下载可编辑第 22 页，共 22 页.专业.整理.1、矩阵的定义第二章 矩阵一、知识点复习对角矩阵 : 对角线外的的元素都为 0 的 n 阶矩阵 .单位矩阵 : 对角线上的的元素都为 1 的对角矩阵 ,记作 E(或 I).数量矩阵 : 对角线上的的元素都等于一个常数 c 的对角矩阵 ,它就是 c E.由 m n 个数排列成的一个 m 行 n 列的表格 ，两边界以圆括号或方括号 ，就成为一个 m n 型矩阵 例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个 4 5 矩阵 .上三角矩阵 : 对角线下的的元素都为 0 的 n 阶矩阵 .下三角矩阵 : 对角线上的的元素都为 0 的 n 阶矩阵 .对称矩阵 : 满足 A T= A 矩阵 ， 也就是对任何 i,j,(i,j) 位的元素和 (j,i)位的元素总是相等的 n 阶矩阵 .反对称矩阵 :满足 AT=- A 矩阵.也就是对任何 i,j,(i,j) 位的元素和 (j ,i) 位的元素之和总等于 0 的 n 阶矩阵 . 反对称矩阵对角线上的元素一定都是 0.)一个矩阵中的数称为它的元素 ,位于第 i 行第 j 列的数称为 (i,j)位元素 。
元素全为 0 的矩阵称为 零矩阵 ,通常就记作 0两个矩阵 A 和 B 相等(记作 A= B)，是指它的行数相等 ， 列数也相等 (即它们的类型相同 )， 并且对应的元素都相等 正交矩阵 ：若 AA T=A TA=E ， 则称矩阵 A 是正交矩阵 1） A 是正交矩阵 AT=A -1 （ 2） A 是正交矩阵阶梯形矩阵 :一个矩阵称为阶梯形矩阵 ，如果满足 :① 如果它有零行 ， 则都出现在下面 2A =12、 n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵 ，行列数都为 n 的矩阵也常常叫做 n 阶矩阵 n 阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主 对角线 下面列出几类常用的 n 阶矩阵 ,它们都是考试大纲中要求掌握的 .② 如果它有非零行 ， 则每个非零行的第一个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调递增 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0 元素所在的位置称为 台角 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵 ， 这种运算是性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算 ， 必须十分熟练 请注意 ： 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的 ， 但是其非零行数和台角位置是确定的 。
3、矩阵的线形运算（ 1） 加( 减)法:两个 m n 的矩阵 A 和 B 可以相加 (减),得到的和 (差)仍是 m n矩阵 ,记作 A+ B (A - B),运算法则为对应元素相加 (减).（ 2） 数乘 : 一个 m n 的矩阵 A 与一个数 c 可以相乘 ,乘积仍为 m n 的矩阵 ,记作 cA ,运算法则为 A 的每个元素乘 c.这两种运算统称为线性运算 ,它们满足以下规律 :① 加法交换律 : A + B= B+ A. 2 加法结合律 : (A+ B)+ C= A+( B+ C).③ 加 乘 分 配 律 : c( A+ B)=c A+c B.(c+d) A=c A+d A. ④ 数 乘 结 合 律 : c(d) A=(cd) A. ⑤ c A =0 c=0 或 A =0.4、矩阵乘法的定义和性质（ 1） 当矩阵 A 的列数和 B 的行数相等时 ,则 A 和 B 可以相乘 ,乘积记作 AB. AB 的行数和 A 相等 ,列数和 B 相等 . AB 的(i,j)位元素等于 A 的第 i 个行向量和B 的第 j 个列向量 (维数相同 )对应分量乘积之和 .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同 :① 矩阵乘法有条件 . ② 矩阵乘法无交换律 . 即 AB BA③ 矩阵乘法无消去律 ：即一般地由 AB=0 推不出 A=0 或 B=0.由 AB= AC 和 A 0 推不出 B= C.(无左消去律 )由 BA= CA 和 A 0 推不出 B= C. (无右消去律 )请注意不要犯一种常见的错误 :把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来 .矩阵乘法适合以下法则 :① 加乘分配律 A (B+ C)= AB + AC, (A + B)C= AC + BC.② 数乘性质 (cA )B=c( AB ). ③ 结合律 (AB )C= A (BC)（ 2） n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个 n 阶矩阵 A 和 B 都可以相乘 ,乘积 AB 仍是 n 阶矩阵 .并且有行列式性质: |AB|=| A||B|.如果 AB = BA,则说 A 和 B 可交换 .方幂 设 k 是正整数 , n 阶矩阵 A 的 k 次方幂 A k 即 k 个 A 的连乘积 .规定 A 0= E.显然 A 的任何两个方幂都是可交换的 ,并且方幂运算符合指数法则 :① A k A h = A k+h .② ( A k )h= A kh .即： Ams Bs nCm n但是一般地 (AB)k 和 A k B k 不一定相等 !n 阶矩阵的多项式 ：设 f(x)=a m xm +a m-1 xm-1 +⋯ +a1x+a 0,对 n 阶矩阵 A 规定f(A)=a m A m +a m-1 A m-1 +⋯ + a1A +a 0E.称为 A 的一个多项式 .请特别注意在常数项上加单位矩阵 E.乘法公式 一般地 ,由于交换性的障碍 ,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于 n 阶矩阵的不再成立 .但是如果公式中所出现的 n 阶矩阵互相都是互相可交换的 ,则乘法公式成立 .例如当 A 和 B 可交换时 ,有:(A B)2= A2 2AB+ B2; A 2- B2=( A+ B)(A -B)=( A+ B)(A- B).② =(b 1 ,b2 ,⋯,b n)T,则 A = b 1 1 +b 2 2+ ⋯+b n n.应用这两个性质可以得到 :如果 i=(b 1i,b 2i,⋯,b ni )T,则i= A I=b 1i 1 +b 2i 2 + ⋯+b ni n .即:乘积矩阵 AB 的第 i 个列向量 i 是 A 的列向量组 1 , 2 ,⋯, n 的线性组合， 组合系数就是 B 的第 i 个列向量 i 的各分量 。
类似地 , 乘积矩阵 AB 的第 i 个行向量是 B 的行向量组的线性组合 ， 组合系数就是 A 的第 i 个行向量的各分量 以上规律在一般教材都没有强调 ,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出 .它们二项展开式成立 : ( A B )C A B1等等 .无论在理论上和计算中都是很有用的 .利用以上规律容易得到下面几个简单推论 :前面两式成立还是 A 和 B 可交换的充分必要条件 .(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组设 A 是 m n 矩阵 B 是 n s 矩阵 ，A 的列向量组为 1, 2,⋯, n， B 的列向量组为 1, 2,⋯, s， AB 的列向量组为 1, 2,⋯, s， 则根据矩阵乘法的定义容① 用对角矩阵 从左侧乘一个矩阵 ,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量 ， 用对角矩阵 从右侧乘一个矩阵 ,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量 易看出 (也是分块法则的特殊情形 ):① AB 的每个列向量为 : i= A i,i=1,2, ⋯,s.即A ( 1 , 2 ,⋯, s)= (A 1,A 2 ,⋯,A s).12m Am n1 1a12 2 a23 3a3m 4 4 a421 矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同 ,秩相等 .A m a1 a2a3 a41 a12a23a34 a4命题： 两个 m*n 矩阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶满秩矩阵 Pm② 数量矩阵 kE 乘一个矩阵相当于用 k 乘此矩阵 ； 单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵 。
③ 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘 ④ 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂 5、矩阵的行列式A 为 n 阶方阵 ，由 A 的元素所构成的行列式称为 A 的行列式 ， 表示为 |A|若 A 的行列式 |A| 0，称 A 为非奇异方阵 ，|A|=0 ，称 A 为奇异方阵|AB|=|A||B| |cA|=C n |A|.6、矩阵的转置把一个 m n 的矩阵 A 行和列互换 ， 得到的 n m 的矩阵称为 A 的转置 ， 记作 A T(或 A )有以下规律 ：及 n 阶满秩矩阵 Q， 使得 A=PBQ 8、矩阵方程和可逆矩阵 (伴随矩阵 )(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法 ， 乘法的逆运算是解下面两种基本形式的 矩阵方程 :(I) AX = B. (II) XA = B.这里假定 A 是行列式不为 0 的 n 阶矩阵 ， 在此条件下 ， 这两个方程的解都是存在并且唯一的 (否则解的情况比较复杂 .)当 B 只有一列时 ,(I)就是一个线性方程组 .由克莱姆法则知它有唯一解 .如果 B 有 s 列,设 B=( 1, 2,⋯, s ),则 X 也应该有 s 列,记 X=( X1 ,X2,⋯,Xs ),则有 AX i= i,i=1,2, ⋯,s,这是 s 个线性方程组 ，由克莱姆法则 ,它们都有唯一解 ，从而AX = B 有唯一解 。
这些方程组系数矩阵都是 A ， 可同时求解 ，即得(I) 的解法 ： 将 A 和 B 并列作矩阵 (A|B)， 对它作初等行变换 ， 使得 A 变为单位①(A T)T= A. ②(A+B) T=A T+B T. ③ (cA)T=cA T. ④(AB)T=B TAT. ⑤7、矩阵的等价定义 ：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化 ,就称它们等价 .T|A|=|A|矩阵 ,此时 B 变为解 X ( A|B) (E|X)II) 的解法 ： 对两边转置化为 (I)的形式 :ATXT= BT， 再用解 (I)的方法求出 X T， 转置得 X.：(A T|BT) (E|XT)矩阵方程是历年考题中常见的题型 ,但是考试真题往往并不直接写成 (I)或 (II)的形式 ,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解 2) 可逆矩阵的定义与意义定义 ：设 A 是 n 阶矩阵 ， 如果存在 n 阶矩阵 B， 使得 AB = E， BA = E， 则称 A为可逆矩阵 ， 此时 B 是唯一的 ，称为 A 的逆矩阵 ，通常记作 A-1 如果 A 可逆， 则 A 在乘法中有消去律 ：AB=0 B=0 ；AB=AC B=C.( 左消去律 )； BA=0 B=0 ；BA=CA B=C. ( 右消去律 )如果 A 可逆， 则 A 在乘法中可移动 (化为逆矩阵移到等号另一边 )： AB = C B= A -1 C， BA =。