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1、精品资料欢迎下载引言在数学分析中， 极限的概念占有主要的低位并以各种形式显现而贯穿全部内容, 同时极限概念与方法是近代微积分的基础.因此把握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环 . 本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结 , 并在详细求解方法中就其中要留意的细节和技巧做了说明,以便于我们明白函数的各种极限以及对各种极限进行运算. 求函数极限的方法较多 , 但每种方法都有其局限性 ,都不是万能的 ,对某个详细求极限的问题 , 我们应当挑选合适的方法 .一、函数极限概念定义 1 1设 f 为定义在 a,上的函数， A 为定数. 如对任给的0，存在正数 M （ a ），使
2、得当 xM 时有f xA，就称函数 f 当x 趋于+时以 A 为极限，记作limxf xA或 f xA x.0定义 2 1（函数极限的-定义）设函数 f 在点 x的某个空心邻域 U00（ x ； ）内有定义， A 为定数；如对任给的0，存在正数（ ），使得当00 xx时有f xA，就称函数 f 当x 趋于 x0 时以 A 为极限，记作limxf xA 或 f xAxx0 .定理 1 1设函数 f 在U 0 x0, （或U 0 x0; ）内有定义， A 为实数；如对任给的0 ，存在正数 有 ，使得当x0xx0（或x0xx0 ）时f xA，就称数 A 为函数 f 当x 趋于 x0（或 x0）时的右
3、（左）极限，记作limxx 0或f xA limxx0f xAf xA xx0 fxA xx0 .定理 2 1（唯独性）如极限lim0xx0f x 存在，就此极限是唯独的 .1定理 3（局部有界性）如1有界.limxx0f x 存在，就 f 在x0 的某空心邻域U 0 x 内定理 4（局部保号性）如 limxx 0f xA0（或0），就对任何正数 r A（或0r 0， M = 1 ，就当 x M 时有， 10 = 1 1 =.xxM所以有1lim0 .xx例2 用极限的定义证明lim1x 21x 2| xxx000| 1 .证明 由于| x | 1 ,| x0| 1 ,因此21x22| x01
4、x 20x2 |1x21x0| xx0 | xx0 |2 | xx0 | .1x 21x 200于是 ,对任给的0不妨设 01) ,取21x02, 就当0| xx0 |时,2有1x21x.0注 用极限的定义时 ,只需要证明存在N或 ,故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采纳放大、 缩小等技巧 ,但不能把含有 n 的因子移到不等式的另一边再放大 ,而是应当直接对要证其极限的式子一步一步放大,有时仍需加入一些限制条件,限制条件必需和所求的 N 或 一样,最终结合在一起考虑 .2. 利用极限的运算法就1定理 6 （四就运算法就） 如极限limxx 0f x与 limxx 0g x都存在，
5、就函数 fg ，f .g 当 xx0 时极限也存在，且limxx0f xg xlimxx0f xlimxx0g x;limxx 0f xg xlimxx0f x. limxx 0g x ；又如 limxx0g x0, 就fg 当xx0时极限存在，且有limf xlimf x / limg x.xx0g xxx0xx0例 3 求 lim 1aa 22ann , 其中 a1, b1 .n1bbb解 分子分母均为无穷多项的和 , 应分别求和 , 再用四就运算法就求极限1aa 2a n11an 1,1bb2abn11b n 1,blimn原式limn1an 11a1bn 11b11a1b 11a1b例
6、4 求 lim1x1x2.x0x 2解 原式lim1x22 1x1x4x0x2 1x1x2lim212x1x0x 2 1x1x21x21lim2x0 1x1 .41x21x21注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限 ,可以采纳极限运算法就 ,使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简,变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2 运用极限法就时 ,必需留意只有各项极限都存在 对商,仍要分母极限不为零 时才能适用 .3. 利用迫敛性（夹逼准就）定理 7 1（迫敛性）设 limxx0f xlimxx0g xA，且在某U 0 x ;
7、 内有0f xh xg x ，就例 5 求以下函数的极限 .limxx0h xA.1lim xxcos x ；x2limxx sin x .x24解 1 由于-1cos x1，所以当 x0 时， 1cos x1 ，xxx于是11xcos x11 ,xxx又由于lim 11 lim 11 1，由迫敛性得xxlimxxxxcos x1. x（ 2）由于 1sin x1, 所以当 x2时， - xx sin xx，x241x24x24又由于limxxx24limxx421x0, limxx0 ， x24又迫敛性得limxx sin x x24=0.例6 求lim 1 sin x 2 sin 1.x0
8、 xx解 当x0 时,有12121|sinx sin| | x sin|x2 ,xxx1从而0|sinx2 sin 1| | x |,xx由夹逼准就得121lim |sinx sin|0 ,x0xx所以lim 1 sinx2 sin 10 .x0 xx注1 迫敛性（夹逼准就）多适用于所考虑的函数比较简洁适度放大或缩小,而且放大和缩小的函数是简洁求得相同的极限.基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注2 利用夹逼准就求函数极限的关键：（ 1）构造函数f x ,h x ,使f xg xh x ；（ 2）limf xlimh xA,由此可得limg xA .xx0xx0xx04. 利用两个重要极限两个重要极限 : （ 1limsin x1 ；x0xx2lim 11e.xx依据复合函数的极限运算法就 ,可将以上两个公式进行推广 :1limsinf x1 limf x0, ysin u ,uf x ；xx0f xxx0u2lim1g x1elimg x, y1u1, ug x.xx0g x
