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1、2021 年武汉软件工程职业学院信息学院软件技术高等数学期末试卷 B卷请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分注意事项 : 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上 . 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 一、选择题 :本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数f (x) x2e|sin x| ，则函数f (x) 是（）A. 有界函数B. 单调函数C. 偶函
2、数D. 周期函数2. 函数f (x)=ln x 1 的导数为（）1A.x 1 1 B. 1 , x 1 1 1-x C.1x D.1, x 1 x-1 3.若df (x) dg (x) ，则下列结论不正确的是（）A. df (x) dg(x)C.f (x)=g(x)B. f (x) g(x)D.d f (x)dx d g (x)dx4. 微分方程y 2 y 2 yex cos x 的特解应设为（）A.y ex (a sin x b cos x) C. y x2ex (a sin x b cos x) B. y xex (a sin x b cos x) D. y x2ex (ax b) sin
3、 x (cx d ) cos x x 1 1n 15. 设级数Un ( 1) ln(1n 1) ，则级数是（）nA. 级数Unn 1和级数Un 12 都收敛B. 级数Unn 1和级数Un 12 都发散C. 级数Unn 1收敛，级数Un 12 发散D. 级数Unn 1发散，级数Un 12 收敛非选择题部分注意事项 : 1.用 黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2.在 答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题 :本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分. 6. 极限lim( xsin 2 1 sin x) . xx x
4、7. 若lim xn 5 ，则lim 2xn 1 3xn 7xn 1= . nn48. 设函数y xey ，则dy dxxlntt2. d 2 y 9. 设参数方程y2t33t，则dx2t 1.10. 设函数y 2 ln 1 x 2 ，则其凹区间是.11.1xcosx1 x 2 dx .12. 设f (x) x u cos2 udu ，则df (x) .1 dx13.两个平面4x 5 y 3z 8 与2x 2 y z 7 的夹角为. 14. 将f (x) 1 3 x展开成(x 2) 的幂级数. nnnn1 2x 1 15.以y e2 x (c cos x c sin x) 为通解的二阶常系数线
5、性微分方程为. 三、计算题：本题共有8 小题，其中16-19 小题每小题7 分， 20-23 小题每小题8 分，共 60 分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分. ln(1 x2 ) ln(1 sin 2 x) 16. 求极限limx0. x sin3 x 17. 设y ，试求该函数的间断点并说明其所属类型. 18. 函数y y(x) 是由方程( y 1)ex xexy 2ex 所决定，求该函数的导数，并求出当x 0 时的导数值 . 19. 计算不定积分1 dx . 1x2 x x2 1 1x215020. 计算定积分-501- sin 2x dx . 21.求曲线y 1 ，直线y
6、 x 和x 2 所围成图像的面积，以及此平面图形绕x 轴旋转一周x形成的旋转体体积. x 2 t22. 求过点 B (1,1,1) ，且与直线y 2t 3 垂直，又与平面2x z 5 平行的直线方程. z 3t 5 23.判断级数n 12n n! nn的敛散性 . 四、综合题：本大题共3 小题，每小题10 分，共30 分. 24. 证明：当x 0 ，1 arctan x 恒成立 .x 2 25.设函数f (x) 二阶可导，且limx0f (x) 0 ，f (0) 0 ，f (1) 0 ，试证明：至少存在一x点，使得 f ( 0 . 26.设函数f (x), 函数满足f (x) ex x (t
7、x) f (t)dt ，求f (x) .0 x2020 年浙江专升本高等数学考前10 套密押预测卷（七）参考答案与解析一、选择题 :本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案 】（C）【知识点 】函数的性质。【解析 】 A.判断有界性:由题易得f x在 R 上连续，判断有界性只需要判断lim f x，lim e sin x 有界且大于0，lim f x lim e sin x 无界，故A 错误。xxxB. 判 断 单 调 性 ： 单 调 性 利 用 一 阶 导 数 来 判 断 ， 当x 0 ，f x x2esin x ，f x
8、 2xesin x x2esin x cos x 。当x 2，f x 0 ，不单调，故B 错误。C.判断奇偶性 :直接代入奇偶性的定义fxx2esin xx2esin xfx，故为偶函数， C 正确。D.判断周期性：由函数表达式易得该函数不具备f xf x T的性质。故D 错误。2. 【答案 】（A）【知识点 】分段函数求导ln x 1,x1【解析 】f x ln x 1 ，ln 1x,x11 1f xx 1 , x 1 x 1 , x 1 1 x 1故选 A.1 , x 11 , x 1 x 1 1x x13. 【答案 】（C）【知识点 】不定积分与微分。【解析 】已知df x dg x ，
9、那么f x C1 g x C2 。A：对等式两边同时求微分可推得df x dg x ，故A 正确；nnB：对等式两边同时求导可得f xgx ，故 B 正确；C：f x C1 g x C2 无法推出f x g x ，故C 错误；D：d f (x)dx d g (x)dxD 正确。4. 【答案 】（B）dfxC1d g xC2dfxdg x，故【知识点 】二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。【解析 】f xex cos x 是f xex P x cos x P x sin x 型l n 设 y* xkex R1x cos x R 2 x sin x m m 1 ， 1 特征方程为r 2 2r 2
10、0 ，特征根为r1 , r2 1i ，i是特征根，故k1。P x1，P x0，ln0，mmax l,n0，设R1xa，R2xb，l n m my* xexa cos x b sin x ，故选B。5. 【答案】（C）【知识点 】数项级数敛散性的判断。1 1 1 【解析 】ln 1 ln 1 ，lim ln 1 0 ，故由莱布尼茨定理可得，n n 1 n级数un1ln 11 收敛 .由比较审敛法的极限形式可得：n 1n 1n 1 1 21 ln 1 ln 1 ln2 1 limn 1 lim n = limn =1.n1n1 n12 1 2故un敛散性与n相同，故un发散，选择C。n 1n 1n
11、 1二、填空题 :本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分. 6. 【答案 】2 【知识点 】求极限。【解析 】lim( x sin 2 1 sin x) = lim x sin 2 1lim sin x = lim x ?2 0 =2 xx xxx xxxxnnnt1 2t 2111111注：第二步拆成两项需要满足两项极限都存在才可拆。7. 【答案 】15 【知识点 】数列极限的定义。【 解 析 】lim xn 5, lim xn 1 5, lim xn 1 5 （n 三 个 量 均 可 理 解 为），nnnlim 2xn 1 3xn 7xn 1 lim 10 15 35 15n4 ey
12、 n48. 【答案 】y1 xey 【知识点 】隐函数求导。【解析 】隐函数求导先对等式两边求导，再提取y。yey xy ey 1xey yey ；yey1 xey 。9. 【答案 】1 【知识点 】参数方程求导。【解析 】：dy 6t 2 3 ，dx 1 2t ，dt dy 6t 2 3 6t 3 3t dt t 12t 4 12t 2 3 dx 1 2t t1 2t 2 ，t 112t22? 1 t 110. 【答案 】1,1【知识点 】求凹凸区间。 4x 4 1 x2 8x24x2 4 【解析 】 y，y 2 2，当 x 1,1， y 01x2故函数的凹区间为x 1,1。1 x2 1x2
13、 11. 【答案 】2【知识点 】求定积分（利用奇偶性）。【解析 】1xcosx1x2dx1xcosxdx11 x 2 dx =1xcosxdx11 x 2 dx 0 2 01x2 dx 2 1 arcsin x 1 x2 2 1 x 2 20d 2 y dx217 2 12. 【答案 】x cos2 x【知识点 】积分上限函数求导。【解析 】df (x)xucos2uduxcos2xdx 113. 【答案 】 arccos 7 210 【知识点 】两平面的夹角即为两平面法向量的夹角（小于90 ） 。n1 n28 10 3 7 2 【解析 】cos， arccos 。n1 n2 16 25 9
14、 4 4 1 10 10 14. 【答案fxx2n1x3n 0【知识点 】将函数展开成幂级数。【解析 】将 f x在x 2 处展开，先凑 x 2 ， f x1 1x 2；再根据形势代入公式，fxx2n1x3n 015. 【答案 】 y 4 y 5y 0【知识点 】二阶常系数齐次线性微分方程求解。【解析 】逆向思维可推得特征根为共轭复根r1,2 2 i ，特征方程为r 2 4r 5 0 ，齐次方程为 y 4 y 5y 0三、计算题：本题共有8 小题，其中16-19 小题每小题7 分， 20-23 小题每小题8 分，共 60 分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分. 116. 【答案
15、】3【知识点 】求极限。1x2【解析 】ln( 2 ) lim1 sin x limx0ln(1x sin3 x x2 sin2 x 1 sin2 x )3.（1 分）x0 x sin x 10 limx0lim x2 sin2 x 1 sin 2 x x4 x2 sin2 x 2 4x0 (1 sin x) x lim 2x 2 sin x cos x .（2 分）x04x3lim 2x sin 2x x0 4x3lim 2 2 cos 2 x.（5 分）x0 12x2lim 1 cos 2 x1 .（7 分）x0 6x2 317.【知识点 】判断间断点类型。【解析 】当x 0 时，lim
16、x0f ( x) lim x01 ，lim x0f (x) lim x0 1 。左极限与右极限不相等，所以该点为跳跃间断点。当x 1 时，lim f (x) lim 2 ，但是该点无定义，所以该点为可去间断点。x1当x 1 ，lim x1x0f (x) lim x02 ，该点为无穷间断点。. （7 分）18. 【答案 】 y (0) 1【知识点 】隐函数求导。【解析 】将x 0 代回原式可推出y 3 ， . （1 分）再对原函数等式两边同时求导，y ex ( y 1)ex exy xexy ( y xy ) 2ex ， . （3 分）y3y exxy1 exyex x2exy 将x 0 ，y 3 代入表达式y (0) 1 .（5 分）.（7 分）19. 【答案 】22ln 1 x 1 C x2 x x2 1 11x2x2 x x2 1 1 1x2xx+11+ 1x2xx+11+ 1x2x 1 11 x 1 x 1 sin 1x 【知识点 】定积分第二类换元法使用。【解析 】令t ，x t 2 1，dx 2tdt .（1 分）1 dx 1 2tdt .（2 分）11 t2 2 dt 2t
