湖南省永州市荒塘乡民族中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

湖南省永州市荒塘乡民族中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知α=sin150°，b=tan60°，c=cos（﹣120°），则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 参考答案： B 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】利用诱导公式化简在同一象限，即可比较． 【解答】解：α=sin150°=sin（180°﹣30°）=sin30°=， b=tan60°=， c=cos（﹣120°）=cos（90°+30°）=﹣sin30°=﹣． ∴b＞a＞c， 故选：B． 【点评】本题考查了诱导公式的化简能力．属于基础题． 2. 如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图，以下结论中一定正确的是（   ） A. 四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量 B. 苹果第二季度的销量小于第三季度的销量 C. 第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果 D. 华为的全年销量最大 参考答案： D 【分析】 根据华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图，分析出每个季度华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比，再对每个选项进行分析判断即可. 【详解】对于A，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A错误； 对于B，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B错误； 对于C，第一季度销量最大的是华为，故C错误； 对于D，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，D正确， 故选D. 【点睛】本题主要考查百分比堆积图的应用，考查了数形结合思想，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 3. 设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值． 【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312， ∴f（﹣7）+f（log312） =1+log39+ =1+2+4=7， 故选：A． 【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用． 4. 设变量x，y满足约束条件，则z=|x﹣3y|的最大值为(     ) A．4 B．6 C．8 D．10 参考答案： C 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：由题意画出满足条件的可行域，再通过平移直线y=x可得答案 解答： 解：由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分， 则对于目标函数z=|x﹣3y|，平移直线y=x可知， 当直线经过点A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|取得最大值， 代值计算可得zmax=|﹣2﹣3×2|=8． 故选：C． 点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 5. 已知i为虚数单位，则复数z=（1+i）i对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】先将复数化简，整理出实部和虚部，写出复数对应的点的坐标，判断出所在的象限． 【解答】解：由题意知z=i?（1+i）=﹣1+i， ∴复数Z对应的点的坐标是（﹣1，1），在第二象限， 故选：B． 6. 设是等比数列的前项和，若，则（   ） A．                B．                  C．               D．或 参考答案： B 试题分析：，，选B. 考点：等比数列公比 7. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是( ▲ ) A.         B.          C.         D. 参考答案： B 略 8. 已知三棱锥，是直角三角形，其斜边平面，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A．          B．       C.         D． 参考答案： D 本题考查空间几何体的表面积.三棱锥所在长方体的外接球,即三棱锥所在的外接球;所以三棱锥的外接球的直径,即三棱锥的外接球的半径;所以三棱锥的外接球的表面积.选D. 9. 是两个向量，且，则与的夹角为（     ） A.             B.             C.           D. 参考答案： C 10. 已知集合，集合，则A∪B=(  ) A. (2,3) B. (2,3] C. [0,5) D. (0,5] 参考答案： C 【分析】 先求解A,B，再由并集运算求解即可 【详解】 =，则 故选：C 【点睛】本题考查二次不等式的解法和对数不等式求解，考查集合运算，准确计算是关键，是基础题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是　　． 参考答案： （﹣1，2） 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质． 【分析】根据函数的奇偶性和条件，通过导函数判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数， ∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x）， 即xf′（x）+f（x）＜0， ∵F（x）=xf（x）， ∴F′（x）=xf′（x）+f（x）， 即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数， ∵f（x）是奇函数， ∴F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数． 即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|）， ∴|2x﹣1|＜3， ∴﹣3＜2x﹣1＜3， 即﹣2＜2x＜4， ∴﹣1＜x＜2， 即实数x的取值范围是（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）． 12. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标是　     　． 参考答案： （0，﹣1） 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案． 【解答】解：∵=， ∴复数在复平面上所对应的点的坐标是（0，﹣1）． 故答案为：（0，﹣1）． 　 13. 正三棱锥A－BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为____          ． 参考答案： 如图3，设三棱锥的外接球球心为O， 半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2， ，M为正的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以. 14. 在中，,则等于_________ 参考答案： 1 15. 设处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________. 参考答案： -1 16. 设函数，则函数的零点的个数为（  ） A．1           B．2            C．3            D．4 参考答案： B 略 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a-b)sinB＝asinA－csin C．且a2＋b2－6(a+b)＋18＝0，＝────── 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （I）试讨论的奇偶性；（II）若，且的最小值为１，求的值． 参考答案： 解:(i)当时,定义域为R关于原点左右对称. 为偶函数. (ii)当时,, 为非奇非偶函数. （2）   当时，在上单调递增， 当时， 当时，，当时， 又的最小值为1， 综上得： 略 19. （本小题满分13分） 已知圆的圆心在坐标原点O，且恰好与直线相切，点A为圆上在直角坐标系，椭圆的左、右焦点分别为.其中也是抛物线的焦点，点M为在第一象限的交点，且. （I）求椭圆的方程； （II）若过点D（4，0）的直线交于不同的两点A、B，且A在DB之间，试求面积之比的取值范围. 参考答案： （1）（2）  【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系H5 H8 （1）依题意知，设由椭圆的定义可得， 由抛物线定义得，即， 将代入抛物线方程得， 进而由及，解得， 故椭圆的方程。 （2）  依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=my+4代入， 整理得，由，解得， 设,则 令,则,且， 将代入得，消去得， 即，由得， 所以且， 解得或， 又因为，所以， 故面积之比的取值范围是。 【思路点拨】（1）由椭圆的定义可得，进而将代入抛物线方程得，结合基本量间的关系即可；（2）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=my+4代入，整理得，由，解得， 由根与系数的关系结合换元法即可。 20. （12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求的值.      （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,  8.6, 9.2,  9.6,  8.7,  9.3,  9.0,  8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。 参考答案： (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为. (3)样本的平均数为, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,  8.6,   9.2,  8.7,  9.3,  9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为. 21.     如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点．  （Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；  （Ⅱ）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值． 参考答案： 证明：（I）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。 连结交于O，则O是的中点，又D是BC的中点，所以在中，。 因为平面，