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1、2021年湖南省益阳市人和中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，则输出S=（ ）A. 26B. 57C. 120D. 247参考答案：B试题分析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：故选B.考点：程序框图.【方法点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，难度不大；分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量的值，并输出时，变量的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难
2、得到输出结果.2. 函数y2cosx1，xR的最小值是( )A3B1C1D3 参考答案：A3. 若，则等于（ ）A1BCD 参考答案：C试题分析：.4. 设，向量且，则（A） （B） （C） （D）参考答案：A略5. 函数在(0,+)内有且只有一个零点，则a的值为（ ）A. 3B. 3C. 2D. 2参考答案：A【分析】求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，在单调递增，且，在不存在零点；若，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.6. 已知在中，
3、则（ ）A B C. D参考答案：A7. 设函数，则下列结论中错误的是（ ）A. f(x)的一个周期为2B. f(x)的最大值为2C. f(x)在区间上单调递减D. 的一个零点为参考答案：D【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数，再由奇偶性的定义判断；由三角函数的有界性判断；利用正弦函数的单调性判断；将代入判断.【详解】 ，周期正确；的最大值为2，正确，在上递减，正确；时，不是的零点，不正确.故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.8. 设M平面内的点(a，
4、b)，Nf(x)|f(x)acos 2xbsin 2x，给出M到N的映射f：(a，b)f(x)acos 2xbsin 2x，则点的象f(x)的最小正周期为A B2 C. D.参考答案：A略9. 已知为虚数单位，为实数，复数满足，若复数是纯虚数，则（ ）A B C D参考答案：B10. 下列命题中，真命题是AR，x B命题“若x1，则1”的逆命题CR，x D命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若不等式 对任意的实数 恒成立，则实数 的最小值为 参考答案：12. 若各项均为正数的等比数列an满足a1a2a3=5，a7a8
5、a9=10，则a19a20a21= 参考答案：40考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由已知两式相除可得比为q满足q18=2，而所求式子等于a1a2a3（q18）3，代入计算可得解答：解：设各项均为正数的等比数列an的公比为q，则q0，q18=2，a19a20a21=a1q18a2q18a3q18=a1a2a3（q18）3=523=40故答案为：40点评：本题考查等比数列的性质，得出q18=2是解决问题的关键，属基础题13. 已知点P，Q是ABC所在平面上的两个定点，且满足，2，若|=，则正实数=参考答案：【考点】向量的三角形法则【专题】平面向量及应用【分析】利用向量的运算可得
6、点P是线段AC的中点，点Q是线段AB的中点，再利用三角形的中位线定理即可得出【解答】解：满足，点P是线段AC的中点2，=，点Q是线段AB的中点，|=，【点评】本题考查了向量的三角形法则、三角形的中位线定理，属于基础题14. 已知全集为，集合，则 ； ； 参考答案： ； 15. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1，2），C（3，1），点P（x，y）为ABC边界及内部的任意一点，则x+y的最大值为 参考答案：3【考点】简单线性规划【分析】由三角形三个顶点的坐标作出平面区域，令z=x+y，化为y=x+z，数形结合顶点最优解，把最优解的坐标代入得答案【解答】解：ABC三个顶点坐标分别为A（
7、1，0），B（1，2），C（3，1），如图，令z=x+y，化为y=x+z，可知当直线y=x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3故答案为：316. 设、，且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是_参考答案：因为函数是奇函数，所以，即，所以，即，所以，所以，即，由得，所以，所以，所以，即，所以的取值范围是。17. 已知，若，则 。 参考答案：-2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知数列的前n项和为，数列的前n项和为,为等差数列且各项均为正数，(1)求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求参考答案：解：（
8、1）当时，3分数列是首项，公比为3的等比数列4分从而得： 6分（2）设数列的公差为依题意有 8分故10分略19. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形， ，底面.()证明：平面平面； ()若，求与平面所成角的正弦值。 参考答案：() 证明： 又底面 又 平面又 平面 平面 平面平面()如图，分别以、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 则， ， 设平面的法向量为， 解得 略20. 某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测
9、试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和期望参考答案：(1)3(2)342(3) 的分布列为P1231/31/21/6 11分解析：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，人数为：500.06=3所以该样本中成绩优秀的人数为3 3分（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：9000.38=342
10、 所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。 7分（3）第五组共有500.008=4人,其中1男,3女,则的可能取值为1，2，3； 8分 9分 10分的分布列为P1231/31/21/6 11分12分略21. （12分） 已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为、，动点A、M、N满足（），（）求点M的轨迹W的方程；（）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围参考答案：解析：（）， MN垂直平分AF又， 点M在AE上，2分 ， ， 4分 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 5分 点M的轨迹W的方程为（）6分（）设 ， 8分由点P、Q均在椭圆W
11、上， 9分消去并整理，得，11分由及，解得 12分22. 在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac（）求角B的大小；（）若b=2，且sinB+sin（CA）=2sin2A，求ABC的面积参考答案：【考点】余弦定理【分析】（）整理已知等式可得a2+c2b2=ac，由余弦定理可得cosB=，结合范围B（0，），可求B的值（）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：cosA（sinC2sinA）=0，可得cosA=0，或sinC=2sinA，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（）（a+c）2=b2+3ac，可得：a2+c2b2=ac，由余弦定理可得：cosB=，B（0，），B=6分（）sinB+sin（CA）=2sin2A，sin（C+A）+sin（CA）=2sin2A，sinCcosA+cosCsinA+sinCcosAcosCsinA=4sinAcosA，可得：cosA（sinC2sinA）=0，cosA=0，或sinC=2sinA，当cosA=0时，A=，可得c=，可得SABC=?b?c=；当sinC=2sinA时，由正弦定理知c=2a，由余弦定理可得：4=a2+c2ac=a2+4a22a2=3a2，解得：a=，c=，SABC=acsinB=12分
