人教版九年级数学学问点总结 21.1 一元二次方程 易错点： a 0 和 a=0 方程两个根的取舍 学问点一 一元二次方程的定义 : 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） 次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程； 留意一下几点： ，并且未知数的最高 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是 2； 是整式方程； 学问点二 一元二次方程的一般形式 2 2 : 一般形式： ax + bx + c = 0(a 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项； 学问点三 一元二次方程的根 : 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫 做一元二次方程的根；方程的解的定义是解方程过程中验根的依据； 21.2 降次解一元二次方程 21.2.1 配方法 学问点一 直接开平方法解一元二次方程 （ 1） 假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方， 另一边是非负数， 可以直接开平方； 2 一般地，对于形如 x =a(a 0) 的方程，依据平方根的定义可解得 x1= a ,x 2= a . 2 2 （ 2） 直接开平方法适用于解形如 用直接开平方法； x =p 或(mx+a) =p(m0) 形式的方程，假如 p0，就可以利 （ 3） 用直接开平方法求一元二次方程的根， 要正确运用平方根的性质， 即正数的平方根有两 个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根； （ 4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： 移项； 使二次项系数或含有未知数的式子 的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元 一次方程，求出原方程的根； 学问点二 配方法解一元二次方程 1 第 1 页，共 32 页 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次， 个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解； 配方法的一般步骤可以总结为：一移，二除，三配，四开； 把一 （ 1） （ 2） （ 3） 把常数项移到等号的右边； 方程两边都除以二次项系数； 方程两边都加上一次项系数一半的平方， 为非负数，直接开平方求出方程的解； 把左边配成完全平方式； 如等号右边 公式法 学问点一 公式法解一元二次方程 2 2 （ 1） 一般地，对于一元二次方程 2 ax +bx+c=0(a0) ，假如 b -4ac 0，那么方程的两个根为 b b 2a 4ac x= ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可 以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法； （ 2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax +bx+c=0(a0) 的过程； 公式法解一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式： ax +bx+c=0(a0) ，一般 a 化为正值 2 （ 3） 2 确定公式中 a,b,c 的值，留意符号； 求出 b2-4ac 的值； 如 b2-4ac 0，就把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，如 b2-4ac 0，就方程无 实数根 ( 有虚数根 ) ； - 高中学 学问点二 一元二次方程根的判别式 2 2 式子 b -4ac 即 =b -4ac. 叫做方程 ax +bx+c=0(a0) 根的判别式，通常用希腊字母表示它， 2 2 0，方程 ax +bx+c=0(a0) 有两个不相等的实数根 根的 判别式 2 =0，方程 ax +bx+c=0(a 0) 有两个相等的实数根 2 0，方程 ax +bx+c=0(a0) 无实数根 21.2 3 因式分解法 学问点一 因式分解法解一元二次方程 （ 1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个 求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法； （ 2） 因式分解法的具体步骤： 2 第 2 页，共 32 页 移项，将全部的项都移到左边，右边化为 0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式，平方差公式和完全平 方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解； 学问点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 直接开平方法 理论依据 平方根的意义 适用范畴 2 2 形如 x =p 或（ mx+n） =p(p 0) 配方法 完全平方公式 全部一元二次方程 公式法 配方法 全部一元二次方程 因式分解法 当 ab=0，就 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次 因式的积的一元二次方程； 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2 如一元二次方程 x +px+q=0 的两个根为 x1 ,x 2, 就有 x1+x2=-p,x 1x2=q. b a c a 2 如一元二次方程 a x+bx+c=0(a 0) 有两个实数根 x1,x 2 , 就有 x1+x2=， 1x2= ,x 21.3 实际问题与一元二次方程 学问点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （ 1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量 关系； 设：是指设元，也就是设出未知数； 列：就是列方程， 这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义， 然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程； 解：就是解方程，求出未知数的值； 验：是指检验方程的解是否保证明际问题有意义，符合题意； 答：写出答案； （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） 学问点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （ 1） 数字问题 三个连续整数：如设中间的一个数为 x，就另两个数分别为 x-1 ，x+1； 三个连续偶数（奇数） ：如中间的一个数为 x，就另两个数分别为 x-2,x+2 ； 三位数的表示方法：设百位，十位，个位上的数字分别为 100a+10b+c. a,b,c ，就这个三位数是 3 第 3 页，共 32 页 （ 2） 增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，就经过两次的增长或降低 2 后的等量关系为 （ 3）利润问题 a（ 1 x） =b； 利润问题常用的相等关系式有： 售量；利润 =成本利润率 （ 4）图形的面积问题 总利润 =总销售价 - 总成本； 总利润 =单位利润总销 依据图形的面积与图形的边，高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程； 二次函数学问点归纳 22. 一，相关概念及定义 2 1 c（ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函 二次函数的概念：一般地，形如 y ax bx 数；这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 义域是全体实数 0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定 a 2 2 二次函数 c 的结构特点： y ax bx x 的二次式， x 的最高次数是 （ 1）等号左边是函数，右边是关于自变量 2 （ 2） a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项 a ，b ，c 是常数， 二，二次函数各种形式之间的变换 2 ax 2 2 用 配 方 法 可 化 成 ： y a x h k 的 形 式 ， 其 中 1 二 次 函 数 y bx c b 2a 4ac 4a b ， k . h 2 y ax 2 ； y 2 ax k ； y 2 二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： a x h ； 2 y ax2 y a x h k ； bx c . 三，二次函数解析式的表示方法 2 1 2 3 4 一般式： 顶点式： 两根式： c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ） ； 0） ； y y y ax bx h) 2 k （ a ， h ， k 为常数， a a( x a( x （ a 0， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . x1 )( x x2 ) 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以 写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 2 b 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式 4ac 表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 2 y ax 四，二次函数 c 图象的画法 bx 2 y ax 2 a( x h) 1 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 c 化为顶点式 ，确定其开口方 bx y k 向，对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为： 顶点，与 y 轴的交点 ， 以及 关于对称轴对称的点 ， 与 x 轴的交点 0 ，c 0，c 2h，c x1 ，0 ， x2 ，0 （如与 x 轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点） . 2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 . 2 y ax 的性质 五，二次函数 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 4 第 4 页，共 32 页 y 随 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， x x y 轴 0 ，0 向上 a 0 0 时， y 有最小值 的增大而减小； 0 x y 随 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， x x y 轴 0 ，0 向下 a 0 0 时， y 有最大值 的增大而增大； 0 x 2 y ax 六，二次函数 c 的性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0 时，y 随 x 的增大而增大； x 0 时，y 随 x 的 x 0 ，c y 轴 向上 a 0 增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c 0 时，y 随 x 的增大而减小； x 0 时，y 随 x 的 x 0 ，c y 轴 向下 a 0 增大而增大； 0 时， y 有最大值 c x 2 七，二次函数 h 的性质： y a x a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 h ，0 向上 X=h a 0 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 h ，0 向下 X=h a 0 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 2 八，二次函数 k 的性质 y a x h a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 h 时， y 随 x 的增大而增大； h 时， y 随 x x h，k 向上 X=h a 0 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k h 时， y 随 x 的增大而减小； h 时， y 随 x x h，k 向下 X=h a 0 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k 2 九，抛物线 c 的三要素：开口方向，对称轴，顶点 . a y ax bx 1 a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 0 时，开口向下； 5 第 5 页，共 32 页 a 相等，抛物线的开口大小，外形相同 . b 2 a 2 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 .特殊地， y 轴记作直线 x 0. x 2 b ， ac 4 b 3 顶点坐标：（ ） 2a 4a 4 顶点打算抛物线的位置 .几个不同的二次函数，假如二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方 向，开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 . y ax 2 十，抛物线 bx c 中， a, b, c 与函数图像的关系 1 二次项系数 a 二次函数 y ax2 c中， a 作为二次项系数，明显 0 bx a 当 a 当 a 0 时，抛物线开口向上， 0 时，抛物线开口向下， a 越大，开口越小，反之 a 越小，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； a 的值越大，开口越大 总结起来， a 打算了抛物线开口的大小和方向， 的大小 2 一次项系数 b a 的正负打算开口方向， a 的大小打算开口 在二次项系数。
