第五章 随机系统的自适应控制设计 51第五章第五章 随机系统的自适应控制设计随机系统的自适应控制设计 在这章，我们将近一步讨论随机系统的自适应控制方法 5.1 随机微分方程的稳定性理论 由于实际环境中随机扰动普遍存在的，因此在控制领域中随机系统是一种非常普遍的系统，对于随机系统有多种建模方法，但基于 Ito 微分方程描述的随机系统是研究的相对比较多的一种随机系统模型，在这一节，我们就这类系统的稳定性进行讨论 考虑随机微分方程 考虑以下 Ito 随机微分方程描述的动力系统 ωdxgdtxfdx)()(+= (5.1.1) 其中nxR∈，nnfRR →:，rnng×→RR:满足局部 Lipschitz 条件， 且0) 0( , 0) 0(==gf， ω为r维独立标准维纳过程 定义定义 5.1：假设nR⊂Ω是一紧集，称系统(5.1.1)的平衡点0=x是 • 在概率意义下局部(全局)一致稳定，如果0>∀ε存在K∈⋅)(γ，使得 εγ−≥≤1|)}(|| )({|0xtxP，0≥∀t，}0{\0Ω∈∀x(}0{\0nxR∈∀) (5.1.2) • 局部(全局)一致渐近稳定，如果0>∀ε，存在KL∈⋅ ⋅ ) , (β，使得 εβ−≥≤1)}|,(|| )({|0txtxP，0≥∀t，}0{\0Ω∈∀x(}0{\0nxR∈∀) (5.1.3) 定义 5.2(无穷小算子)定义 5.2(无穷小算子)： 对于系统(5.1.1)，定义无穷小算子如下 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂=gxVgfxVxLV22 TTr21: )( (5.1.4) 定理定理5.1 (随机Lassale不变集原理)： 考虑系统 (5.1.1)， 假设nR⊂Ω是一紧集，若存在连续二次可微函数)(xV和KL∈21,γγ使得 |)(|)(|)(|21xxVxγγ≤≤ 且 )(xWLV−≤ (5.1.5) 对于0≥∀t和Ω∈∀0x (nxR∈∀)成立，其中W是连续非负函数，则平衡点0=x和在概率意义下局部(或全局)一致有界，且满足 1}0))((lim{== ∞→txWP t(5.1.6) 定理定理5.2：：考虑系统 (5.1.1)，假设nR⊂Ω是一紧集，若存在连续二次可微函数)(xV，和∞∈ K21,γγ和K∈3γ使得 |)(|)(|)(|21xxVxγγ≤≤ 且 |)(|3xLVγ−≤ (5.1.7) 对于0≥∀t和Ω∈∀0x (nxR∈∀)成立，则平衡点0=x在概率意义下局部(或自适应控制设计引论 52 全局)一致渐近稳定。
不等式不等式5.1 (Young 不等式不等式)：设 nxR∈，nyR∈，0,>qp，且111=+−−qp， 则有 qpyqxpyx||1||1T+≤ (5.1.8) 特别地，如果2== qp，则有 22T||21||21yxyx+≤ 进一步，由以上不等式知，nnyxRR∈∈∀,，都有 22T2||21||21|||yxyxx+−≤±− Young不等式在非线性控制理论中有着重要的应用从数学的角度看，它的作用就是将变量yx,的幂进行加权平均后，所得到值不会减小 5.2 随机系统状态反馈自适应控制 在这一节，我们考虑参数化不确定随机系统的自适应控制设计方法，为了简化我们先讨论一阶和二阶系统的情况 5.2.1一阶随机系统的自适应控制设计一阶随机系统的自适应控制设计 考虑如下由Ito微分方程描述的一阶参数化随机系统 [( )]( )TTdxf xu dtg xdwθ=++ (5.2.1) 其中x∈R表示系统状态，:nf→RR，:rg→RR是已知的向量非线性函数且满足局部Lipschitz条件及0) 0( , 0) 0(==gf，nRθ∈表示未知的参数向量，ω为r维独立标准维纳过程。
我们的目标是：设计u，使得 ( ){}lim01 tpx x →∞==且{}1p=闭环信号有界 (5.2.2) 由于0) 0( , 0) 0(==gf，基于微分中值定理，存在非线性函数( ), ( )f x g x使得 |( )|| ||( )g xx g x≤ (5.2.3) 选择Lyapunov函数: ( )21 2V xx=, 根据(5.1.4)，有 ( )( )( )( ){}112TL V xxf xugxg xθ=⋅++⋅ ⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦( )( )21 2xfxuxgxθ⎡⎤=⋅++⎢⎥⎣⎦ (5.2.4) 其中( )( )=g xxg x 第五章 随机系统的自适应控制设计 53设计控制律 ( )( )21ˆ 2ucxxgxfxθ= −−−??(5.2.5) 其中0c >表示控制增益，ˆθ表示θ的估计，自适应律设计为 ˆθ?( )=f xxγ⋅⋅(5.2.6) 其中0γ>表示自适应增益，则取 ()21 2VV Xθγ=+?(5.2.7) 其中ˆθθθ=−?由(5.2.4)- (5.2.6)得 ( )21L Vcxx f xθθ θγ⎡ ⎤ = −++⋅⋅⎣ ⎦??? ? ( )21cxxf xθθγ⎡⎤= −++⋅⎢⎥⎣⎦???( )21ˆcxxf xθθγ⎡⎤= −+−⋅⎢⎥⎣⎦??（取( )ˆx f xθγ=⋅ ⋅?） 2cx= − (5.2.9) 由定理知：( ){}lim01 tpx x →∞==。
且( ){}ˆlim1 tptθ →∞=有界 例例5.2.1：考虑以下参数化随机系统 ()2sindxxu dtxxdwθ=++(5.2.10) 基于以上设计过程，设计控制律和自适应律如下 221ˆsin2ucxxxxθ= −−−⋅3ˆxθγ=⋅?在仿真中， 选择控制参数0.5,0.5cγ==， 初始条件设计为(0)0x=，ˆ(0)0θ=，则Simulink模块图和仿真结果如图 Scope1Scope1/s Integrator11 sIntegrator0.5*u^3-u^2-0.5*u-0.5*u*(sin(u))^2 u*sin(u) 2.5*u^2Dot Product1 Dot ProductBand-Limited White NoiseAdd1 Add图5.2.1：Simulink模块图 自适应控制设计引论 54 051001234time (s)x0510012345time (s)θ0510-40-30-20-100time (s)u0510-4-202time (s)w图5.2.2：仿真结果 5.2.2二阶随机系统的自适应控制设计二阶随机系统的自适应控制设计 考虑如下由Ito微分方程描述的二阶参数化随机系统 ( )()( )( )()( )12112221TTdxxydtgy dwdxuydtgy dwyxθ ϕθ ϕ⎧=++⎪⎪=++⎨ ⎪=⎪⎩(5.2.11) 其中12,xR xR∈∈表示系统状态，12:,:nnϕϕ→→RRRR，12:,:rrgg→→RRRR是已 知 的 向 量 非 线 性 函 数 且 满 足 局 部Lipschitz条 件 及( )( )120 =00 =0ϕϕ，,( )( )120 =00 =0gg，，nRθ∈表示未知的参数向量，ω为r维独立标准维纳过程。
基于中值定理，存在1122,,,ggφφ，使得 ( )( )( )( )1122==yyyyyyϕϕϕϕ⋅⋅，,( )( )( )( )1122==gyy gygyy gy⋅⋅，(5.2.12) 目标：设计u,使( ){}lim01 tPx t →∞== 第五章 随机系统的自适应控制设计 55采用Backstepping方法：令()221,zxyαθ=−，则 ()()( )1211,dydxzydtgy dwαθ==++ (5.2.13) ( )()( )2221Tdzuydtgy dwdθ ϕα=++− (5.2.14) 由ˆIto微分公式： ()[]( )1 111ˆ,ddyLdtgy dwdyααθα=+ ( )()( )( )( )2 1111 2111121ˆˆ2TTxytr gygydtgy dwyyyααααθ ϕθθ⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂=+++⋅⋅+⋅⎢⎥⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎣⎦?(5.2.15) ( )( )( )( )2 211111 221211221ˆˆ2Tdzuyyxgdtgygydwyyyyαααααθϕϕθθ⎡⎤⎛⎞⎡⎤∂∂∂∂∂=+−⋅−⋅−−⋅+ −⋅+⎢⎥⎜⎟⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎠⎣⎦⎣⎦?(5.2.16) 设计： ( )( )( )( )()( )11112 21111 2212122233 12ˆ1ˆˆ,ˆ2ˆTTc yyyuczyyxgy zyyyyyzwαθ ϕβααααθϕϕθβθθθϕ⎧=−−+⎪ ⎪⎛⎞∂∂∂∂⎪=−−−⋅+⋅++⋅+⎨⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎪ ⎪⎡⎤=− =Γ+⋅⎪⎣⎦⎩????(5.2.17) 将(5.2.17)代入(5.2.13)和(5.2.16)得： ( )( )( )21111Tdyzc yyydtgy dwθ ϕβ⎡⎤=−+++⎣⎦?(5.2.18) ( )( )()( )( )11 22212212,Tdzczyyy zdtgygyyyααθϕϕβ⎡⎤⎛⎞⎡⎤∂∂= −+−⋅++ −⋅+⎢⎥⎜⎟⎢⎥∂∂⎝⎠⎣⎦⎣⎦?(5.2.19) 选择Lyapunov函数 441 2111 442TVyzθθ−=++Γ?? (5.2.20) 则[ ]( )( )( )( ){}( )( )3231 211111222123 2TTTL Vyzc yyytr gyygyzczyyyαθ ϕβθϕϕβ⎡⎤⎛⎞∂⎡⎤=−+++⋅⋅+−+−⋅+⎢⎥⎜⎟⎣⎦∂⎝⎠⎣⎦?? ( )( )( )( )2111 212213 2TTtrgygyzgygyyyααθθ−⎡⎤⎛⎞⎛⎞∂∂+−⋅⋅⋅−⋅+Γ⎢⎥⎜⎟⎜⎟∂∂⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦??? (5.2.21) 采用不等式： ()4 334443 2223131 4444y zyzyz≤+=+(5.2.22) 自适应控制设计引论 56 ( )( ){}( )242 11133 22Ttr gy y gyygy⎛⎞=⎜⎟⎝⎠( )( )( )( )( )( )2222111 2122121233 22T trgyg yzgyg ygyg yz yyyyααα⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂−−=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦( )( )4441 2123 11 2 22gygyzyyα⎡⎤⎛⎞∂≤−⋅+⎢⎥⎜⎟∂⎢⎥⎝⎠⎣⎦ (5.2.23) 则 ( )( )( )32 11333 424L Vyc yyygyyyβ⎡⎤⎛⎞=−++++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦+( )( )()231 22222122213,44zc zzgygyzy zyαβ⎡⎤⎛⎞∂−++−+⎢⎥⎜⎟∂⎢⎥⎝⎠⎣⎦??+( )⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ++−θωϕθ? ~~13 213zyyT(5.2.24) 其中( )( )yyy11 2ϕαϕω∂∂−=。
只需选择： ( )( )2 11333 424yygyβ⎡⎤= −++⎢⎥⎣⎦(5.2.25) ()( )( )21 2222113,44y zzgygyyαβ⎡⎤⎛⎞∂= −+−⋅⎢⎥⎜⎟∂⎢⎥⎝⎠⎣⎦(5.2.26) ( )33 12ˆyyzwθθϕ⎡⎤= −= Γ+⋅⎣⎦???(5.2.27) 则 ( )4 224 1zcycVL−−≤ (5.2.28) 从而0→y则01→α，又02→x02→z 例例5.2.2：考虑以下。