学习必备欢迎下载解析几何教案一、课程简介本课程是大学数学系的主要基础课程之一主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等 通过学习这门课程， 学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法二 、课程说明（一）课程的地位和任务本课程是大学数学系的主要基础课程之一，学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的数学知识、方法和思维基础二）课程的基本要求1理解向量的概念 . 熟悉向量、向量的模、方向余弦及单位向量的坐标表达式；2掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，两个向量的夹角公式及平行、垂直的条件；3掌握平面和空间直线方程的各种形式、特点，以及点、线、面三者之间的各种度量关系，会求平面和直线的方程；4理解曲面方程的概念，掌握空间特殊二次曲面（如柱面、锥面、旋转曲面）的标准方程及其图形； 掌握讨论二次曲面的方法， 能熟练地利用平面截割的方法来认识空间曲面的形状以及它们的主要性质，并能根据曲面的标准方程画出它们的图形；5掌握二次曲线方程的几何特征与二次曲线方程的不同化简方法与分类知道空间曲线的参数方程和一般方程。
三）课程内容的重点、深广度本课程的基本思想是用代数的方法研究几何重点要求在前两章的基础掌握下，利用向量、坐标两大工具，去讨论空间平面与直线，去建立特殊二次曲面的方程，去掌握二次曲线的一般理论 本课程论证严谨， 叙述深入浅出， 条理清楚，具有较好的广度与深度四）与其它课程的联系与分工先修课：平面解析几何、线性代数（五）对学生能力培养的要求和方法学生除了参加闭卷考试外， 关键是掌握一种解析分析方法，另外，培养学生对空间图形的直观想象能力六）学时分配建议（具体见教学日历）课程内容讲课时数习题课时数矢量与坐标18 2 轨迹与方程8 2 平面与空间直线16 2 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面14 2 总计64一、课程内容第一章 矢量与坐标【说明】 ：学习目标知识结构一、知识网络二、重点内容提示表，1、矢量的概念2，矢量的线性运算运算定义性质矢 量 的加法设已知矢量 a,b， 以空间任意一点o为始点， 做矢量 OA=a,AB=b,得一折线 OAB，从折线的端点o 到另一端点的矢量OB=c,叫做矢量 a,b 的和，记做 c=a+b。
把求两矢量和的运算叫做矢量加法1、交换律 a+b=b+a 2、结 合 律 （ a+b ）+c=a+(b+c) 3、矢量加法有三角形法则、平行四边形法则、多边形法则矢 量 减法当矢量 b 与矢量 c 的和等于矢量 a，即b+c=a时，我们把矢量 c 叫做矢量 a,b的差，并记做 c=a-b由两矢量 a,b求它们的差的运算叫做矢量减法1、a-b=a+(-b) 2、a-(-b)=a+b 数 量 与矢 量 的乘法实数与矢量 a 的乘积是一个矢量，记做a，它的模是 a a; a 的方向，当 0时，与 a 的方向相同，当 0 时与 a 相同, 当0 时, 与 a 的方向相反 .我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法. 简称为数乘 .二、定理 1.3.1 数量与矢量的乘法满足下面的运算规律:1、1aa 2、结合律（a）=()a 3、第一分配律（）a=a+a 4、第二分配律（a+b）=a+b 这里 a,b为矢量 , , 为任意实数 . 三、例题例 1, 设 AM 是 ABC 的中线 , 求证 AM=1/2(AB+AC) 例 2, 用矢量法证明 : 连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半 . 1.4 矢量的线性关系与矢量的分解一, 概念定义 1.4.1由矢量 a1,a2,an与数量 1，2，n 所组成的矢量a=1 a1+2 a2+. + nan 叫做矢量 a1,a2, an的线性组合。
当矢量 a 是矢量 a1,a2, an的线性组合时，也说：矢量a 可以分解为a1,a2, an的线性组合 a 也称为矢量 a 的线性组合定义 1.4.2 对于 n （n1）个矢量 a1,a2, an，如果存在不全为零的n 个数1，2n使得1 a1+2 a2+. +nan0，那么 n 个矢量 a1,a2, an叫做线性相关不是线性相关的矢量叫做 线性无关 只有当 12 n0 时，1a1+2 a2+. +nan0 才能成立，称矢量a1,a2, an线性无关 . 推论: 一个矢量线性相关的充要条件是a=0.二, 基本定理定理 1.4.1 如果矢量 e 0，那么矢量 r 与矢量 e共线的充要条件是r 可以用矢量 e线性表示 ,或者说 r 是 e 的线性组合 ,即 r=xe , 并且 x 被 r,e唯一确定这时 e称为用线性组合来表示共线矢量的基底定理 1.4.2 如果矢量 e1,e2不共线 ,那么矢量 r 与 e1,e2共面的充要条件是 r 可以用 e1,e2线性表示 ,或者说矢量 r 可以分解为 e1,e2的线性组合 ,即r=xe1+ye2并且 x,y 被 e1,e2，r 唯一确定这时 e1,e2叫平面上矢量的基底。
定理 1.4.3如果矢量 e1,e2,e3不共面，那么任意矢量r 可以由 e1,e2e3线性表示,或者说空间任意矢量r可以分解为 e1,e2,e3的线性组合 ,即 R=xe1+ye2+ze3并精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载且系数 x,y,z被 r, e1,e2，e3唯一确定这时 e1,e2，e3叫空间矢量的基底定理 1.4.4当 n2 时, 矢量 a1,a2, an线性相关的充要条件是其中一个矢量是其余矢量的线性组合定理 1.4.5如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关推论: 一组矢量如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关定理 1.4.6两矢量共线的充要条件是它们线性相关. 定理 1.4.7三矢量共线的充要条件是它们线性相关. 定理 1.4.8空间任何四个矢量总是线性相关. 推论: 空间四个以上的矢量总是线性相关. 三、应用例 1， 已知三角形 ABC， 其中 OA=a,OB=b,而 M,N 分别是三角形两边OA,OB上的点，且有 OM=a,(0 1).ON=b(01), 设 AN与 BM 相交于 P,试把矢量 OP=p分解成 a,b 的线性组合。
例 2，证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分例 3，设 Opi=ri(i=1,2,3),试证 P1,P2,P3三点共线的充要条件是存在不全为零的实数 1,2,3使得1r1+2r2+3r3=0 且1230. 例 4，设 a,b 为两不共线矢量，证明矢量 u=a1a+b1b, v=a2a+b2b 共线的充要条件是02121bbaa 1.5 标架与坐标一 概念定义 1.5.1 标架 o;e1,e2,e3 : 空间中任一点 o,和三个不共面的有序矢量e1,e2,e3的全体 . 一般叫 仿射标架 . 笛卡儿标架 o;e1,e2,e3:e1,e2,e3都是单位矢量的标架 . 笛卡儿直角标架 (简称直角标架 ): e1,e2,e3为两两相互垂直的笛卡儿标架. 右旋标架 (右手标架 )左旋标架 (左手标架 ) 定义 1.5.2 r=xe1+ye2+ze3中,x,y,z 叫做矢量 r 关于标架 o;e1,e2,e3的分量或称为 坐标, 记做 rx,y,z 或x,y,z. 定义 1.5.3 对于取定了标架 o;e1,e2,e3的空间中任意点 P,矢量 OP叫做点P 的径矢 , 径矢 OP 关于标架 o;e1,e2,e3 的分量x,y,z 叫做 点 P 关于标架o;e1,e2,e3的坐标 ,记做 P(x,y,z)或(x,y,z). 坐标系 : 当空间取定标架 o;e1,e2,e3 后，空间全体矢量的集合或全体点的集合与全体有序三数组x,y,z的集合具有一一对应的关系。
标架坐标系卦限平面上的类似概念坐标系中有关定理精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二 定理1） 用矢量的始点和终点坐标表示矢量的分量定理 1、5、1 矢量的分量等于其终点坐标减去其始点的坐标P1P2=x2-x1, y2-y1, z2-z1 2） 用矢量的分量进行矢量的线性运算定理 1、5、2 两矢量的和的分量等于两矢量对应的分量的和a+b= x2+x1, y2+y1, z2+z1 定理 1、5、3 数乘矢量的分量等于这个数与矢量的对应分量的积a=x, y, z3)两矢量共线、三矢量共面的条件定理 1、5、4 两个非零矢量 aX1,Y1,Z1, bX2,Y2,Z2 共线的充要条件是对应分量成比例即12XX=12YY=12ZZ推 论 ：三 点Ax1,y1,z1, Bx2,y2,z2, Cx3,y3,z3 共 线 的 充 要 条 件 是212121313131xxyyzzxxyyzz定理 1、5、5 三个非零矢量 aX1,Y1,Z1, bX2,Y2,Z2 cX3,Y3,Z3,共面的充要条件是1112223330XYZXYZXYZ推 论 ：四 个 点Ai(xi,yi,zi) (i=1,2,3,4) 共 面 的 充 要 条 件 是2121213131314141410 xxyyzzxxyyzzxxyyzz或11122233344411011xyzxyzxyzxyz4）线段的定比分点坐标对于有向线段 P1P2（ P1P2） ，如果点 P 满足 P1P=PP2我们称点 P 是把有向线段 P1P2分成定比 的分点。
可以看出，给定了点P1P2，分点由 唯一确定定理 1、 5、 6 设有向线段 P1P2的始点 P1P2终点 P1P2， 那么分有向线段 P1P2成定比 （-1 ）的分点 P 的坐标是121xxx121yyy121zzz推论：设 Pi(xi,yi,zi) (i=1,2) 那么线段P1P2的中点坐标是122xxx122yyy122zzz三应用例、 已知三角形三顶点为Pi (xi,yi,zi) (i=1,2,3) 求123PP P的重心坐标精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载G123123123333xxxyyyzzz 1.6 矢量在轴上的射影一、基本概念1、点在轴上的射影：已知空间一点A 与一轴 l，过点 A 作垂直于轴 l 的平面 ，这个平面与轴 l 的交点 A叫做点 A在轴 l 上的射影2、定义 1、 6、 1 设矢量 AB的始点 A和终点 B在轴 l 上的射影分别为点A，B， 那么矢量 AB叫做矢量 AB在轴 l 上的射影矢量 记做射影矢量lAB 。
3、取轴上与轴同方向的单位矢量e，那么有射影矢量lAB=AB=xe x就叫做矢量AB 在轴l上的射影，记作射影lAB ，即射影lAB =x 射影矢量lAB和射影lAB可以分别写作射影矢量eAB和射影eAB. 4、矢量的夹角：设 a,b 为两非零矢量，自空间任一点O做 OA=a ，OB=b,，我们把由射线 OA和 OB构成在 0 与之间的角， 叫做矢量 a 与 b 的夹角，记做（ a,b ）. 二、定理定理 1、6、1 矢量 AB在轴 l 上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：射影lAB= AB cos, =(l,AB)推论：相等矢量在同一轴上的射影相等定理 1、6、2 对于任何矢量 a,b 有 射影l(a+b)= 射影la+射影lb 。