普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新 数学第一轮复习教案（讲座14）直线、圆的位置关系一课标要求：1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想二命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识预测 2007 年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力三要点精讲1直线 l1与直线 l2的的平行与垂直（1）若 l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2k1=k2； l1l2k1k2=1。
2）若0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl若 A1、A2、B1、 B2都不为零l1/l2212121CCBBAA；l1l2A1A2+B1B2=0；l1与 l2相交2121BBAA；l1与 l2重合212121CCBBAA；注意：若A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数2 距离（1）两点间距离：若)y,x(B),y,x(A2211，则212212)()(yyxxAB精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -特别地：x/AB轴，则AB|21xx、y/AB轴，则AB|21yy 2 ） 平 行 线 间 距 离 ： 若0:, 0:2211CByAxlCByAxl，则：2221BACCd注意点： x，y 对应项系数应相等3）点到直线的距离：0CByAx:l),y,x(P，则P 到 l 的距离为：22BACByAxd3直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（1）若22BACBbAad，0相离rd；（2）0相切rd；（3）0相交rd。
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2 个公共解时（直线与圆有2 个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 C 到直线 l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr04两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -条公切线外切321rrd；条公切线相交22121rrdrr；条公切线内切121rrd；无公切线内含210rrd；外离外切相交内切内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。
四典例解析题型 1：直线间的位置关系例 1 （1） （2006 北京 11）若三点A（2，2） ，B（a，0） ，C（0，b） (ab0)共线，则, 11ab的值等于2）（2006 上海文 11） 已知两条直线12:330,: 4610.laxylxy若12/ll，则a_ _解析： （1）答案：12； （2）2点评： （1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证ACABkk； （2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -例 2 （1） （2006 福建文， 1）已知两条直线2yax和(2)1yax互相垂直，则a等于（）A2B1C0D1（2） （2006 安徽理， 7）若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为（）A430 xyB450 xyC430 xyD430 xy解析： （1）答案为 D； （2）与直线480 xy垂直的直线l为40 xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1 ，1) 处导数为4，此点的切线为430 xy，故选 A。
点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况题型 2：距离问题例 3 （2002 京皖春文， 8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）Axy=0 Bx+y=0 C|x|y=0 D |x|y|=0 解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y）|x|y| |x|y|0答案： D 点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径例 4 （2002 全国文， 21）已知点P 到两个定点M（ 1，0） 、N（1，0）距离的比为2，点 N 到直线 PM 的距离为1求直线PN 的方程解析：设点P 的坐标为（ x，y） ，由题设有2|PNPM，即2222)1(2)1(yxyx整理得x2+y26x+1=0 因为点 N 到 PM 的距离为 1，|M|2，所以 PMN30，直线 PM 的斜率为33，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -直线 PM 的方程为y=33（x1）将式代入式整理得x24x10。
解得 x23，x23代入式得点P 的坐标为（ 23，13）或（ 23， 13） ； （23，13）或（ 23，13） 直线 PN 的方程为y=x1 或 y=x+1点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力 .比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度题型 3：直线与圆的位置关系例 5 （1） （2006 安徽文， 7）直线1xy与圆2220(0)xyaya没有公共点，则a的取值范围是（）A(0,21)B( 21,21)C(21,21)D(0,21)（2） （2006 江苏理， 2）圆1)3()1(22yx的切线方程中有一个是（）Axy0Bxy0Cx0Dy0 解析： （ 1） 解析：由圆2220(0)xyaya的圆心(0, )a到直线1xy大于a，且0a，选 A点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定2）直线 ax+by=022(1)(3)1xy与相切，则|3 |12ab，由排除法，选 C，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解例 6 （ 2006 江西理， 16）已知圆 M： （xcos ）2（ ysin ）21，直线 l：ykx，下面四个命题：（A）对任意实数k 与 ，直线 l 和圆 M 相切；（B）对任意实数k 与 ，直线 l 和圆 M 有公共点；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l 与和圆 M 相切；（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l 与和圆 M 相切其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）解析：圆心坐标为（cos ，sin ）d222|k cossin|1k |sin|1k1k|sin|1（ ）（ ）故选（ B） （D）点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。
题型 4：直线与圆综合问题例 7 （1999 全国， 9）直线3x+y 23=0 截圆 x2y24 得的劣弧所对的圆心角为（）A6B4C3D2解析：如图所示：由4032322yxyx消 y 得： x23x+2=0， x1=2，x2=1A（2，0） ，B（1，3）|AB|=22)30()12(=2 又|OB|OA|=2， AOB 是等边三角形，AOB=3，故选 C点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性如果注意到直线AB 的倾斜角为120，则等腰OAB 的底角为60.因此 AOB=60.更加体现出平面几何的意义例 8 （2006 全国 2， 16）过点（ 1，2）的直线l 将圆 (x2)2y24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率 k解析： 过点(1, 2)的直线l将圆22(2)4xy分成两段弧， 当劣弧所对的圆心角图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - -最小时，直线l的斜率22k解析 (数形结合 )由图形可知点A(1, 2)在圆22(2)4xy的内部 , 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线lOA，所以11222lOAkk。
点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等题型 5：对称问题例 9 （89 年高考题）一束光线l 自 A（ 3， 3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到C：x2y24x4y70 上) 求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程；() 求在 x 轴上，反射点M 的范围解法一：已知圆的标准方程是(x2)2+(y2)2=1，它关于 x 轴的对称圆的方程是(x2)2+(y+2)2=1设光线 L 所在的直线的方程是y3=k(x+3)（其中斜率k 待定） ，由题设知对称圆的圆心C（ 2，-2）到这条直线的距离等于1，即 d=21|55|kk=1整理得12k2+25k+12=0 ，解得 k= 43或 k= 34 故所求直线方程是y 3=34(x+3)， 或 y3= 34(x+3)， 即 3x+4y+3=0 或 4x+3。