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1、第二章第二章 推理与推理与证明明2021/5/231 内容结构内容结构 “ “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维过程，也是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，我们一般包括合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法证明的特点，了解数学证明的基本方法, ,包括直包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数
2、学归纳法）接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。论证有据的习惯。2021/5/2322.1 2.1 合情推理与演绎推合情推理与演绎推理理2021/5/233本节知识结构本节知识结构2021/5/2342.1.1 2.1.1 合情推合情推理理2021/5/235归纳推理推理歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730，1037，20317，301317偶数奇质数奇质数偶
3、数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数63+3， 一个偶数（不小于一个偶数（不小于6 6）总可以表示成两个）总可以表示成两个 奇质数之和；奇质数之和； 没有发现反例没有发现反例 。83+5，105+5，125+7，147+7，165+11，1 00029+971，2021/5/236归纳推理的定推理的定义: 由某由某类事物的部分事物的部分对象具有某些特征象具有某些特征,推推出出该类事物的全部事物的全部对象都具有象都具有这些特征的推理些特征的推理,或者由个或者由个别事事实概括出一般概括出一般结论的推理的推理,称称为归纳推理推理(简称称归纳). 简言之言之,归纳推理是由推理是由部分到整体部
4、分到整体、由、由个个别到一般到一般的推理。的推理。2021/5/237例如：例如： 金受热后体积膨胀，金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从此距离加大，从而导致体积而导致体积膨膨胀胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。所以，所有的金属受热后都体积膨胀。2021/5/238例如：例如： 磨擦双手（磨擦双手（S1 S1 ）能
5、产生热（）能产生热（P P），）， 敲击石头（敲击石头（S2 S2 ）能产生热（）能产生热（P P） ， 锤击铁块（锤击铁块（S3 S3 ）能产生热（）能产生热（P P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 所以，物质运动能产生热。所以，物质运动能产生热。2021/5/239例例: :观察下图观察下图, ,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，2021/5/23102021/5/2311归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤： 检验猜想。检
6、验猜想。 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；2021/5/2312类比推理比推理“火星上是否有生命火星上是否有生命”2021/5/23132021/5/2314 由两类对象具有某些类似特征，和其中一类由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为些特征的推理称为类比推理（简称类比）类比推理（简称类比）类比推理的定比推理的定义: 简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理
7、发发明行星三大明行星三大运动运动定律的定律的开开普勒普勒曾说曾说类类比推理是自然奧妙的比推理是自然奧妙的参与者参与者和自己和自己最好的老最好的老师师 数学家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一个伟类比是一个伟大的引路人大的引路人, ,求解立体几何往往有赖于平面几求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题何的类比问题.”.”2021/5/23152021/5/2316类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；特征，
8、从而得出一个猜想； 检验猜想。检验猜想。2021/5/2317 类比推理举例类比推理举例2021/5/2318例例3 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出空间给出空间 中四面体性质的猜想中四面体性质的猜想2021/5/2319直角三角形3个面两两垂直的四面体C903个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边cPDFPDEEDF904个面的面积S1，S2，S3和S3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S 例例3 3 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理, ,试给试给出空间中四面体性质的猜想出空间中四面体性质的猜想2021/5/
9、23202021/5/2321 合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。理常常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为
10、证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向我们提供证明的思路和方向2021/5/23222021/5/23232021/5/23242021/5/23252021/5/23262021/5/23272021/5/23282021/5/23292021/5/2330小小 结结 前面学习了前面学习了归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理这两种合情这两种合情推理推理, ,归纳推理是由特殊到一般的推理归纳推理是由特殊到一般的推理; ;类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理是由特殊到特殊的推理2021/5/232021/5/233131部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
