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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学大训练广州技术有限公司佛山分公司高中数学必修5第一章解三角形基础学问和经典例题详解1、正弦定理： 在C 中， a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边， R 为C 的外接圆的半径，就有abc sinsinsin C2 R 2、正弦定理的变形公式： a2R sin， b2R sin， c2 R sin C ； sina ， sin 2Rb ， sin Cc；2 R2R a : b : csin: sin: sin C ；abcabcsinsinsin Csinsinsin C3、三角形面积公式：CS1
2、bc sin1 ab sin C1 ac sin2224、余弦定理：在C 中，有 a 2b 2c22bc cos， b 2a2c22 ac cos，c2a 2b22ab cos C 5、余弦定理的推论：22cosb 2c22bca ， cosa 2c2 2acb ， cosCa2b2c22ab6、简洁的判定三角形设 a、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边，就：如 a 2b2c2 ，就 C90 ；如 a 2b2c2 ，就 C90 ；如 a 2b2c2 ，就 C90 7解三角形 ：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一 第 1 页，共 15 页 - - - - -
3、- - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定懂得三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定懂得三角形的问题： 第 1、已知三边求三角.第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.8三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，仍要留意三角形自身的特点；（1）角的变换
4、由于在 ABC 中，A+B+C= ，所以 sinA+B=sinC；cosA+B= cosC；tanA+B= tanC ；sin AB 2cos C2, cos AB 2sin C2 ；（ 2）判定三角形外形时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.9. 争论三角形解的情形分析：先由sin Bb sinaA可进一步求出B；就 C1800 AB从而 ca sin C A1当 A 为钝角或直角时，必需ab 才能有且只有一解；否就无解；2当 A 为锐角时，假如 a b ，那么只有一解；假如 ab ，那么可以分下面三种情形来争论：（1）如 ab sin（2）如 ab sin（3）如 a
5、bsinA，就有两解； A，就只有一解； A，就无解；（以上解答过程详见课本第910 页）评述：留意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sin Aab 时，有两解；其它情形时就只有一解或无解； 随堂练习1（1）在ABC中，已知 a80， b100 ，A450 ， 试判定此三角形的解的情形； 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）在ABC中，如 a1 ， c1 ，C2400 ，就符合题意的b 的值有 个；（3）在ABC中， axcm ， bx 的取
6、值范畴；2cm，B450 ，假如利用正弦定懂得三角形有两解，求（答案：（ 1）有两解；（ 2） 0；（3） 2x22 ）二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 1（ 1）在ABC 中，已知A32.00 ， B81.80 ， a42.9cm，解三角形；解析：（ 1）依据三角形内角和定理，C1800 AB180032.0081.8066.2 0 ；b；asin B42.9sin81.80依据正弦定理，sin Asin32.0080.1cmasin C42.9sin66.2 0依据正弦定理，csin Asin32.0 074.1cm.（ 2）在ABC 中，已知a20 cm， b28 cm， A400，
7、解三角形（角度精确到 10 ，边长精确到1cm）；bsin A28sin400依据正弦定理，0sin Ba00200.8999.0由于 0 B 180 ，所以 B64，或 B116 .当 B640 时，C1800 AB1800400640 760 ，asin C20sin76 0c sin Asin40 030cm.当 B116 0 时， 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -C1800 AB18004001160 2400，casinC20sin2413cm.sin Asin40
8、0点评：应用正弦定理时（1）应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（ 2）对于解三角形中的复杂运算可使用运算器例 2（ 1）在ABC中，已知 a23 ， c62 ， B600，求 b 及 A；2解析：（ 1） ba 2c22accosB= 23262 22 23 62 COS450=126224331 = 8 b22.求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b2c2a222 262 223 21解法一： cos A2bc222622 , A600.Aa sin B23sin45 0 ,解法二： sinb22又62 2.41.43.8, 23 21.83.6, a c
9、 ，即00 A 900, A600.（ 2）在ABC中，已知a134.6cm ， b87.8cm ， c161.7cm ，解三角形解析：由余弦定理的推论得：b2c2a287.82161.72134.62cos A2bc0.5543,287.8 161.7 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -A560 20 ；c2a2b2B134.62161.7287.82cosB2ca32053 ；2134.6 161.70.8398,C1800AB1800560203205390047.点评：应
10、用正弦定理时解法二应留意确定A 的取值范畴；* 20XX 年高考题（2021上海文数）18.如ABC的三个内角满足sinA : sinB : sin C5:11:13，就 ABC（A）肯定是锐角三角形.（ B）肯定是直角三角形.（C）肯定是钝角三角形.D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由 sinA : sinB : sin C5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得cosc5211225132110 ，所以角 C 为钝角（2021 湖南文数） 7. 在 ABC中，角A， B， C 所对的边长分别为a， b， c，如 C=120，c=2 a，就A.a bB.a bC. a bD.a与 b 的大小关系不能确定【命题意图】此题考查余弦定理，特别角的三角函数值，不等式的性质，比较法, 属中档题（ 2021天 津 理 数 ）（ 7 ） 在 ABC 中 ， 内 角A,B,C的 对 边 分 别 是a,b,c， 如 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -a2b23bc ， sin C23sinB ，就 A=0000（ A） 30（ B） 60（ C） 120（ D） 150【答案】 A【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属
