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1、第六章第六章 定积分定积分求总量的问题求总量的问题山西师范大学高等数学（一）教学目标（一）教学目标教学目标：要求学生掌握定积分的概念、教学目标：要求学生掌握定积分的概念、微积分基本定理、非正常积分、定积分微积分基本定理、非正常积分、定积分的应用；要求理解定积分的概念，会求的应用；要求理解定积分的概念，会求定积分与非正常，能利用定积分解决一定积分与非正常，能利用定积分解决一些几何问题；理解李善兰对我国近代数些几何问题；理解李善兰对我国近代数学发展所起的作用。学发展所起的作用。（二）教学重点（二）教学重点教学重点：定积分的概念和性质、微积教学重点：定积分的概念和性质、微积分基本定理、定积分的换元积
2、分法和分分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法、定积分在几何学中的应用。部积分法、定积分在几何学中的应用。（三）教学难点、教学时数（三）教学难点、教学时数 教学难点：定积分的概念、定积分的换教学难点：定积分的概念、定积分的换元积分法和分部积分法、非正常积分、元积分法和分部积分法、非正常积分、微元法、定积分在几何学中的应用。微元法、定积分在几何学中的应用。教学时数：教学时数：本章总教学时数为本章总教学时数为1010学时学时。（四）教学内容（四）教学内容1特殊和式的极限特殊和式的极限定积分的概念定积分的概念2计算定积分的一般方法计算定积分的一般方法微积分基本微积分基本定理定理3定积分的拓展定积
3、分的拓展非正常积分非正常积分4定积分的魅力显示定积分的魅力显示在若干学科中在若干学科中 的的应用应用数学家启示录数学家启示录1.1抽象定积分概念的两个现实原型抽象定积分概念的两个现实原型原型原型 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 设设f(x)为闭区间为闭区间 a,b上的连续函数，且上的连续函数，且f(x)0.由曲由曲线线y=f(x),直线直线x=a、x=b 以及以及 x 轴所围成的平面轴所围成的平面图形图形(图图6.1)称为称为f(x)在在 a,b上的曲边梯形的面积上的曲边梯形的面积s.xya=x 0b=x 0y=f(x)(图6.1)设质点设质点 m 受力受力 F 的作用沿的作用沿 x 轴由点
4、轴由点a 移动至点移动至点b,并设并设 F平行于平行于 x 轴轴(图图6.2).如果如果F是常量是常量,则它对质点所作的功为则它对质点所作的功为W=F(b-a)如果力如果力 F不是常量不是常量,而是质点所在位置而是质点所在位置x 的连续函数的连续函数那么那么F 对质点对质点 m 所作的功所作的功W应如何计算呢应如何计算呢?我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行.原型原型 求变力所作的功求变力所作的功.oFab图6.2定义定义 设设 f(x)是定义在区间是定义在区间 a,b 上的有界函数上的有界函数,用用点点 将区间将区间 a,b 任意分割成任意分割成 n
5、个子区间个子区间 xi-1,xi(i=1,2,n)这些这些子区间及其长度均记作子区间及其长度均记作 xi=xi-xi-1(i=1,2,n).在每个子区间在每个子区间 xi 上任取一点上任取一点 ,作作 n 个乘积个乘积f()xi 的和式的和式 如果当如果当 ,同时最大子区间的长度同时最大子区间的长度 时时,和式和式 的极限存在的极限存在,并且其极限与区间并且其极限与区间a,b 的分割法以及的分割法以及 的取法无关的取法无关,则该极限值称则该极限值称为函数为函数 f(x)在区间在区间 a,b 上的定积分上的定积分,记作记作 即即1.2定积分的概念定积分的概念在连续变力在连续变力F(x)作用下作用
6、下,质点质点m 沿沿x 轴从点轴从点 a 位移位移到点到点b 所作的功为所作的功为F(x)在在a,b 上的定积分上的定积分,即即定积分存在称为可积定积分存在称为可积,否则称为不可积否则称为不可积.原型原型和和的问题可以简洁地表述为的问题可以简洁地表述为:连续曲线连续曲线y=f(x)0 在在a,b 上构成的曲边梯形的上构成的曲边梯形的面积为函数面积为函数 y=f(x)在在a,b 上的定积分上的定积分,即即定积分的几何意义当 f（x）0 时，定积分的几何意义就是以曲线y=f（x），直线 x=a、x=b以及x 轴为边的曲边梯形的面积S；但若 f（x）0 ，由定积分的意义可知，这时S为负值。对于一般函
7、数f（x）而言，定积分S的值则是曲线在x 轴上方部分的正面积与下方部分的负面积的代数和。如图6.3所示1.3求定积分过程中的辨证思维求定积分过程中的辨证思维无论是求曲边梯形的面积,还是求变力作功,初等数学都无法解决,而高等数学可迎刃而解.定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则。同时也体现了否定之否定法则。1.4可积条件可积条件定理1 （可积的必要条件）若函数f（x）在a，b 上可积，则 f（x）在 a，b 上有界。定理2 （可积的充分条件）若 f（x）是闭区间a，b 上的连续函数，或者是闭区间a，b 上的单调函数，或者是a
8、，b 上只有有限个间断点的有界函数，则f（x）在a，b 上可积。定理3 （对积分区间的可加性）有界函数f（x）在a，c、c，b 上都可积的充要条件是 f（x）在a，b 上可积，且定理2 若 f（x）、g（x）在a，b 上可积，则f（x）g（x）在a，b 上也可积，且定理1 若f（x）在 a，b上可积，k为常数，则kf（x）在a，b 上也可积，且1.5定积分的性质定积分的性质定理5 （有界性）设 m，M 分别是 f（x）在a，b 上的最小值和最大值。若f（x）在a，b 上可积，则定理4 （保序性）设f（x）与g（x）为定义在a，b 上的两个可积函数。若f（x）g（x）,则 定理6（定积分的绝对值
9、不等式）若f（x）在 a，b上可积，则 在 a，b上也可积，且 定理7（积分中值定理）若函数f（x）在 a，b上连续，则在 a，b上至少存在一点 ，使得作业必作题：用定积分的定义计算 选作题：习题6第一题。思考题 定积分的定义中主要体现的数学思想是什么？定理1 若函数f（x）在 a，b上连续，则由变上限定积分定义的函数在 a，b 上可导，且2.1微积分基本定理微积分基本定理即函数 是被积函数f（x）在 a，b上的一个原函数。也是f(x)的一个原函数,而这两个原函数之差为某个常数，所以证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据定理1，在上式中令x=b，就得到所要证明的公式得 C=F
10、(a).于是定理2设f(x)在a,b上连续,若F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则(6.7)公式(6.7)称为牛顿莱布尼茨公式 若令x=a，则因由于由于 是是 的一个原函的一个原函数数,应用公式应用公式(6.7)有有例例1 计算计算解解2.1定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法定理1（定积分换元积分法）若函数f(x)在a,b上连续，函数 满足下列条件：（2）在 上有连续导数 则有定积分换元公式（1）x=asint，t0，则 dx=acostdt 当t 从 0 变到 时，x 从 0 递增到a ，故取 应用公式（6.8）,并注意到在第一象限中cost0,则有例2计算
11、解 令解 令 u=sint,则 du=costdt.当t 由0 变到 时,u从0 递增到1.应用换元公式(6.8)有例3 计算 定理2（定积分分部积分法）若 u，v是a，b 上具有连续导数的函数，则例5计算 例4计算 解解 作业作业必作题 习题6 第二题、第四题、第五题。选作题 习题6第三题。思考题 1、定积分的换元积分法中应注意的事项？2、微积分的基本定理主要解决了定积分的什么问题？定义：设函数f(x)定义在无穷区间a,+上，且在任何有限区间a，A 上可积，如果存在极限则称此极限J为函数f（x）在a,+上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作J=3定积分的拓展定积分的拓展非正常积分非正常积分
12、并称 收敛。如果极限不存在,则称无穷限积分 发散.无穷限积分的几何意义无穷限积分的几何意义若f(x)0,则 无穷限积分 收敛的几何意义是,图(6.7)中介于曲线 y=f(x)、直线x=a 及 x 轴之间向右无限延伸的阴影区域有面积,并以极限的值作为它的面积.解 任取实数a ,讨论如下两个无穷限积分：例 讨论积分 由于因此,该积分收敛,且与的敛散性作业 选作题 习题六第六题。思考题 检查下面计算过程对不对？为什么？请给出正确解法。4.1微元法微元法 设 f（x）是区间a，b 上的连续函数，为求与f（x）有关的某一总量Q ，首先选取任意小的代表区间 x，x+dx a，b。一般说来，该小区间左端点
13、x 处的函数值f（x）与区间长dx 的乘积f（x）dx 即为总量Q 的微小增量Q 的近似值Q f（x）dx，定积分的所有问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤把所求量表示为定积分的形式。但为简洁求实用，常常简化为“微元法”。并且 f（x）dx 就是总量Q的微元（即Q 的微分）dQ ，即dQ（x）=f（x）dx其次，把总量Q 的微元dQ（x）=f（x）dx 在区间a，b 上求和，写出定积分，即求得所求的总量Q，即上述求总量Q 的方法称为微元法。4.2在几何学中的应用在几何学中的应用平面图形的面积平面图形的面积由截面面积求立体体积由截面面积求立体体积平面图形的面积平面图形的面积一般地，
14、求由两条连续曲线y=f（x）（x0）及直线x=a，x=b（ab）所围成的平面图形的面积，如图（图6.8）所示,可在区间a，b 内任取两点x，x+dx,作出图中的阴影矩形,则面积微元为xyoabxx+dxy=f(x)y=g(x)图6.8 于是所求面积为 例1 求由正弦曲线y=sinx 与直线 x=0，y=0及 x=所围成图形的面积.oxyy=sinx图6.9 首先画草图(图6.9),解其面积为例2 求抛物线 与直线x-2y-3=0所围的平面图形的面积.求出抛物线与直线的交点P（1，-10与Q（9，3）,把平面图形分成 两部分,-1os1 S 2p91xy图6.10解首先画草图(图6.10),则有
15、于是由截面面积求立体体积由截面面积求立体体积设 为一空间立体,它夹在垂直于x轴的两平面x=a 及x=b之间（ab）(图6.11),求其体积V.现用微元法导出由截面面积函数求空间立体体积的公式.在a，b 内任取相邻两点x 与x+dx,过这两点分别作垂直于x轴的平面,则从 上截出一薄片.设x 处截面面积函数为A(x),由于A(x)的连续性,当dx 很小时,以底面积为A(x),高为dx 的薄柱体体积就是体积微元 dV=A（x）dx.它是薄片的体积 V 的近似值,即V dV=A(x)dx从而有例3 求椭圆 绕 x 轴旋转一周所形成的椭球的体积V.解 由椭圆方程则得当a=b=R时,得半径为R的球体体积公
16、式4.3在物理学中的应用在物理学中的应用变力作功变力作功设物体在变力y=f(x)作用下,沿x 轴正向从点a移动到点 b,求它所作的功W.在a,b上任取相邻两点x和x+dx,则力f(x)所作的微功为dW=f(x)dx,于是得例4 根据虎克定律,弹簧的弹力与形变的长度成正比.已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm 需力14000N,求弹簧压缩2cm 时所作的功.解 由题意,弹簧的弹力为f（x）=kx(k 为比例常数),当x=0.01 m时f(0.01)=k0.01=1.410000N,由此知 k=14000000,故弹力为f(x)=1400000 x.于是即弹簧压缩2cm时所作的功为280J.作业 必作题 习题六第七题、第八题第一小题。选作题 第八题第二小题。思考题 微元法体现的辨证思想方法是什么？微积分学在中国的最早传播人微积分学在中国的最早传播人李善兰李善兰 李善兰（18111882）是我国清代数学家，原名心兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁县硖石镇人.他曾任苏州府幕僚,1868年被清政府谕召到北京认同文馆数学教授,执教13年.李善兰对尖锥求积术、三角函数与对数的幂级数展开式、高阶等差级数求和等
