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河北省衡水市第九中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设A1,A2分别为双曲线的左右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.(0,3)
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意可得A1(﹣a,0),A2(a,0),设M(m,n),代入双曲线的方程,运用直线的斜率公式,化简整理可得b2<2a2,由a,b,c的关系和离心率公式,计算即可得到所求范围.
【解答】解:由题意可得A1(﹣a,0),A2(a,0),
设M(m,n),可得﹣=1,
即有=,
由题意,
即为?<2,
即有<2,即b2<2a2,
c2﹣a2<2a2,即c2<3a2,
c<a,即有e=<,
由e>1,可得1<e<.
故选:B.
2. 在等差数列中,,数列是等比数列且,则的值为( )
A、2 B、4 C、8 D、16
参考答案:
C
3. 要得到函数y=2cos(2x-)的图象,只需将函数y=2cos2x的图象( )
A 向左平移个单位 B 向右平移个单位
C 向左平移个单位 D 向右平移个单位
参考答案:
D
4. 已知函数,若方程在上有3个实根,则k的取值范围为()
A. B. C. D.
参考答案:
B
当时,,则不成立,即方程没有零解.?当时,,即,则设则由,得,此时函数单调递增;由,得,此时函数单调递减,所以当时,函数取得极小值;当时,;当时,;?当时,,即,则.设则由得(舍去)或,此时函数单调递增;由得,此时单调递减,所以当时,函数取得极大值;当时,当时,作出函数和的图象,可知要使方程在上有三个实根,则.故选B.
5. 设U=R,A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x≥1},则A∩?UB=( )
A.{1,2} B.{﹣1,0,1} C.{﹣2,﹣1,0} D.{﹣2,﹣1,0,1}
参考答案:
C
【考点】1H:交、并、补集的混合运算.
【分析】根据补集与交集的定义,写出?UB与A∩?UB即可.
【解答】解:因为全集U=R,集合B={x|x≥1},
所以?UB={x|x<1}=(﹣∞,1),
且集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},
所以A∩?UB={﹣2,﹣1,0}
故选:C
【点评】本题考查了集合的定义与计算问题,是基础题目.
6. 已知全集,集合则
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 已知,记,要得到函数 的图像,只须将的图像( )
A向左平移个单位 B 向右平移个单位
C 向左平移个单位 D向右平移个单位
参考答案:
D
略
8. 已知a,b>0,a+b=5,则+的最大值为( )
A.18 B.9 C.3 D.2
参考答案:
C
【考点】二维形式的柯西不等式.
【专题】选作题;转化思想;综合法;不等式.
【分析】利用柯西不等式,即可求出+的最大值.
【解答】解:由题意,(+)2≤(1+1)(a+1+b+3)=18,
∴+的最大值为3,
故选:C.
【点评】本题考查函数的最值,考查柯西不等式的运用,正确运用柯西不等式是关键.
9. 若满足,满足,则等于( )
A. B.3 C. D. 4
参考答案:
C
10. 数列{}定义如下:=1,当时,,若,则的值等于( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 当时,不等式恒成立,则实数a的最大值为________.
参考答案:
2
【分析】
根据均值不等式得到,再计算得到答案.
【详解】,
当且时等号成立,即时等号成立.
,实数的最大值为
故答案为:
【点睛】本题考查了均值不等式,意在考查学生对于不等式的应用能力.
12. 已知是圆为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为 .
参考答案:
答案:
13. 已知函数y=Asin(wx+j)(A>0,w>0)的部分图象如图
所示,则此函数的最小正周期为 ▲ .
参考答案:
p
略
14. 已知sin(﹣α)=,则cos(π﹣α)= .
参考答案:
﹣
【考点】运用诱导公式化简求值.
【专题】三角函数的求值.
【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出cosα的值,原式利用诱导公式化简后把cosα的值代入计算即可求出值.
【解答】解:∵sin(﹣α)=cosα=,
∴cos(π﹣α)=﹣cosα=﹣.
故答案为:﹣
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
15. 若复数)是纯虚数,则实数a的值为 ﹣1 .
参考答案:
﹣1
略
16. 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是______。
参考答案:
17. 曲线y=x2+3x在点(2,10)处的切线的斜率是 。
参考答案:
7
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为:
(t为参数)直线与曲线分别交于两点.
(1)写出曲线和直线的普通方程;
(2)若成等比数列, 求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin2θ=2acosθ,
即ρ2sin2θ=2aρcosθ,即 y2=2ax, ............(2分)
直线L的参数方程为:,消去参数t得:直线L的方程为y+4=x+2
即y=x﹣2 ...................(5分)
(Ⅱ)直线l的参数方程为(t为参数),
代入y2=2ax得到,
则有 ...........(8分)
因为|MN|2=|PM|?|PN|,所以
即:[2(4+a)]2﹣4×8(4+a)=8(4+a)
解得 a=1 ................…(10分)
19. 如图,在几何体SABCD中,AD⊥平面SCD,BC∥AD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,F是SA的中点,E在SC上,AE=.
(Ⅰ)求证:EF∥平面ABCD;
(Ⅱ)求直线SE与平面SAB所成角的正弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.
【分析】(I)连接AE,DE,AC,利用勾股定理计算DE得出E为SC的中点,再由中位线定理得EF∥AC,故而EF∥平面ABCD;
(II)以D为原点建立空间直角坐标系,求出平面SAB的法向量和的坐标,则直线SE与平面SAB所成角的正弦值为|cos<,>|.
【解答】证明:(I)连接AE,DE,AC,
∵AD⊥平面SCD,DE?平面SCD,
∴SD⊥DE,
∴DE==1,
又∵CD=SD=2,∠SDC=120°,
∴E是SC的中点,又F是SA的中点,
∴EF∥AC,
又EF?平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
(II)在平面SCD内过点D作SD的垂线交SC于M,
以D为原点,以DM为x轴,DS为y轴,DA为z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz,
∴D(0,0,0),S(0,2,0),A(0,0,2),C(,﹣1,0),B(,﹣1,1),
∴=(,﹣3,0),=(0,﹣2,2),=(,﹣3,1),
设平面SAB的法向量为=(x,y,z),则,
∴,令z=1得=(,1,1),
∴cos<,>===﹣.
设直线SE与平面SAB所成角为θ,则sinθ=|cos<,>|=.
20. (12分)如图,设矩形ABCD(的周长为24,把它关于AC折起来,AB折过去后,交DC于点P.设AB=,求的最大面积及相应的值.
参考答案:
解析:解法一: 因为,所以.
又,
由勾股定理得,
整理得. …………………………………………………………4分
因此的面积
. ……………………………………………………………6分
.
. ……………………………………………8分
当且仅当时,即时,S有最大值.
答:当时,的面积有最大值. ………………………12分
另解: 因为,所以.
在中,.
在中,.
在中,
.(以下略)
21. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱
形,∠ABC=60°,平面PAB⊥平面ABCD,
PA=PB=2AB.
(1)证明:PC⊥AB;
(2)求二面角B-PC-D的余弦值.
参考答案:
略
22. (本小题满分12分)在中,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
参考答案:
(Ⅰ)在中,因为,
所以. …………………………(3分)
所以
. ……………………(6分)
(Ⅱ)根据正弦定理得:,
所以. ……………………(9分)
. ……………12(分)
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