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1、平面向量的数量积与平面向量应用举例考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，
2、|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|提醒：ab与ab所满足的坐标关系不同abx1y2x2y1；abx1x2y1y20
3、.1平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线3a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c()A(15,12) B
4、0C3 D11Ca2b(5,6)，(a2b)c53623.2平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于()A136 B2 C DDa(1,1)，|a|.ab|a|b|cos 4522.|3ab|.故选D.3已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m_.8a(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)，由(ab)b可得(ab)b122m4162m0，即m8.4已知|a|2，|b|6，ab6，则a与b的夹角_，a在b方向上的投影为_cos .又因为0，所以.a在b方向上的投影为. 考点一平面向量数量积的运算 平面向量数量积的三种运算方法典例1(1)已知在矩形AB
5、CD中，AB4，AD2，若E，F分别为AB，BC的中点，则()A8 B10 C12 D14(2)已知两个单位向量a与b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投影为_(1)B(2)(1)法一：(定义法)根据题意，得()()021cos 024cos 0010.法二：(坐标法)以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系则A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)E，F分别为AB，BC的中点，E(2,0)，F(4,1)(2，2)，(4，1)，24(2)(1)10.(2)由两个单位向量a和b的夹角为60，可得ab11，所以(ab)aa2ab1，所以向量ab在向量a方向上的投影为.点评
6、：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法，二是坐标法定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系1在ABC中，AB6，O为ABC的外心，则等于()A B6 C12 D18D如图，过点O作ODAB于D，可知ADAB3，则()36018.2(2020成都模拟)在ABCD中，|8，|6，N为DC的中点，2，则_.24法一：(定义法)()()22826224.法二：(特例图形)：若ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N(4,6)，M(8,4)所以(8,4)，(4，2)，所以
7、(8,4)(4，2)32824. 考点二平面向量数量积的应用 平面向量的模求向量模的方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，则|a|.典例21(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC中点，则|等于()A2 B4 C6 D8(2)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_(1)A(2)5(1)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)44，则|2.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，
8、C(0，b)，则B(1，b)，则3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)当yb时，|3|min5.点评：求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解平面向量的夹角求向量夹角问题的方法典例22(1)(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_(1)B(2)(1)法一：因为(ab
9、)b，所以(ab)bab|b|20，又因为|a|2|b|，所以2|b|2cosa，b|b|20，即cosa，b，又知a，b0，所以a，b，故选B.法二：如图，令a，b，则ab，因为(ab)b，所以OBA90，又|a|2|b|，所以AOB，即a，b.故选B.(2)因为2a3b与c的夹角为钝角，所以(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，所以4k660，所以k3.若2a3b与c反向共线，则6，解得k，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是.点评：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角两个向量垂直
10、问题1利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可2已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数典例23(1)(2020全国卷)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()Aa2b B2ab Ca2b D2ab(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_(1)D(2)(1)法一：由题意，得ab|a|b|cos 60.对于A，(a2b)bab2b220，故A不符合题意；对于B，(2a
11、b)b2abb21120，故B不符合题意；对于C，(a2b)bab2b220，故C不符合题意；对于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b.故选D.法二：不妨设a，b(1,0)，则a2b，2ab(2，)，a2b，2ab(0，)，易知，只有(2ab)b0，即(2ab)b，故选D.(2)因为，所以0.又，所以()()0，即(1)220，所以(1)|cos 120940.所以(1)32940.解得.点评：解答本例(2)的关键是的转化，考虑到，且与的夹角为120，故.从而可转化为0，即()()0.1(2021全国统一考试模拟演练)已知单位向量a，b满足ab0，若向量cab，则sina，c()
12、A. B. C. D.B设a(1,0)，b(0,1)，则c(，)，所以cosa，c，sina，c.2(2020福州模拟)已知向量|3，|2，mn，若与的夹角为60，且，则实数的值为()A B C6 D4A因为向量|3，|2，mn，与夹角为60，所以32cos 603，所以()(mn)(mn)m|2n|23(mn)9m4n6mn0，所以，故选A.3(2020全国卷)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_.a，b为单位向量，且|ab|1，(ab)21，112ab1，ab，|ab|2a2b22ab1123，|ab|. 考点三平面向量的应用 平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化
