《2021-2022学年上海市大同中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021-2022学年上海市大同中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析(22页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年高考数学模拟试卷注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知斜率为2的直线l过抛物线C:的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点M的纵坐标为1,则p( )A1BC2D
2、42设i为数单位,为z的共轭复数,若,则( )ABCD3将函数的图像向右平移个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,若为奇函数,则的最小值为( )ABCD4已知等比数列的各项均为正数,设其前n项和,若(),则( )A30BCD625已知菱形的边长为2,则()A4B6CD6如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为( )ABCD7连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为,则当取得最大值时,双曲线的离心率为( )ABCD8为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美
3、国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:越小,则国民分配越公平;设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:ABCD9某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )AB1CD10已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为点,延长交椭圆于点,若为等腰三角形,则椭圆的离心率ABCD11已知复数满足,其中为虚数单位,则( )ABCD12若复数满足,其中为虚数单位,是
4、的共轭复数,则复数( )ABC4D5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_.14若且时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为_15已知实数,满足则的取值范围是_.16已知实数,满足约束条件则的最大值为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数()在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围;(2)若有两个不同的极值点,且,若不等式恒成立.求正实数的取值范围.18(12分) “绿水青山就是金山银山”,为推广生态环境保护意识,高二一班组织了环境保护兴趣小组,分为两组,
5、讨论学习甲组一共有人,其中男生人,女生人,乙组一共有人,其中男生人,女生人,现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.(1)设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生,而且这两个男生必须来自不同的组”,求事件发生的概率;(2)用表示抽取的人中乙组女生的人数,求随机变量的分布列和期望19(12分)已知函数 .(1)若在 处导数相等,证明: ;(2)若对于任意 ,直线 与曲线都有唯一公共点,求实数的取值范围.20(12分)已知点,若点满足.()求点的轨迹方程; ()过点的直线与()中曲线相交于两点,为坐标原点, 求面积的最大值及此时直线的方程.21(12分)某商场为改进服务质量,
6、随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:满意不满意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?(2)为答谢顾客,该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动据统计,在此期间顾客购买该商品的支付情况如下:支付方式现金支付购物卡支付APP支付频率10%30%60%优惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顾客按4折支付,1/2的顾客按6折支付,1/6的顾客按8折支付将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为,求的分布列和数学期望附表及公式:0.150.100.050.0250
7、.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822(10分)如图,三棱台中, 侧面与侧面是全等的梯形,若,且.()若,证明:平面;()若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解析】设直线l的方程为xy,与抛物线联立利用韦达定理可得p【详解】由已知得F(,0),设直线l的方程为xy,并与y22px联立得y2pyp20,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点C(x0,y0),y1+y2p,又线段AB的中点M的纵坐
8、标为1,则y0(y1+y2),所以p=2,故选C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题,利用韦达定理是解题的关键,属中档题2A【解析】由复数的除法求出,然后计算【详解】,故选:A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算,考查共轭复数的概念,掌握复数的运算法则是解题关键3C【解析】根据三角函数的变换规则表示出,根据是奇函数,可得的取值,再求其最小值.【详解】解:由题意知,将函数的图像向右平移个单位长度,得,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,因为是奇函数,所以,解得,因为,所以的最小值为.故选:【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质,属于基础题.4B
9、【解析】根据,分别令,结合等比数列的通项公式,得到关于首项和公比的方程组,解方程组求出首项和公式,最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为,由题意可知中:.由,分别令,可得、,由等比数列的通项公式可得:,因此.故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查了数学运算能力.5B【解析】根据菱形中的边角关系,利用余弦定理和数量积公式,即可求出结果【详解】如图所示,菱形形的边长为2,且,故选B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题.6B【解析】分别取、的中点、,连接、,利用二面角的定义转化二面角的平面角为,然后分别过
10、点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,在中计算出,再利用勾股定理计算出,即可得出球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案【详解】如下图所示,分别取、的中点、,连接、,由于是以为直角等腰直角三角形,为的中点,且、分别为、的中点,所以,所以,所以二面角的平面角为,则,且,所以,是以为直角的等腰直角三角形,所以,的外心为点,同理可知,的外心为点,分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,则点在平面内,如下图所示,由图形可知,在中,所以,所以,球的半径为,因此,球的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中
11、等题7D【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标,四个顶点构成一个菱形,求出菱形的面积,四个焦点构成正方形,求出其面积,利用重要不等式求得取得最大值时有,从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线,四个顶点的坐标为,四个焦点的坐标为,四个顶点形成的四边形的面积,四个焦点连线形成的四边形的面积,所以,当取得最大值时有,离心率,故选:D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点,焦点,菱形面积公式,重要不等式求最值,等轴双曲线的离心率,属于简单题目.8A【解析】对于,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以正确.对于,
12、根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以错误.对于,因为,所以,所以错误.对于,因为,所以,所以正确.故选A9C【解析】该几何体为三棱锥,其直观图如图所示,体积故选.10B【解析】设,则,因为,所以若,则,所以,所以,不符合题意,所以,则,所以,所以,设,则,在中,易得,所以,解得(负值舍去),所以椭圆的离心率故选B11A【解析】先化简求出,即可求得答案.【详解】因为,所以所以故选:A【点睛】此题考查复数的基本运算,注意计算的准确度,属于简单题目.12D【解析】根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长【详解】解:复数za+bi,a、bR;2z,2(a+bi)(ab
13、i),即,解得a3,b4,z3+4i,|z|故选D【点睛】本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】将四面体补成一个正方体,通过正方体的对角线与球的半径的关系,得到球的半径,利用球的表面积公式,即可求解.【详解】如图所示,将正四面体补形成一个正方体,则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球,因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为,设球的半径为,因为球的直径是正方体的对角线, 即,解得,所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了有关求得组合体的结构特征,以及球的表面积的计算,其中巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长,得到球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及运算与求解能力,属于基础题.14【解析】将不等式两边同时平方进行变形,然后得到对应不等式组,对的取值进行分类,将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围,列出对应不等式组,即可求解出的取值范围.【详解】因为,所以,所以,所以,所以或,当时,对且不成立,当时,取,显然不满足,所以,所以,解得;当时,取,显然不满足,所以,所以,解得,综上可得的取值范围是:.故答案为:.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围,难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方