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1、2.1 二次函数第二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）导入新课导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河问题1我们以前学过的函数的概念是什么？如果变量y随着x
2、而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.函数一次函数反比例函数y=kx+b(k0)(正比例函数)y=kx(k0)问题2我们学过哪些函数？思考一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个
3、橙子.(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？讲授新课讲授新课二次函数的定义一合作探究(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000.(100+x)(600-5x)=60320解得，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.问题2 正方体六个面是全等的正方形，设
4、正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.前面求出的三个函数有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的 y=6x2 y=-
5、5x+100 x+60000.二次函数的定义： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的形式，则称y是x的二次函数.归纳总结a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； 例1（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题可知解得（2）由题可知解得 m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a0这一
6、限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.典例精析注意1.下列函数中,哪些是二次函数?先化简后判断练一练是不是是不是2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.(1)y=(x-2)(x-3);(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;(3)y=-2(x+3)2.解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.问题4：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000. y=6x2 600-
7、5x0，x0，0 x0.20-x0，0 x20.二 二次函数的自变量取值范围归纳总结二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.列二次函数关系式三例3一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？解：由题意得y1222x(x+1)，又x+12x12，1x6，即y2x22x144(1x6)，y是x的二次函数.分析：本题中的数量关系是： 剩余面积=正方形面积-长方形面积.当堂练习当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的
8、条件是( )A . m,n是常数,且m0 B . m,n是常数,且n0C. m,n是常数,且mn D . m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax+bx+c的形式，二次项为 _,一次项系数为_，常数项为 .3下列函数是二次函数的是 ( )Ay2x1 BCy3x21 DC-3x2-16124. 已知函数已知函数 y=3x2m-15 当当m=时，时，y是关于是关于x的一次函数；的一次函数； 当当m=时，时，y是关于是关于x的二次函数的二次函数 .15.（1） n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是
9、设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期一年到期后后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果如果存款是存款是10（万元）（万元）,那么请你写出两年后的本息和那么请你写出两年后的本息和y(万万元元)的表达式的表达式(不考虑利息税不考虑利息税).y=10(x+1)=10 x+20 x+10.6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y(8x)xx28x (0 x8)；(2)当x3时，y328315 (cm2 ).课堂小结课堂小结二次函数定
10、义y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数)一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数).见本课时练习课后作业课后作业第二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.2二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=x2的图象与性质学习目标1知道二次函数的图象是一条抛物线.2会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点）3掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点）1、一次函数一次函数y=kx+b(k0) xyob0b=0 xyob0b=0导入新课导入新课复习引入你还记得
11、一次函数与反比例函数的图象吗？2、反比例函数、反比例函数 0 xy2.通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线3.那么二次函数y=x2的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？讲授新课讲授新课二次函数y=x2和y=-x2的图象和性质一x-3-2-10123y=x2 2你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗?9410194合作探究1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：24-2-40369xy 函数图象画法函数图象画法列表描点连线2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象
12、观察思考24-2-4O369xyx-3-2-10123y=x29410149 问题1 你能描述图象的形状吗？二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.当x0时，y随x的增大而增大.24-2-4O369xy问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，(0,0).问题3 当x0时呢？问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x=0时，ymin=0.33o369xy对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,它是图象的最低点，为(0,0).问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.练一练：画出函数y=x2的图象，并仿
13、照y=x2的性质说出y=x2有哪些性质？y24-2-40-3-6-9xx-3-2-10123y=-x2-9 -4 -10-1 -4 -9 合作探究 抛物线关于y轴对称. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.24-2-40-3-6-9x 图象是一条开口向下的抛物线. 当x0时，y随x的增大而减小， 当x=0时，ymax=0.yx2yx2图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方关于y轴对称，对称轴方程是直线x0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减要点归纳yO
14、xyOx 例例1 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_.典例精析y2y1 例例1变式变式 若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_.y1y2例例2：已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积解：由题意得解得所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1)直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4.SACOCO48，SBOC412，SABOSACOSBOC10.当堂练习当堂练习 1.两条抛物线与在
15、同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A.顶点坐标均为(0,0)B.对称轴均为x=0C开口都向上D.都有(0,0)处取最值C2二次函数y =-x2的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而_减小3若点A(2,m)在抛物线y=x2上，则点A关于y 轴对称点的坐标是(-2，4)aS-1-2-3O1233216549874设正方形的边长为a，面积为S，试作出S 随a 的变化而变化的图象解：S =a2(a0)列表：a0 01 12 23 3S0149描点并连线S=a2 5.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围解：二次函数y=x2，当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，当x
16、m时，y最小值=0，m06.已知是二次函数，且当x0时，y随x的增大而减小，则a=_.解析：由题意可知解得a=3或a=-3.又当x0时，y随x的增大而减小，a=3.37.已知点(3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数yx2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_解析：方法一：把x3， ，1，分别代入yx2中， 得y19，y21，y32，则y1y3y2；方法二：如图，作出函数yx2的图象，把各点依次在函数图象上标出由图象可知y1y3y2；y1y3y2方法三：在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)又3 1，y1y3y2.课堂小结课堂小结二 次 函 数y=x2和y=x2图象与性质画法描点法以对称轴为中心 对 称 取 点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个 方 面开口方向对 称 轴顶点坐标增 减 性见本课时练习课后作业课后作业2.2 二次函数的图象与性质第二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质学习目标1.会画二次函数y=ax2和和y=ax2+c的图象.（难点）2.掌握二次函数y
