第二章 导数、微分及其应用 函数的导数、微分有着极其广泛的应用，本章介绍导数、微分的概念、计算方法及其应用，尤其侧重介绍在经济方面的应用.§2.1 导数的概念及运算一、导数的定义（一）两个实例引例1 产品总成本的变化率设某产品的总成本C是产量的函数，当产量由改变为时，总成本相应的改变量为，这时，称为产量由改变到时产品总成本的平均变化率．当时，如果极限 存在，则称此极限值为产量是时总成本的变化率，又称为边际成本．引例2 求曲线在点(,)的切线的斜率.给自变量一个微小的改变量,如右图2.1, 让自变量从变化到+时，函数相应的改变量为 ,这时，曲线上点(,) 变到了点(+,)．从而曲线的割线的斜率为 ．割线的斜率是曲线在点(,)的切线的斜率的近似值．当时,割线的斜率的极限就是曲线在点(,)的切线的斜率，即．前两个引例虽然具体内容不同,但都是函数变化率的极限问题，解决问题的方法是相同的．我们抽象引出导数的定义.（二）导数的定义１．定义 设函数在点的某一邻域内有定义, 当自变量在处取得增量(点+仍在该邻域内)时, 相应地函数取得增量，如果极限 存在,则称函数在点处可导,并称此极限值为函数在点的导数.记为,或．如果 不存在,则称函数在点处不可导．如果极限和都存在，其极限值分别称为函数在点处的左导数和右导数．分别记为和．函数在点处可导的充分必要条件是函数在点处的左、右导数都存在且相等．如果函数在开区间内的每一点都可导，就称函数在开区间内可导．这时，对于开区间内的每一个值，都有的一个确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数的导函数，记作，．导函数的定义式为 ．显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即 ．在不发生混淆的情况下，导函数也简称为导数．因此, 引例中产品总成本的变化率是总成本Ｃ对产量的导数：；而曲线在点(,)处的切线的斜率是函数在点处的导数：．2. 一些基本初等函数的导数例1 求常函数是常数)的导数．解 ．例2 求幂函数是自然数)的导数．解 由二项式定理：更一般地, 幂函数)的导数．常用的结论: ．例3 求正弦函数的导数．解故正弦函数的导数：．同理可得 余弦函数的导数：．例4 求指数函数的导数．解 ．令．即 ．特别地，当时，因 ，所以 ．例5 求对数函数的导数．解 ．即 ．特别地，当时，因 ，所以有 ．3．导数公式由导数定义及有关求导法则可得基本初等函数的求导公式：4．导数的实际意义及应用（1）导数的几何意义如图2.2，曲线在处的导数就是曲线在(,)点的切线的斜率，即： ．而表示曲线在该点的法线的斜率．从而，曲线在处的切线方程为：．曲线在处的法线方程：．例6 求在点P(e,1)处的切线方程和法线方程．解 切线斜率, 法线斜率,故在P(e,1)处的切线方程为: ，即． 在P(e,1)处的法线方程为: , 即．（2）导数的经济意义 在经济应用中，一个函数的导数表示该函数的边际函数，我们将在§2.5中详细讨论.（3）导数的物理意义设物体作变速直线运动的运动方程,那么物体在时刻的瞬时速度.二、可导与连续的关系定理１ 函数在某点可导则必连续．注意：反之不一定成立，即函数在某点连续则不一定可导．如图2.3，显然，在处连续，但，，故在处不可导．三、求导法则1.导数的四则运算法则定理２ 设在点处可导，则在点处也可导，并且：特别地 (k为常数);（3），其中．法则（1），法则（2）都可推广到有限个函数的情形.例7 求函数下列函数的导数：．解 ． 2. 复合函数的求导法则定理３ 设函数是由复合而成的复合函数，是中间变量，若在点可导,且在对应的点可导（即 存在）,则复合函数在点也可导，且．例8 求下列函数的导数：解 ，则 ，则注意：复合函数的求导熟练后,不必写出中间变量,可以直接由外到里逐层求导． 四、隐函数的导数形如的函数称为显函数．如:．形如这种没有解出因变量y，由方程所确定的函数称为隐函数．求隐函数的导数，可不化成显函数而直接求出其导数．隐函数的求导方法：在方程中，将看成的函数，则的表达式看成的复合函数（这里是中间变量）．利用复合函数的求导法则，方程两边对求导，得到一个关于的方程；从中解出，即为隐函数的导数。
例9 求由方程确定的隐函数的导数解 方程两边对求导，得 ，整理，得 ．例10 求由方程 所确定的隐函数在点处的导数．解 将方程两边对求导，得 ，即 ，解出得，．故 ．有时，需对所给的函数取对数化为隐函数后再求导，这种方法我们称为对数求导法．例11 求幂指函数的导数．解 方程两边取对数,得 ，方程两边对求导，得 ，整理，得 ．例12 设，求．解 方程两边取对数，得， 方程两边对求导，得 ， 整理，得 ．五、高阶导数一般地，函数的导数仍然是的函数，如果的导数存在，则称这个导数为函数的二阶导数，记为；类似地，的二阶导数的导数称为的三阶导数，记为或；…，的阶导数的导数称为的 n阶导数，记为：. 函数二阶及二阶以上导数统称为高阶导数．而原来的导数称为一阶导数．例13 求下列函数的三阶导数：.解:； ； ． §2.2函数的微分 在实际应用中有这样一类问题：当自变量在点处有微小的增量时，要计算函数的增量，但是的计算往往比较复杂，因此就想到要寻找一个计算比较方便，精度比较高的计算方法，这种方法就是我们要学习的微分．一、函数微分的概念引例 如图2.4所示，一个正方形的铁片受热后均匀膨胀，边长由变为，问铁片的面积大约改变了多少？由正方形的面积公式得面积的增量为．由图不难看出当时，上式中第一项是影响面积增量的主要部分，而第二项是次要部分，所以， ，其中是的线性函数，因此我们把称为的线性主部，由此引出微分定义：定义 设函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记为 .当时，一方面，另一方面，故即 例１ 求下列函数的微分：．解如图2.5，函数的微分的几何意义是：曲线在点处的切线对应于的纵坐标的增量．二、微分的基本公式与法则 １．基本初等函数的微分公式 2．微分的四则运算法则．（k为常数）．．3．复合函数的微分法则由函数复合而成的复合函数的微分为．它说明了不论是中间变量还是自变量，函数的微分都可以表示为，这叫一阶微分形式的不变性．例２ 求函数的微分．解 ．例３ 填空： 解 ； ；．三、微分在近似计算中的应用例４ 近似计算的值解 注 ，由此，当很小时，可得如下常用近似公式：§2.3 中值定理 罗必塔法则 导数概念来源于实践，又服务于实践，这就是数学的魅力及所在．罗必塔法则就是导数应用之一．求或型的未定型极限的理论基础是微分学的柯西中值定理．为此，先介绍微分学的基本定理．一、微分中值定理定理１ （罗尔（Rolle）定理） 若函数满足：（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导；（３）．则在区间内至少有一点（），使得．如图2.6，函数满足罗尔定理的三个条件，则在内至少有一点（），使得函数在这些点的切线平行于轴，即．定理2 （拉格朗日(Lagrange) 中值定理） 若函数满足：（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导；则在区间内至少有一点（），使得． 如图2.7函数满足拉格朗日定理的两个条件，则在内至少有一点（），使得函数在这些点的切线平行于两端点的连线，即．推论１ 如果函数在区间内任一点的导数都等于零，则在内是一个常数．推论２ 如果在区间内的任一点都有，则在内仅相差一个常数，即．注 拉格朗日定理也称为微分中值定理．定理3 （柯西(Cauchy) 中值定理） 若函数，满足：（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导且；则在区间内至少有一点（），使得．注 罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情形，拉格朗日中值定理又是柯西定理的特殊情形．二、罗必塔（L，Hospital）法则 在自变量的某个极限过程中（不妨记），若，都趋于零或都趋于无穷大，那么不一定存在，一般称为未定型极限，记为或,对此类极限的计算，我们有如下法则。
定理4 （罗必塔（L，Hospital）法则） 设在自变量的某个极限过程中（不妨记），若，满足: (1) 是或型;(2)存在,且; (3) ．则有．例1 求．解 ． 例2 求．解: ． 例3 求．解 ． 例4 求．解 ．例5 求．解 原式=．例6 求．解 原式=．例７ 求．解 由 ，得 ， 原式=1．例８ 求．解 ．解 原式=．注意：（1）当是或型时，可考虑用罗必塔法则，边用边检验、计算2）每用一次罗必塔法则后，应将结果尽可能化简，还应结合求极限的其它方法，使计算快捷 （3），，等类型的极限，应采取变形的方式将极限化为或型，才能用罗必塔法则4）当用罗必塔法则失效或用其他方法求或型极限更简便时，应选用其他方法求极限. §2.4 函数的单调性与极值在初等数学中，我们接触过函数的单调性，最大值和最小值等内容.本节我们利用导数进一步地研究函数的单调性、极值和最值．一、函数的单调性定理1 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导.（1）若在内，则在上单调增加；（2）若在内，则在上单调减少.如图2.8所示，函数在上单调增加，则曲线上各点处的切线的倾斜角都是锐角，此时切线的斜率，即；如图2.9所示，函数在上单调减少，则曲线上各点处的切线的倾斜角都是钝角，此时切线的斜率，即注 将定理1结论中的闭区间换成其他区间，结论仍成立.例１ 验证在定义域内单调增加．解 这两个函数的定义域都是，而，故在定义域内单调增加.若函数在定义域内有增减性的变化，我们可以找到那些使单调性改变的分界点，进而用定理1 去判断函数在每一个单调区间的单调性．观察图2.10，的单调性改变的分界点具有两个特征之一： (1)使的点（称之为驻点，）;(2)不存在的点（即一阶不可导点）．但是，并不是所有的使或不存在的点都是函数单调性改变的分界点，需要列表判断．例如，在0点，但函数单调性并没有改变（见图2.11）。
一般地，确定函数单调性的步骤为：（1） 求函数的定义域；（2） 求函数的驻点及不存在的点；（3） 列表判断（用上述点将定义域划分为若。