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1、1 / 19 新高考数学复习知识点讲解与练习二元一次不等式 ( 组) 与简单的线性规划问题知识梳理1.二元一次不等式 (组)表示的平面区域(1)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点 (x，y)，使得 AxByC 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时， z 也取最小值；当b0 表示的平面区域在直线xy10 的下方 . (4)直线 axbyz0 在 y 轴上的截距是zb. 2.下列各点中，不在xy10 表示的平面区域内的是 () A.(
2、0，0) B.(1，1) C.(1，3) D.(2，3) 答案 C 解析把各点的坐标代入可得 (1，3)不适合，故选 C. 3 / 19 3.(必修 5P86T3改编)不等式组x3y60，xy20，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，k2k，12k， 1，1k为顶点的三角形区域 (包含边界 )， 易得当目标函数 z3xy 经过平面区域内点k2k，12k5 / 19 时，z3xy 取得最小值 zmin3k2k12k1，解得 k12. 考点一二元一次不等式 (组)表示的平面区域【例 1】 (1)(一题多解 )不等式 (x2y1)(xy3)0 在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示 )
3、，应是下列图形中的 () (2)设不等式组y0，xy1，ymx所表示的区域面积为S(mR).若 S1，则() A.m2 B.2m0 C.0m2 D.m2 答案(1)C(2)A 解析(1)法一不等式 (x2y1)(xy3)0 等价于x2y10，xy30或x2y10，xy30，画出对应的平面区域，可知C 正确. 法二结合图形，由于点 (0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点 (0，0)和(0，4)必在区域内，故选 C. 6 / 19 (2)如图，当 xy1 与 ymx的交点为 (1，2)时，阴影部分的面积为1，此时 m2，若 S1，则 m2，故选 A. 感悟升华二元一次不等式 (组)表示平面区
4、域的判断方法： 直线定界， 测试点定域， 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点. 【训练 1】若不等式组xy20，x2y20，xy2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m的值为 () A.3 B.1 C.43D.3 答案 B 解析如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则 m1，由xy20，xy2m0，解得x1m，y1m，即 A(1m，1m). 由x2y20，xy2m0，解得x2343m，y2323m，即 B2343m，2323m ，所围成的区域为 ABC，则 SAB
5、CSADCSBDC12(22m)(1m)12(22m) 23(1m)13(1m)243，解得 m3(舍去)或 m1.故选 B. 考点二线性规划相关问题角度 1求线性目标函数的最值7 / 19 【例 21】(2020浙江卷 )若实数 x，y 满足约束条件x3y10，xy30，则 zx2y 的取值范围是 () A.(， 4 B.4， ) C.5， ) D.(， ) 答案 B 解析如图， l1：x3y10，l2：xy30. 不等式组x3y10，xy30表示的平面区域为阴影部分. 设初始直线为 l：y12x，直线 l 通过向上平移经过可行域内的第一个点为l1与 l2的交点P(2，1)，因此 z的最小值
6、 zmin2214，所以 z4.故选 B. 角度 2求非线性目标函数的最值【例 22】 (1)已知实数 x，y 满足不等式组x0，x2y0，xy30，则(x1)2(y2)2的取值范围是() A.1，5 B.5，5 C.5，25 D.5，26 (2)(2020 湖州期末质检 )实数 x，y 满足约束条件y1，yx0，yx0，则目标函数 zy1x(x0)的取值范围是 () A.(2，2) B.(， 2)(2， ) 8 / 19 C.(， 22， ) D.2，2 答案(1)D(2)C 解析(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界 )所示.因为(x1)2(y2)2表示平面区域内的点到点
7、P(1，2)的距离的平方，直线PO：y2x 与直线 x2y0 垂直，由图知，点P(1，2)到直线 x2y0 的距离的平方为所求最小值，即为|12（2）|525，与点 A(0，3)的距离的平方为所求最大值，即为(01)23(2)226，所以所求取值范围为 5，26，故选 D. (2)在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域为以(0，0)，(1，1)，(1，1)为顶点的三角形区域 (含边界)，目标函数 zy1x(x0)表示平面区域内的点与点(0，1)连线的斜率 .易知在第一象限内， (0， 1)与点(1，1)连线的斜率取得最小值2； 在第二象限内，(0， 1)与点(1， 1)连线的斜率取得最大
8、值2， 所以 zy1x(x0)的取值范围为 (，22，)，故选 C. 角度 3求参数的值或范围【例 23】 (1)已知 x，y 满足约束条件xy50，2xy10，ax2y10，若 z2xy 的最大值为 8，则实数 a 的值为 _. (2)当实数 x，y 满足x2y40，xy10，x1时，1axy4 恒成立，则实数a 的取值范围是9 / 19 _. 答案(1)1(2) 1，32解析(1)将目标函数变形为y2xz，当 z取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线 xy50 与 2xy10 的交点 (2，3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线 ax2y10 恒过定点 0，12， 所以要使目标函数能取
9、到最大值， 需1a231220， 即2a0，从图中可看出zmin0，不符合题意；若 a0 时，zmin00.最优解在顶点处取得，代入区域的顶点 (1，0)， 1，32，(2，1)，1a4，1a324，12a14，1a32. 感悟升华线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函10 / 19 数有：截距型：形如 zaxby；距离型：形如 z（xa）2（yb）2；斜率型：形如 zybxa. (2)求参数的值或范围： 参数的位置可能在目标函数中， 也可能在约束条件中 .求解步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题
10、意的可行域里，寻求最优解 . 【训练 2】 (1)已知实数 x，y 满足x1，xy0，x2y60，则 zx2y2的最大值为 () A.2 B.22 C.4 D.8 (2)已知实数 x，y 满足约束条件2xy10，xy10，x2y40，若 ztxy 的最小值为 1，则实数 t 的取值范围是 () A.t2 B.2t1 C.t1 D.t2 或 t1 (3)若实数 x，y满足 x2y21，则|xy1|2x3y1 的最大值是 () A.5 B.235C.4 D.174答案(1)D(2)B(3)A 解析(1)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，2)，(1，1)，1，52为顶点
11、的三角形及其内部， zx2y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易得平面区域内的点 (2，2)到原点的距离最大，则zmax22228.故选 D. (2)画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界 )所示，由图易知只有平移直线 txy0 经过直线 2xy10 与直线 xy10 的交点 C(0，1)时，目标函数 ztxy 的值为 1， 则目标函数 ztxy 要取得最小值 1， 直线 ztxy必过点 C(0， 1).当 t011 / 19 时，则 t1，即 0t1；当 t0 时，则 t2，即 2t1 时，z|xy1|2x3y13x4y 在点35，45处有最大值 5，当 xy1时，z|
12、xy1|2x3y1x2y2 在点(0，1)处有最大值4，所以 |xy1|2x3y1 的最大值是 5，故选 A. 基础巩固题组一、选择题1.(2020 杭州质检 )若实数 x，y 满足不等式组xy0，x1，xy0，则() A.y1 B.x2 C.x2y0 D.2xy10 答案 D 解析在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(含边界 )所示，画出直线 2xy10.由图易得平面区域内的点都在直线2xy10 的右下方，即不等式2xy1012 / 19 恒成立，故选 D. 2.(2020 浙江“超级全能生 ”联考)在平面直角坐标系中， 不等式组yx1，xm，y0(m 为常数 )所围成
13、的区域面积是8，则 m等于() A.3 B.5 C.5 D.3 答案 D 解析易知 m1，可行域为点 (1，0)，(m，0)，(m，m1)围成的等腰直角三角形区域(包含边界 )，所以12(m1)28，解得 m3 或 m5，m5 不符合题意，所以m3，故选 D. 3.已知 x，y满足约束条件xy20，x2y20，2xy20.若 zyax 取得最大值的最优解不唯一， 则实数 a 的值为() A.12或1 B.2 或12C.2 或 1 D.2 或1 答案 D 解析如图，由 yaxz 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a2；当 a0
14、时，要使 zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1. 13 / 19 4.(2020 丽水测试 )在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的平面区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 () A.2 B.1 C.13D.12答案 C 解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域，其是以(1，0)，(3，1)，(2，2)为顶点的三角形及其内部，由图易得平面区域内的点(3，1)与原点连线的斜率最小，斜率的最小值为103013，故选 C. 5.已知 x，y 满足约束条件x1，y1，4xy9，xy3，若目标函数 zymx(m0)的最大值为 1，则
15、m 的值是() A.209B.1 C.2 D.5 答案 B 解析作出可行域，如图所示的阴影部分. 化目标函数 zymx(m0)为 ymxz，由图可知，当直线ymxz 过 A 点时，直线在 y 轴的截距最大，由x1，xy3，解得x1，y2，即 A(1，2)，2m1，解得 m1.故选B. 14 / 19 6.若函数 y2x图象上存在点 (x，y)满足约束条件xy30，x2y30，xm，则实数 m的最大值为 () A.12B.1 C.32D.2 答案 B 解析在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及xy30，x2y30，xm.所表示的平面区域，如图阴影部分所示 . 由图可知，当 m1 时，函数 y2
16、x的图象上存在点 (x，y)满足约束条件，故 m 的最大值为 1. 7.已知 O 是坐标原点，点 M 的坐标为 (2，1)，若点 N(x，y)为平面区域xy2，x12，yx上的一个动点，则 OM ON的最大值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析依题意得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A12，12，B12，32，C(1，1). 设 zOM ON2xy，当目标函数 z2xy 过点 C(1，1)时，z2xy 取得最大值 3. 15 / 19 8.(2020 名校仿真训练四 )若点 M(x，y)满足x2y22x2y10，1x2，0y2，则 xy 的取值集合是 () A.1，4 B.1，22 C.22，4 D.1，3 答案 B 解析点 M(x，y)满足x2y22x2y10，1x2，0y2的可行域为图中曲线，令zxy，变形yxz.平移直线 yx，当直线经过点B 122，122时截距最大，此时z 最大，最大值为 22，直线经过 D(1，0)时，z 取得最小值，最小值为1，xy 的取值集合是1，2 2，故选 B. 二、填空题9.若点(2，t)在直线 2x3y60 的上
