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1、2019届中考数学 压轴题函数等腰三角形问题精选解析(一)例1 如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);(2)当APD是等腰三角形时,求m的值;(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2)当点P从O向C运动时,点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程)图1 图2解析(1)因为PC/DB,所以因此PMDM,CPBD2m所以AD4m于是得到点D的坐标为(2,4m)(2)在
2、APD中,当APAD时,解得(如图3)当PAPD时,解得(如图4)或(不合题意,舍去)当DADP时,解得(如图5)或(不合题意,舍去)综上所述,当APD为等腰三角形时,m的值为,或图3 图4 图5(3)点H所经过的路径长为考点伸展第(2)题解等腰三角形的问题,其中、用几何说理的方法,计算更简单:如图3,当APAD时,AM垂直平分PD,那么PCMMBA所以因此,如图4,当PAPD时,P在AD的垂直平分线上所以DA2PO因此解得第(2)题的思路是这样的:如图6,在RtOHM中,斜边OM为定值,因此以OM为直径的G经过点H,也就是说点H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢?如图7,P与O重合时,是点
3、H运动的起点,COH45,CGH90图6 图7例2 如图1,已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B(1)求点A和点B的坐标;(2)过点A作ACy轴于点C,过点B作直线l/y轴动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿OCA的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由 图1 解析(
4、1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4)令,得所以点B的坐标是(7,0)(2)如图2,当P在OC上运动时,0t4由,得整理,得解得t2或t6(舍去)如图3,当P在CA上运动时,APR的最大面积为6因此,当t2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形,0t4如图1,在AOB中,B45,AOB45,OB7,所以OBAB因此OABAOBB如图4,点P由O向C运动的过程中,OPBRRQ,所以PQ/x轴因此AQP45保持不变,PAQ越来越大,所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上,OR2CA6所以BR1,t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4t7在APQ中, 为定值,如图5,当APAQ时,解方程,得如图6,当QPQA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP2(OROP)解方程,得如7,当PAPQ时,那么因此解方程,得综上所述,t1或或5或时,APQ是等腰三角形 图5 图6 图7考点伸展当P在CA上,QPQA时,也可以用来求解