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1、不等式的基本学问（一）不等式与不等关系1，应用不等式（组）表示不等关系.不等式的主要性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 对称性： abba(2) 传递性： ab,bcac可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(3) 加法法就： abacbc . ab, cdacbd 同向可加 可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(4) 乘法法就： ab,c0acbc .ab, c0acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载ab0, cd0acbd 同向同正可乘 可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - -
2、欢迎下载(5) 倒数法就 ：ab,ab011ab(6) 乘方法 就：可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载ab0a nbn nN * 且n1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(7) 开方法就：ab0n anb nN * 且n1可编辑资料 - - - 欢迎下载2，应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判定符号结论）3，应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1，一元二次不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载一元二次不等式 ax 2bxc0或ax 2bxc0 a0 的解集：可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - -
3、- 欢迎下载设相应的一元二次方程ax2bxc0 a0 的两根为x1， x2 且 x1x2 ,b 24ac ,可编辑资料 - - - 欢迎下载就不等式的解的各种情形如下表：000可编辑资料 - - - 欢迎下载二次函数2yaxbxc2yaxbxc2yaxbxc可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2yaxbxc可编辑资料 - - - 欢迎下载（ a0 ）的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载一元二次方程有两相异实根有两相等实根可编辑资料 - - - 欢迎下载ax 2bxc0x1, x2 x1x2 bx1x2无实根可编辑资料 - - - 欢
4、迎下载a0 的根2a可编辑资料 - - - 欢迎下载ax 2bxc0x xx1或xx2x xbR可编辑资料 - - - 欢迎下载a0的解集2a可编辑资料 - - - 欢迎下载ax 2bxc0x x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载 a0的解集2，分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正,最终用标根法求解.解分式不等式时,一 般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.可编辑资料 - - - 欢迎下载f xf xf x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载0g xf x g x0;0g xg x0可
5、编辑资料 - - - 欢迎下载3，不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分别变量法”转化为最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载如不等式 f x如不等式 f xA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上 fx B 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上 fxminAmaxB可编辑资料 - - - 欢迎下载（三）线性规划1，用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧全部点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）可编辑资料 - - - 欢迎下载2，二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方
6、法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的全部点 x, y ,把它的坐标（x, y 代入 Ax+By+C,所得可编辑资料 - - - 欢迎下载到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0 ,y 0,从 Ax 0+ By0+ C 的正负即可判定 Ax+ By+ C 0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地,当 C0 时,常把 原点 作为此特殊点）3，线性规划的有关概念： 线性约束条件 ：在上述问题中,不等式组是一组变量x，y 的约束条件,这组约束条可编辑资料 - - - 欢迎下载件都是关于 x，y 的一次不等式,故又称线性约束条件 线性目标函数 ：关于 x，y 的一次式 z=a
7、x+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式,叫线性目标函数 线性规划问题 ：一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题 可行解，可行域和最优解：中意线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由全部可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（ 1）查找线性约束条件,列出线性目标函数.（ 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域.（ 3）依据线性目标函数作参照直线ax+b y0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优可编辑资料 - - - 欢迎下载解（四
8、）基本不等式abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载1. 如 a,bR ,就 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载ab2. 假如 a,b 是正数,那么2ab 当且仅当 a2b时取 号.可编辑资料 - - - 欢迎下载变形： 有:a+b 2ab . abab2,当且仅当 a=b 时取等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载3. 假如 a,b R+ ,ab=P 定值 ,当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2P ;S2假如 a,b R+ ,且 a+b=S 定值 ,当且仅当 a=b 时,ab 有最大值.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时,可以求它们
9、和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”（ 2）求最值的重要条件“一正,二定,三取等”可编辑资料 - - - 欢迎下载4. 常用不等式 有：（ 1）a 2b 22abab 22 依据目标不等式左右的运算11可编辑资料 - - - 欢迎下载结构选用 .（ 2） a， b，cR, a2b2c2ababbcca （当且仅当 abc 时,取等可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载号）.（ 3）如 ab0, m0 ,就 bbmaam（糖水的浓度问题）.可编辑资料 - - - 欢迎下载不等式主要题型讲解（一） 不等式与不等关系题
10、型一：不等式的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载1. 对于实数a,b, c 中,给出以下命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 如ab,就ac 2bc 2 . 如ac 222bc 2 , 就ab .11可编辑资料 - - - 欢迎下载 如ab0,就ababb . 如aab0, 就.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载 如ab0,就 a. 如abb0,就 ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载 如cab0,就 acab11. 如ab,就 a cbab0, b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载其中正确的命题是 2题型二：比较大小（作差法，函数单调性，中间量比较,基本不等式）可编辑资料 - - - 欢迎下载2. 设a2 , pa1, qa2a 2 4a2,试比较p, q 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3. 比较 1+log x3 与 2 log x 2x0且x1 的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载4. 如 ab是.1, Plg alg b ,Q1 lg a2lg b , Rlgab ,就 P,Q, R 的大小关系2可编辑资料 - - - 欢迎下载
