河北省衡水市第九中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析

河北省衡水市第九中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设A1，A2分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D．（0，3） 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），设M（m，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式，化简整理可得b2＜2a2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围． 【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0）， 设M（m，n），可得﹣=1， 即有=， 由题意， 即为?＜2， 即有＜2，即b2＜2a2， c2﹣a2＜2a2，即c2＜3a2， c＜a，即有e=＜， 由e＞1，可得1＜e＜． 故选：B． 2. 在等差数列中，，数列是等比数列且，则的值为（    ）    A、2                 B、4                C、8                D、16 参考答案： C 3. 要得到函数y=2cos（2x－）的图象，只需将函数y=2cos2x的图象（    ） A  向左平移个单位               B   向右平移个单位 C   向左平移个单位              D    向右平移个单位 参考答案： D 4. 已知函数，若方程在上有3个实根，则k的取值范围为（） A.      B.      C.     D. 参考答案： B 当时，，则不成立，即方程没有零解.?当时，，即，则设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；?当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.故选B. 5. 设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩?UB=（　　） A．{1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，0，1} 参考答案： C 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【分析】根据补集与交集的定义，写出?UB与A∩?UB即可． 【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}， 所以?UB={x|x＜1}=（﹣∞，1）， 且集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}， 所以A∩?UB={﹣2，﹣1，0} 故选：C 【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目． 6. 已知全集,集合则 A．  B．  C．  D． 参考答案： C 7. 已知，记，要得到函数 的图像，只须将的图像（   ） A向左平移个单位      B 向右平移个单位 C 向左平移个单位       D向右平移个单位 参考答案： D 略 8. 已知a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为（　　） A．18 B．9 C．3 D．2 参考答案： C 【考点】二维形式的柯西不等式． 【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式． 【分析】利用柯西不等式，即可求出+的最大值． 【解答】解：由题意，（+）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18， ∴+的最大值为3， 故选：C． 【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键． 9. 若满足，满足，则等于（    ） A．          B．3           C．         D． 4 参考答案： C 10. 数列{}定义如下：=1，当时，，若，则的值等于(     ) A. 7       B. 8        C. 9       D. 10 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 当时，不等式恒成立，则实数a的最大值为________. 参考答案： 2 【分析】 根据均值不等式得到，再计算得到答案. 【详解】， 当且时等号成立，即时等号成立. ，实数的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生对于不等式的应用能力. 12. 已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为                 . 参考答案： 答案： 13. 已知函数y=Asin(wx+j)（A>0,w>0）的部分图象如图 所示，则此函数的最小正周期为   ▲    ． 参考答案： p   略 14. 已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=            ． 参考答案： ﹣ 【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】三角函数的求值． 【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出cosα的值，原式利用诱导公式化简后把cosα的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=， ∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣． 故答案为：﹣ 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 15. 若复数）是纯虚数，则实数a的值为　﹣1　． 参考答案： ﹣1 略 16. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______。 参考答案： 17. 曲线y＝x2＋3x在点（2，10）处的切线的斜率是         。 参考答案： 7  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系中，以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为： （t为参数）直线与曲线分别交于两点. （1）写出曲线和直线的普通方程； （2）若成等比数列, 求的值． 参考答案： 解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ， 即ρ2sin2θ=2aρcosθ，即 y2=2ax， ............（2分） 直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2 即y=x﹣2                                 ...................（5分） （Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数）， 代入y2=2ax得到， 则有        ...........（8分） 因为|MN|2=|PM|?|PN|，所以 即：[2（4+a）]2﹣4×8（4+a）=8（4+a） 解得 a=1                                  ................…（10分） 19. 如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC∥AD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°，F是SA的中点，E在SC上，AE=． （Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD； （Ⅱ）求直线SE与平面SAB所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（I）连接AE，DE，AC，利用勾股定理计算DE得出E为SC的中点，再由中位线定理得EF∥AC，故而EF∥平面ABCD； （II）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面SAB的法向量和的坐标，则直线SE与平面SAB所成角的正弦值为|cos＜，＞|． 【解答】证明：（I）连接AE，DE，AC， ∵AD⊥平面SCD，DE?平面SCD， ∴SD⊥DE， ∴DE==1， 又∵CD=SD=2，∠SDC=120°， ∴E是SC的中点，又F是SA的中点， ∴EF∥AC， 又EF?平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD． （II）在平面SCD内过点D作SD的垂线交SC于M， 以D为原点，以DM为x轴，DS为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz， ∴D（0，0，0），S（0，2，0），A（0，0，2），C（，﹣1，0），B（，﹣1，1）， ∴=（，﹣3，0），=（0，﹣2，2），=（，﹣3，1）， 设平面SAB的法向量为=（x，y，z），则， ∴，令z=1得=（，1，1）， ∴cos＜，＞===﹣． 设直线SE与平面SAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=． 　 20. （12分）如图，设矩形ABCD（的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于点P.设AB=，求的最大面积及相应的值. 参考答案： 解析：解法一： 因为，所以. 又， 由勾股定理得， 整理得.      …………………………………………………………4分 因此的面积 .     ……………………………………………………………6分 . .   ……………………………………………8分 当且仅当时，即时，S有最大值. 答：当时，的面积有最大值.  ………………………12分 另解: 因为，所以. 在中,. 在中,. 在中, .(以下略) 21. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱 形，∠ABC＝60°，平面PAB⊥平面ABCD， PA＝PB＝2AB．    （1）证明：PC⊥AB；    （2）求二面角B－PC－D的余弦值． 参考答案：   略 22. （本小题满分12分）在中，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的面积． 参考答案： （Ⅰ）在中，因为， 所以.   …………………………（3分） 所以 .  ……………………（6分） （Ⅱ）根据正弦定理得：， 所以. ……………………（9分） . ……………12（分）