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湖北省咸宁市赤壁余家桥镇中学高二数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线m、n及平面α、β,则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】平面与平面之间的位置关系.
【分析】A:由条件可得:α∥β或者α与β相交.
B:根据空间中直线与平面的位置关系可得:n∥α或者n?α.
C:由特征条件可得:m∥β或者m?β.
D:根据空间中直线与直线的位置关系可得:m⊥n.
【解答】解:A:若m∥α,n∥β,则α∥β或者α与β相交,所以A错误.
B:若m∥α,m∥n,则根据空间中直线与平面的位置关系可得:n∥α或者n?α,所以B错误.
C:若m⊥α,α⊥β,则有m∥β或者m?β,所以C错误.
D:若m⊥α,n∥α,则根据空间中直线与直线的位置关系可得:m⊥n,所以D正确.
故选D.
2. 已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x﹣1)为奇函数,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为( )
A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3
参考答案:
D
【考点】3L:函数奇偶性的性质.
【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到f(x+4)=f(x),即可得到结论.
【解答】解:∵f(x﹣1)为奇函数,
∴f(﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1),
∵f(x)是偶函数,
∴f(﹣x﹣1)=f(x+1)=﹣f(x﹣1),
即f(x+2)=﹣f(x),
f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x),
则f(5)=f(1),
f(6)=f(2)=3,
当x=﹣1时,由f(x+2)=﹣f(x),
得f(1)=﹣f(﹣1)=﹣f(1),
即f(1)=0,
∴f(5)+f(6)=3,
故选:D.
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S17>0,S18<0,则中最大的项为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】等差数列的性质.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由题意可得a9>0,a10<0,由此可知>0,>0,…,<0,<0,…,<0,即可得出答案.
【解答】解:∵等差数列{an}中,S17>0,且S18<0
即S17=17a9>0,S18=9(a10+a9)<0
∴a10+a9<0,a9>0,∴a10<0,
∴等差数列{an}为递减数列,
故可知a1,a2,…,a9为正,a10,a11…为负;
∴S1,S2,…,S17为正,S18,S19,…为负,
∴>0,>0,…,<0,<0,…,<0,
又∵S1<S2<…<S9,a1>a2>…>a9,
∴中最大的项为
故选D
【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值,掌握等差数列的性质,属中档题.
4. 与向量共线的单位向量是 ( )
A. B.和
C. D.和
参考答案:
D
5. 曲线在点处的切线方程为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 与,两数的等比中项是( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
C
7. 已知a>0,﹣1<b<0,那么下列不等式成立的是( )
A.a<ab<ab2 B.ab<a<ab2 C.ab<ab2<a D.ab2<a<ab
参考答案:
C
【考点】R3:不等式的基本性质.
【分析】根据a,b的范围以及不等式的性质,判断即可.
【解答】解:由a>0,b<0知,ab<0,ab2>0,
又由﹣1<b<0知0<b2<1,
所以ab2<a,
故选:C.
8. 在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面直线和所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知函数,则函数的导函数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 函数,的最大值是
A.1 B. C.0 D.-1
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0,则¬p是 .
参考答案:
?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0
略
12. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E为A1B1的中点,则下列五个命题:
①点E到平面ABC1D1的距离为 ;②直线BC与平面ABC1D1所成的角为450;
③空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成的六个射影平面图形,其中面积最小值是 ; ④AE与DC1所成的角的余弦值为 ;⑤二面角A-BD1-C的大小为 ?.
其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)
参考答案:
②③④
13. 命题“任意x∈R,x2+x+1≥0”的否定是 .
参考答案:
存在x∈R,x2+x+1<0
【考点】命题的否定.
【分析】根据全称命题否定的方法,结合已知中原命题,可得答案.
【解答】解:命题“任意x∈R,x2+x+1≥0”的否定是“存在x∈R,x2+x+1<0”
故答案为:存在x∈R,x2+x+1<0
14. 在极坐标系中,直线与圆相交于A,B两点,则___.
参考答案:
【分析】
将极坐标方程转化为直角坐标方程,将直线方程代入圆的方程,求得的坐标,由此求得..
【详解】直线即.圆两边乘以得,即,令,解得,故,所以.
【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程,考查直线和圆的交点坐标的求法,属于基础题.
15. 已知A(3,1),B(﹣4,0),P是椭圆上的一点,则PA+PB的最大值为 .
参考答案:
10+
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形,可知B为椭圆的左焦点,A在椭圆内部,设椭圆右焦点为F,借助于椭圆定义,把|PA|+|PB|的最大值转化为椭圆上的点到A的距离与F距离差的最大值求解.
【解答】解:由椭圆方程,得a2=25,b2=9,则c2=16,
∴B(﹣4,0)是椭圆的左焦点,A(3,1)在椭圆内部,
如图:设椭圆右焦点为F,由题意定义可得:|PB|+|PF|=2a=10,
则|PB|=10﹣|PF|,
∴|PA|+|PB|=10+(|PA|﹣|PF|).
连接AF并延长,交椭圆与P,则此时|PA|﹣|PF|有最大值为|AF|=
∴|PA|+|PB|的最大值为10+.
故答案为:10+
16. 设存在实数,使不等式成立,则实数的取值范围是__________。
参考答案:
17. 观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律,第五个等式应为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,.
(1)求证:平面
(2)若求与所成角的余弦值;
参考答案:
证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°,PA=PB=2,
所以BO=1,AO=CO=.
如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则
P(0,—,2),A(0,—,0),B(1,0,0),C(0,,0).
所以
设PB与AC所成角为,则
.
19. 给定两个命题,p:对任意实数都有恒成立;q:关于的方程有实数根;若为真,为假,求实数的取值范围.
参考答案:
解:对任意实数都有恒成立;
关于的方程有实数根;
因为为真,则至少一个为真,又为假,则至少一个为假.
所以一真一假,即“真假”或“假真”.
真假,有;
假真,有.
所以实数的取值范围为.
20. (12分)如图所示的多面体是由底面为的长方体被平行四边形所截而得到的,其中.
(1).求;
(2).求点到平面的距离.
参考答案:
(1)以为原点,所在直线为轴,
轴,轴建立空间直角坐标系,
,
设.
由,得,
.
.
.
21. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族S的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义.
参考答案:
(1) 时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.
【分析】
(1)由题意知求出f(x)>40时x的取值范围即可;
(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.
【详解】(1)由题意知,当时,
,
即,
解得或,
∴时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
(2)当时,
;
当时,
;
∴;
当时,单调递减;
当时,单调递增;
说明该地上班族S中有小于的人自驾时,人均通勤时间是递减的;
有大于的人自驾时,人均通勤时间是递增的;
当自驾人数为时,人均通勤时间最少.
【点睛】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.
22. 在平面直角坐标系中中,点为动点,已知点,直线与的斜率之积为定值
(1) 求动点的轨迹E的方程;
(2) 若F,过点F的直线交轨迹E于M,N两点,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上,求直线的方程
参考答案:
解(1)由题意=,
整理得,所以所求轨迹E的方程为.
(2)当直线与轴重合时,与轨迹E无交点,不合题意;
当直线与轴垂直时,:,此时M(),N,以MN为对角线的正方形的另外两个顶点,不合题意;
当直线:,M,N
MN的中点Q
由消得
所以Q,
则线段MN的中垂线m的方程为即为
,则直线m与轴的交点R为(0,)
注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴当且仅当时,即 即
由,代入上式得
综上所求直线方程为或
略
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