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1、【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】几类常微分方程典型的解法 （20届）本科毕业论文几类常微分方程典型的解法摘要:自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画,微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的最为基本的数学理论和方法.在我们的现实生活中存在着各式各样的微分方程,常微分方程是其比较重要的存在形式.常微分方程作为现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,因此对常微分方程进行求解有一定的必要性.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及相关应用.关键词:常微分方程;变量分离;积分因子;伯努利方程The Solution to Several Kin
2、ds of Differential Equations Abstract: Many things in natures law of motion can be used to characterize by the differential equations. Natural science, social science things, the phenomenon of movement of the most basic mathematical theory and methods differential equations can be studied by the dif
3、ferential equations. In our real world, there are a lot of kind differential equations. Differential equation is one of the most important existing forms. As an important branch of modern mathematics, ordinary differential equation is the effective tool that people solve practical problems. Therefor
4、e it is a necessary of solving ordinary differential equations. This article summarizes several typical methods for ordinary differential equations and related applications. Key words: Ordinary Differential Equations; Separation of Variables; Integrating Factor; Bernoulli Equation目 录1 绪论11.1 论文选题的背景
5、、意义11.2 常微分方程的发展动态22 几类常微分方程的一般解法52.1 微分方程及其解的定义52.2 变量分离法72.3 变量代换法92.4 常数变易法153 几类常微分方程的特殊解法193.1 凑全微分法193.2 积分因子法214 几类解法在伯努利方程中的应用254.1 伯努利方程的由来254.2 伯努利方程的求解264.2.1 变量分离法264.2.2 变量代换法274.2.3 常数变易法284.2.4 部分凑微分法295 结束语306 致谢317 参考文献32绪论论文选题的背景、意义自然界中很多事物的运动规律可用常微分方程来刻画,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动
6、的演变规律的最为基本的数学理论和方法.常微分方程理论研究已经有300百年的历史,当牛顿 Newton,1642-1727 、莱布尼兹 Leibniz,1646-1716 创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一
7、个数学可以为实际服务的学科.“300年来分析是数学里首要的分支,而微分方程又是分析的心脏.这是初等微积分的天然后继课,又是为了了解物理科学的一门最重要的数学,而且在它所产生的较深的问题中,它又是高等分析里最大部分思想和理论的根源.”塞蒙斯 Simmons 曾如此评价微分方程在数学中的地位1.常微分方程的发展极大地推动了自然科学、技术科学和社会科学的发展.到今天它已广泛地渗透到了物理学、化学、生物学、工程技术学乃至社会科学等各个领域,反过来这些领域中提出的实际问题也推动了微分方程的进一步深化,使之成为当今经济发展和社会进步所不可或缺的一门技术.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常
8、微分方程的发展以深刻的影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题. 但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的“求通解”到“求解定解问题”的转变,所以能求出微分方程的解是十分重要的.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有的理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善2.本文主要总结了几种
9、常微分方程的典型解法及其相关应用.常微分方程的发展动态常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段:常微分的经典阶段-以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段-以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段-以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段-以定性与稳定性理论为研究内容3.尽管在耐皮尔 John Napier,1550-1617 所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的. 1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中
10、,第一次提出“微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容. 牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程3.莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如的方程,同一年,他又用变量分离法解出了一阶齐次方程.在17世纪,作为微积分的一部分,微分方程跟微积分彼此不分.到了18世纪,由于天文学、力学、物理学的需要,同时也因为要解决许多较为复杂的问题,需要专门的技术,这样,微分方程开始成为一门独立的学科而存在.在
11、1734-1735年的论文中,欧拉提出了全微分方程,即方程中的是某个函数的恰当微分,并给出所给方程的全微分条件.他确立了可采用积分因子的方程类型,证明了凡是分离变量的方程,均可以用积分因子方法求解,还证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子,那么令他们的比等于常数,就是微分方程的一个通解. 1743-1751年,欧拉又将积分因子法推广到高阶方程,并通过特征方程法和降阶法解决了常系数线性齐次方程和非齐次的阶线性常微分方程,并利用变换提出欧拉方程4.19世纪是微分方程严格理论的奠定时期,此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段,人们从求通解的热潮转向研究常微分方程的适定性理论.18世纪以后不
12、断出现的特殊的微分方程的求解问题,如里卡蒂方程求解问题,使数学家招架不住了,于是转向对解的存在性问题的思考.第一个考虑微分方程解的存在性的是柯西 A.Cauchy,1789-1857 ,19世纪20年代,他建立了柯西问题解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹 Rudolph Lipschitz.1832-1903 提出著名的“李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿与皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求在点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大
13、的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性、奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题3.19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.1826年,贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程,贝塞尔得出了此方程的两个级数解,分别称为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数.另一个重要内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作行星外形的研究中研究了勒让德方程,并且给出了幂级数解的
14、形式.高斯研究了高斯几何方程,并且得到了级数解,同时,他还建立了公式,并指出对不同值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究比较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱 Henri Poincare,1854-1912 就开始了微分方程的定性研究,从1881年起,庞加莱独创出微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以问答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程出
15、发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类 焦点、鞍点、节点、中心 ,讨论了解在各个奇点附近的性状.庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统地开端.常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫 1857-1918 创立的运动稳定性理论.李雅普诺夫在他的博士论文运动稳定性的一般问题中创造了两种新方法;首创了运动稳定性的一半理论.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念,且严格证明了其充要条件,使动力系统的研究向大范围转化.稳定性理论在美国迅速地变成训练自动控制方面的工程师的一个标准部分.目前,稳定性理论的方法结果已经推广到泛函微分方程、随机微分
16、方程、偏微分方程以及动力系统中去.同时,在自动控制系统、电子技术、卫星姿态动力学、大型动力系统以及生态学等新技术、新领域中均有重要的应用.二十世纪自然科学和技术科学的发展,一个显著的特点是多学科的互相渗透,数学向各个学科的渗透更为普遍和突出.常微分方程作为数学模型广泛地应用于现代生物学、生态学、生理学、医学、经济学、化学等领域,如:传染病模型5、两生物种群生态模型6、人口模型6等.与此同时,国内一些定性理论工作者在80年代迅速转向生物学,开展生物微分方程的研究,做出了有意义的成果6,一些稳定性理论工作者在70年代末期开展了泛函微分方程的研究,李森林等著的泛函微分方程总结了他们近期的工作.同时还有不少人从事研究离散动力系统的稳定性、随机微分方程
