黄 金 分 割 及 平 行 线 分 线 段 成 比 例一、黄金分割黄金分割AC如图， 点 C把线段 AB分成两条线段 AC和 BC，假如 ABBCAC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点． AC与 AB的比叫做黄金比．黄金比黄金比值的求法：ACBCACAB由于ABAC，且BC＝ AB－ AC，所以ABAACC ，解得 AC＝5 1 AB 2AC，或 AC≈ 0.618AB，即得黄金比 AB5 12 或 0.618求作黄金分割点求已知线段 AB 的黄金分割点；方法一：如图1、经过点 B 作 BD⊥ AB，且 BD=2、＝DB．1 AB2连接 AD，在 DA上截取 DE3、在 AB 上截取 AC＝ AE，所以点 C 是线段 AB的黄金分割点．5理由：设 AB＝ 1，就 BD＝ 1/2,AD ＝ 25， AC＝ 21 3 5， BC＝ 2AC BC所以 AB AC5 12 ，所以点 C是线段 AB的黄金分割点．方法二：如图1、段 AB上作正方形 ADCB2、取 AD的中点 E，连接 EB．3、延长 DA至 F，使 EF＝ EB．4、以线段 AF 为边作正方形 AFGH．所以点 H 是线段 AB的黄金分割点．1理由：设 AB＝ 1，就 AE＝ 2BE，所以5 EF25→ AF 21 3 5＝ AH，BH＝ 2AH HB所以 AB AH5 12 ，所以点 H是线段 AB 的黄金分割点．方法三： 如图1、以 AB 为腰作等腰△ ABD，使∠ A＝ 362、作∠ ADB的角平分线交 AB于点 C所以，点 C是线段 AB的黄金分割点．理由： 作图的理由在本章学完就知道， 对这一基本图形我们将会特殊熟识， 此等腰三角形叫做黄金三角形AB 5例 1：如以下图，矩形 ABCD是黄金矩形（即 BC ＝ 21≈0.618 ），假如在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形 ABFE，试问矩形 ABFE是否也是黄金矩形？、例 2：以长为 2 的线段 AB为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延长线上取点 F，使 PF＝ PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M在 AD上，如以下图，（1）求 AM， DM的长，2（2）试说明 AM=AD DM（3）依据（ 2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？练习题一、请你填一填（1）如图，如点 P是 AB的黄金分割点，就线段 AP、PB、AB中意 关系式 ，即 AP是 与 的比例中项 .（2）黄金矩形的宽与长的比大约为 （精确到 0.001 ） .（3）假如线段 d 是线段 a、b、c 的第四比例项，其中 a=2 cm, b=4 cm, c=5 cm, 就d= cm.（4）已知 O点是正方形 ABCD的两条对角线的交点，就 AO∶ AB∶ AC= .二、认真选一选1、有以下命题 : ①假如线段 d 是线段 a, b, c 的第四比例项，就有 a cb d②假如点 C 是线段 AB的中点，那么 AC是 AB、BC的比例中项③假如点 C 是线段 AB的黄金分割点，且 AC>BC，那么 AC是 AB与 BC的比例中项④假如点 C 是线段 AB的黄金分割点， AC>BC，且 AB=2，就 AC= 5 － 1其中正确的判定有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、已知 P 为线段 AB 的黄金分割点，且 AP＜ PB，就（）A 、 AP2AB PB ； B、AB2AP PB ； C、PB2AP AB ； D、 AP 2BP2AB 23、.已知点 M 将线段 AB 黄金分割 〔AM ＞BM 〕，就以下各式中不正确选项 〔〕A. AM ∶BM =AB∶ AM B.AM =5 1 ABC.BM =25 1 ABD. AM ≈ 0.618AB2A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4、已知 P、Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB＝ 10cm，就 PQ 长为（）A、 5〔 51〕 B、 5〔 51〕 C、10〔 52〕 D 、 5〔3 5 〕三、好好想一想1、已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC＝ 5 5 5 ，且 AC＞ BC，求线段 AB 与 BC 的长；2、E、F 为线段 AB 的黄金分割点，已知 AB＝ 10 cm，求 EF 的长度．A E F BAB3、假如一个矩形 ABCD 〔AB＜ BC〕中，BC5 1 ≈ 0.618，那么这个矩2形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感 .在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF ，得到一个小矩形 ABFE 〔如图 1〕，请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性 .二、平行线分线段成比例学问梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，假如l ∥ l ∥ l ，就 BC EF， AB DE， AB AC .1 2 3AC DFAC DFDE DF2.平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，假如 DE ∥ BCA_，就 AD AE DE AB AC BC_E D__D E_ A_B_3.平行的判定定理： 如上图，假如有专题讲解_C B_AD AEAB ACC_DE ，那么 DE ∥ BC ；BC专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图， DE ∥BC ，且 DB AE , 如 AB5，AC10 ，求 AE 的长；【例2】如图，已知AB / /EF/ /CD ，如 AB a ， CD b ， EF c ，求证： 1 1 1 .c a b【巩固】 如图， AB BD ， CD BD ，垂足分别为 B 、 D ， AC 和 BD 相交于点 E ，EF BD ，垂足为 F .证明： 1 1 1 .AB CD EF【巩固】 如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论 .【例3】如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD， AB12 ，CD9 ，过对角线交点 O 作EF ∥ CD交 AD ，BC 于 E ，F，求 EF 的长；【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，AD a ，BC b ，E ，F分别是 AD ，BC 的中点， AF 交 BE 于 P ， CE 交 DF 于Q ，求PQ 的长；专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007 年北师大附中期末试题）（ 1）如图（ 1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，就 BC .CD1 AB ，4（ 2）如图（2），已知 ABC 中， AE : EB EF AF1:3， BD : DC2:1， AD 与CE 相交于 F ，就FC FDA. 52的值为（）B.1 C. 32【例5】（2001 年河北省中考试题）如图，在 ABC 中， D 为 BC 边的中点， E 为AC 边上的任意一点， BE 交 AD 于点 O .（ 1）当 AE1 时，求 AO的值；（2）当 AE1 1 时，求 AO的值；、A C 2 AD AC 3 4 AD（3）试猜想AE 1A C n时 AO1 ADA的值，并证明你的猜想 .E【例6】（2003 年湖北恩施中考题） 如图， AD 是 ABC 的中线，点 E 在 AD 上， FO是 BE 延长线与 AC 的交点 .（1）假如 E 是 AD 的中点，求证： AF 1 ；FC 2B D C（2）由（1）知，当 E 是 AD 中点时， AFFC1 AE2 ED成立，如 E 是 AD 上任意一点（ E 与 A 、 D 不重合），上述结论是否仍然成立，如成立请写出证明，如不成立， 请说明理由 .【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD上的一点，且 BE AC ，延长 BE 交 AC 于 F ；求证： AF EF ；【例7】（宁德市中考题）如图， ABC 中， D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ，延长 AB 交CE 的延长线于 P ；如 AD2DE ，求证 : AP3 AB ；【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC 中， BC a ，如 D1 ，E1 分别是 AB ，AC的中点，就D1E11 a ； A2如 D2、E2分别是D1 B、E1C的中点，就D2 E21 a a 3 a ；如 D3、E3分别是D2 B、E2C的中点，就D3 E32 2 41 3 a a7 a ； D1 E1如 Dn、En 分别是Dn -1 B、En-1C的中点，就Dn En2 4 8D2 E2 . D 3 E3Dn En专题三、利用平行线转化比例 B C【例8】如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与 AB 、 DC 、 BC 、 AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、 N 、 R 、 S 和 P .求证： PM PN PR PS【巩固】已知，如图，四边形 ABCD ，两组对边延长后交于 E 、F ，对角线 BD ∥ EF ，AC 的延长线交 EF 于G ．求证： EG GF ．【例9】已知： P 为 ABC 的中位线 MN 上任意一点， BP 、CP 的延长线分别交对边 AC 、 AB 于 D 、 E ，求证：AD AE 1DC EB【例10】 在 ABC 中，底边 BC 上的两点 E 、F 把 BC 三等分， BM 是 AC 上的中线， AE 、 AF 分别交 BM 于 G 、 H 两点，求证：BG : GH: HM5:3: 。