江苏省南京市东方中英文学校高二数学理期末试卷含解析

江苏省南京市东方中英文学校高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（　　） A．19 B． C． D． 参考答案： C 【考点】向量的模． 【分析】利用向量的坐标公式求出的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值． 【解答】解： =（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3）， ||= = 求出被开方数的对称轴为x= 当时，||取最小值． 故选C 2. 已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（　　） A．﹣3 B． C．5 D．6 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5． 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部， 其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5） 设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（2，﹣1）=5 故选：C 3. 若（1﹣2x）2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017（x∈R），则++…+的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 参考答案： CD 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】分别令x=0，或x=，即可求出答案． 【解答】解：由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R）， 令x=0，可得1=a0． 令x=，可得0=1+++…+， 则++…+=﹣1， 故选：C 4. 中，分别是的对边，若，则的最小值为（   ） A.      B.       C.          D. 参考答案： C 略 5. 已知等比数列{an}的公比为2，则值为（　　） A． B． C．2 D．4 参考答案： D 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：由已知可得： =22=4． 故选：D． 6. 设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（　　） A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】常规题型． 【分析】由题意a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，若a∥b，l与a垂直，且斜交，推不出l一定垂直平面α，利用此对命题进行判断； 【解答】解：∵a、b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，“ ∵l⊥a，l⊥b”，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α， 若“l⊥α，∵a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线， ∴l⊥a，l⊥b， ∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分的条件， 故选C． 【点评】此题以平面立体几何为载体，考查了线线垂直和线面垂直的判定定了，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题． 7. 若函数有极值，则导数的图象可能是（） A．     B．      C．       D． 参考答案： B 若函数有极值点x0， 则函数f′（x）有零点，且在零点左右两侧异号， 由函数图象可知，B选项符合题意， 故选：B   8. 箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是 （    ）                                   参考答案： B 9. 下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”的否命题是“若，则” B．命题“，”的否定是“，” C．函数的最小值为2 D．若，则“”是“”的必要不充分条件 参考答案： D 对于选项A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以选项A错误. 对于选项B，命题“，”的否定是“，”，所以选项B错误. 对于选项C，不能利用基本不等式求最小值，因为取等的条件不成立. 只能这样：设所以函数在上是增函数，所以t=3时函数取最小值所以选项C错误. 对于选项D,由得a>1或a<0，由于a>1或a<0是“”的必要不充分条件，所以 “”是“”的必要不充分条件，所以选项D正确. 故选D.   10. 函数的定义域为（    ） A．    B．   C．     D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若不等式的解集为R,则的取值范围是                . 参考答案： 略 12. 关于函数极值的说法正确的有________． ①函数的极大值一定大于它的极小值； ②导数为零的点不一定是函数的极值点； ③若f(x)在区间(a，b)内有极值点，那么f(x)在区间(a，b)上一定不单调； ④f(x)在区间[a，b]上的最大值，一定是f(x)在区间(a，b)上的极大值． 参考答案： 略 13. 若函数是奇函数，则=          。 参考答案： 1 14.        参考答案： 15. 艺术体操委员会由10位女性委员与5位男性委员组成,委员会要组织6位委员出国考查学习,如果按性别作分层,并在各层按比例随机抽样,试问此考查团的组成方法有_____种. 参考答案： 2100 16. 中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体ABCD为一个鳖擩，已知AB⊥平面BCD，，若该鳖擩的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为          ． 参考答案：    7π 17. 关于下列例题： ①两变量x,y之间的线性回归方程y＝bx＋a的图象必过定点； ②函数y＝f（x）在点取极值是＝0的充分条件； ③从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，其中虚数有25个； ④若不等式a≤｜x｜－｜x－1｜的解集为空集，则a1； ⑤由直线y＝x与曲线y＝x2围成的封闭图形面积为 其中下列的命题的序号是＿＿＿＿＿＿ 参考答案： ①③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分16分) 设函数,． （1）求的展开式中系数最大的项； 　（2）若（为虚数单位）,求． 参考答案： （1）展开式中系数最大的项是第4项＝；        　　………6′ （2）由已知，，两边取模，得，所以. 所以= 而    所以                         …………16′ 19. (本小题满分12分) 在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面,，分别为的中点． （1）证明： （2）求锐二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 参考答案： 证明：（1）取AC中点D，连结SD，BD．     ……………3分 以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴的正向，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，，0）S（0，0，），M（1，，0），N（0，，）．=（-4，0，0），=（0，，）． =（-4，0，0）（0，，）=0，．……………3分  (2)由（1）得设为平面CMN的一个法向量，则　  取z=1,x=．∴　．……………6分 20. 已知两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点为P，直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直． （Ⅰ）求直线l的方程； （Ⅱ）求直线l关于原点对称的直线方程． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程． 【专题】直线与圆． 【分析】（Ⅰ）联立方程组可得交点P的坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可； （Ⅱ）由题意和对称性可得（0，﹣2）在要求的直线上，斜率为，同（Ⅰ）可得． 【解答】解：（Ⅰ）联立方程组，解得， ∴直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点P（0，2）， 又∵直线5x+3y﹣6=0的斜率为，∴直线l的斜率为， ∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣0），化为一般式可得3x﹣5y+10=0； （Ⅱ）由题意和对称性可得直线l上的点P（0，2）关于原点的对称点（0，﹣2）在要求的直线上， 由对称可得要求的直线与l平行，故斜率也为， ∴直线l关于原点对称的直线方程为y+2=x，化为一般式可得3x﹣5y﹣10=0 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的对称性，属中档题． 21. 已知过点A（0，﹣1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4交于M，N两点． （1）求k的取值范围； （2）若?=9，其中O为坐标原点，求|MN|． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围． （2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx﹣1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解． 【解答】解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在， 设过点A（0，﹣1）的直线方程：y=kx﹣1，即：kx﹣y﹣1=0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=2． 故由＜2，解得：k＞； （2）设M（x1，y1）；N（x2，y2）， 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx﹣1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=4， 可得（1+k2）x2﹣4（2k+1）x+16=0 ∴x1+x2=，x1?x2=， ∴y1?y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1 =?k2+k?+1=， 由?=x1?x2+y1?y2=17﹣=9，解得k=2， 故直线l的方程为y=2x﹣1，即2x﹣y﹣1=0． 圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径． 所以|MN|=4． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力． 22. 已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点． （1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程； （2）求证：直线AB恒过定点． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）问利用平面几何的知识，根据勾股定理、射影定理可以解决； （2）问设点Q的坐标，由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即可得出结论． 【解答】解：（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|=， 又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|==， ∵|MQ|=，∴|MQ|=3． 设Q（x，0），而点M（0，2），由=3，得x=±， 则Q点的坐标为（，0）或（﹣，0）． 从而直线MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0． （2）证明：设点Q（q，0），由几何性质， 可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x（x﹣q）+y（y﹣2）=0， 而线段AB是此圆与已知圆的公共弦， 即为qx﹣2y+3=0， ∴直线AB恒过定点（0， ）