 若数列满足,且对于任意的,都有,则___;数列前10项的和____.
参考答案:
,
考点:等比数列通项与和项
17. 设,则二项式展开式中的第4项为 _______.
参考答案:
-1280
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆E:(a>b>0)的一焦点F在抛物线y2=4x的准线上,且点M(1,)在椭圆上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过直线x=﹣2上任意一点P作椭圆E的切线,切点为Q,试问:是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】方程思想;设而不求法;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)根据抛物线方程求出其准线,确定焦点的坐标,然后求出椭圆中的c,再根据M点在椭圆上,求出椭圆方程;
(2)设出PQ直线方程,然后与椭圆方程联立,根据△=0,求出P、Q坐标,然后运用向量的数量积的坐标表示计算即可得到结论.
【解答】解:(1)抛物线y2=4x的准线为x=﹣1,
则F(﹣1,0),即c=1,即有a2﹣b2=1,
又M(1,)在椭圆上,
则+=1,解得a2=2,b2=1,
故椭E的方程+y2=1;
(2)设P(﹣2,y0)、Q(x1,y1).
依题意可知切线PQ的斜率存在,设为k,PQ:y=kx+m,
并代入方程+y2=1中,
整理得:(2k2+1)x2+4mkx+2(m2﹣1)=0,
因△=16m2k2﹣8(2k2+1)(m2﹣1)=0,即m2=2k2+1.
从而x1=﹣,y1=,
所以Q(﹣,),
又y0=﹣2k+m,则P(﹣2,﹣2k+m),=(﹣1,m﹣2k),=(1﹣,).
由于=﹣1++(m﹣2k)?=﹣1=0.
即有为定值0.
【点评】本题考查了椭圆和抛物线的标准方程,同时与平面向量的知识结合考查学生的运算能力,本题对学生的计算能力要求较高.
19. (2015?陕西)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;
(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
参考答案:
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化.
【专题】坐标系和参数方程.
【分析】(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.化为ρ2=2,把代入即可得出;.
(II)设P,又C.利用两点之间的距离公式可得|PC|=,再利用二次函数的性质即可得出.
【解答】解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
∴ρ2=2,化为x2+y2=,
配方为=3.
(II)设P,又C.
∴|PC|==≥2,
因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20. (本题满分14分)已知数列的前项和为,且。
(1)求数列的通项公式;
(2)设记证明:Tn<1.
参考答案:
解:(1)当时,由得,………………2分
当时,…………………………①
………………………………②
上面两式相减,得………………4分
所以数列是以首项为,公比为的等比数列,………………5分
求得……………………7分
(2)……………………………………………………9分
………………………………………11分
<1.……………14分
21. 已知函数
(1)解不等式
(2)若不等式的解集为空集,求的取值范围.
参考答案:
略
22. (本题12分)
两非零向量满足:垂直,集合是单元素集合。
(1)求的夹角
(2)若关于的不等式的解集为空集,求实数的值。
参考答案:
略
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