江苏省常州市东青文化活动中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为（ ）
A． B． C． 1 D．
参考答案：
D
【考点】： 抛物线的简单性质．
【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】： 先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值范围，代入化简即可得到答案．
解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，
配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，
因为ab≤，
则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，
所以≥=3，
则，即所求的最小值是，
故选：D．
【点评】： 本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．
2. 直角△ABC中，AD为斜边BC边的高，若||=1，||=3，则=（ ）
A．B． C．－D．－
参考答案：
A
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，写出A、B、C的坐标，利用BC的直线方程求出点D的坐标，再写出、，计算的值．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，
A（0，0），B（3，0），C（0，1）；
则BC的直线方程为+y=1，
设点D（m，n）；
则，
解得m=，n=，
∴D（，）；
∴=（3，0），
=（，﹣），
∴=3×+0×（﹣）=．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与运算问题，是基础题．
3. 若集合= （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
4. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
A
第一次循环得；第二次循环得；第三次循环得，第四次循环得，但此时,不满足条件，输出，所以选A.
【解析】略
5. 三棱柱的侧棱与底而垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正(主)视图(如图所示)的面积为8，则侧(左)视图的面积为
(A)8 (B)4 (C) 4 (D)
参考答案：
C
略
6. 以线段AB：x+y-2=0（0≤x≤2)为直径的圆的方程为 ( ）
A．(x+1)2+(y+1)2=2
B．(x-1)2+(y-1)2=2
C．（x+1)2+(y+1)2=8
D．(x-1)2+(y-1)2=8
参考答案：
B
7. 已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：①f（x）﹣ax?g（x）=0，②g（x）≠0，设数列的前n项和为Sn，则Sn的取值范围是( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】数列的求和．
【专题】综合题；等差数列与等比数列．
【分析】分别令x等于1和x等于﹣1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x）可知函数=ax是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列{an}的通项公式，进而求得其前n项和Sn，即可求得结果．
【解答】解：令x=1，由①得到f（1）=a?g（1）；令x=﹣1，f（﹣1）=，
分别代入②得：a+=，化简得2a2﹣5a+2=0，
即（2a﹣1）（a﹣2）=0，
解得a=2或a=．
∵f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），
∴＜0，
∴=ax是减函数，故a=，
∴an==，
∴Sn=1﹣，
∵0＜≤，
∴≤1﹣＜1
故选：B．
【点评】此题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出=ax的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．
8. 设．若的图象经过两点，且存在整数n，使得成立，则 ( )
A． B．
C． D．
参考答案：
B
9. 在△ABC中，，E为AD的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解.
【详解】，
故选:D
【点睛】本题主要考查向量的三角形法则和平行四边形法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10. 在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由?=（）?，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出? 的值．
【解答】解：由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，
?=（）?=+=0+||?||cos45°=×3×3×=3，
故选B．
【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量，，，则实数的值是 ．
参考答案：
12. 已知集合，则的子集个数为 ___▲____．
参考答案：
4
集合，，
则，
则的子集是：，，，，共4个.
故答案为：4.
13. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_________.
参考答案：
14. 若双曲线的渐近线与抛物线的准线相交于A,B两点，且△OAB（O为原点）为等边三角形，则=_______.
参考答案：
4
略
15. 函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定
（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点A,B是抛物线上不同的两点，则；
④设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若恒成立，则实数t的取值范围是.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
参考答案：
②③
试题分析：①错：
②对：如；③对；；
④错；，
因为恒成立，故.故答案为②③.
考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
16. 如图, 在中,, 点在线段上, 且,则 ．
参考答案：
考点：向量数量积，二倍角公式，余弦定理
【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
17. 如图所示的算法流程图中,若则的值等于 .
参考答案：
9
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 求同时满足下列条件的所有的复数z,
(A) z +∈ R, 且1
0时, x+≥2>6. 故y=0时,无解.
当x2+y2=10时, 可化为1<2x≤6, 即
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