河北省石家庄市示范性高级中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

河北省石家庄市示范性高级中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则      B．若，，则 C．若，，则      D．若，，则 参考答案： B 略 2. ．对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，则f（x）的下确界为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 参考答案： D 【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义． 【专题】数形结合；函数的性质及应用． 【分析】由题意可得f（x）关于x=0，x=1对称；从而作出函数f（x）的图象，从而由定义确定下确界即可． 【解答】解：由题意知，f（x）关于x=0，x=1对称； 故函数f（x）的周期为2， 又∵当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2， ∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣3x2+2； 故作出函数f（x）在R上的部分图象如下， 故易得下确界为f（1）=﹣1， 故选D． 【点评】本题考查了函数性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题． 3. 复数z=i2(1+i)的虚部为（   ） A.  1             B.  i         C.  -1        D.  – i 参考答案： C 略 4. 函数的极大值为6,极小值为2,则的减区间是          A. （-1，1）     B. （0，1）    C. （-1，0）     D. （-2，-1） 参考答案： A提示：令，得x=,,,得 a=1,b=4,当 x时，. 5. 分段函数则满足的值为（     ） （A）        （B）     （C）      （D） 参考答案： C 略 6. 设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可． 【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q， 若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立， 例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0， +（﹣）=＞0； 而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”， 则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件， 故选：C． 7. 若集合A={}，B={}，则集合等于(  )．     (A) {}            (B) {} (C) { }    (D) {} 参考答案： D 8. 复数满足，则复数的共轭复数= A.      B.         C.          D.   参考答案： B 9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   ) A．    B．      C．           D． 参考答案： C 由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得.选C. 10. 利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度. 如果k 3.84，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为 P(K2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 A．5％          B．75％           C．99.5％             D．95％   参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为　　． 参考答案： 8π 【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【分析】由题意，SC的中点为球心，计算三棱锥S﹣ABC的外接球的半径，由此可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积． 【解答】解：由题意，SC的中点为球心，∵SA⊥平面ABC，SA=AC=2， ∴SC=2， ∴球的半径为， ∴该四面体的外接球的表面积为4π?2=8π． 故答案为：8π． 12. 将全体正整数排成一个三角形数阵 根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________________。 参考答案： 略 13. 设，且， ， 则等于_________. 参考答案： 14. 平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点， 则点取自△内部的概率为______． 参考答案： ,根据几何概型可知点取自△内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。 15. 在中，在线段上，，则       . 参考答案： 略 16. 等比数列中,,,则_________. 参考答案： 84 17. （5分）某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是　　． 参考答案： 2（π+） 【考点】： 由三视图求面积、体积． 【专题】： 计算题；压轴题． 【分析】： 首先判断三视图复原的几何体的形状，然后利用三视图的数据，求出几何体的表面积． 解：三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，如图，圆锥的底面半径为1，母线长为2， 该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和． 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，高为：． S=2S截面+S圆锥侧=2××+π×1×2=． 故答案为：． 【点评】： 本题是中档题，考查三视图与直观图的关系，直观图的表面积的求法，三视图复原的几何体的形状是解题关键，考查计算能力，空间想象能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数（）． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）若恒成立，证明：当时，. 参考答案： 19. 已知a>0且，关于x的不等式的解集是，解关于x的不等式。 参考答案： 关于x的不等式的解集是， ∵ ∴                                             由（1）得，解得或；                 由（2）得，解得或；      ∴原不等式的解集是.                  20. （本小题满分13分）    已知：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两个不同的点，过分别作抛物线的切线，且二者相交于点 （1）求证：； （2）求的面积的最小值。 参考答案： (1)略；(2)4 【知识点】抛物线 直线与抛物线的位置关系 导数的应用H7 H8 B12 解析：（1）证明：设LAB：,代入得 ……………………2分 所以……………………………………………6分 ②若k=0，显然…………………………………7分 （或 …………………………7分） （2）解由（1）知，点C到AB的距离…………………8分 . 【思路点拨】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程，结合韦达定理寻求系数关系进行解答. 21. （本小题满分14分）已知函数． (Ⅰ) 若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （Ⅱ）若，成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）求证：． 参考答案： 解法一：(Ⅰ) ，，…………………………………1分 曲线在点处的切线平行于轴， ，……………………………………………………………2分 即，……………………………………………………………3分 ．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意得，不等式即在恒成立；………………5分 设，ks5u 则，………………………………………………………………6分 当时，；当时，， 函数在单调递减，在单调递增，…………………………7分 ，，……………………………………………8分 ． 实数的取值范围为．…………………………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，， （当且仅当时等号成立） ，…………………………………………………………10分 ，即，（当且仅当时等号成立） ………………11分 设，，则， ，…………12分 …………………………………13分 ，．…………………………………14分 解法二：(Ⅰ) 同解法一 （Ⅱ），，…………………………………………5分 若，则，当时恒成立， 在上单调递增， 满足题意．…………………………………………………6分 若，由解得， 当，，，， 函数在单调递减，在单调递增，………………………7分 时，，解得 ．………………………………………………………………………8分 综上所述，实数的取值范围为．………………………………………9分 （Ⅲ）同解法一 （其他解法相应给分） 22. （本小题13分） 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者. （Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）； （Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）   参考答案： 解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. . 所以的分布列为 0 1 2 故的期望. （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.