北师大版九年级数学上册第4章《图形的相似》单元练习题（含答案）一、单选题1．在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形2．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米4．如图，，若，，则（ ）A． B． C． D．5．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm26．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（ ）A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：17．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）A． B． C． D．8．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）A． B． C． D．9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）A．∠AED=∠B B．C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC10．已知，那么下列等式中成立的是（ ）A． B． C． D．．11．如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③12．如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ）A． B．C． D．二、填空题13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．14．为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．15．如图，△ABC与△是位似图形，点是位似中心，若，，则=________．16．如图，四边形中，对角线交于点O，，，，，如果，那么的值是___________．17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）18．如图所示，在中，，，．（1）如图1，四边形为的内接正方形，则正方形的边长为_________；（2）如图2，若内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于，则正方形的边长为_________．三、解答题19．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．22．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．23．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．24．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．25．如图，小明同学为了测量路灯的高度，先将长的竹竿竖直立在水平地面上的处，测得竹竿的影长，然后将竹竿向远离路灯的方向移动到处，即，测得竹竿的影长（、为竹竿）．求路灯的高度．26．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动．(1)当移动几秒时，的面积为．(2)设四边形APQC的面积为，当移动几秒时，四边形APQC的面积为？(3)当移动几秒时，与相似？27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的长．参考答案1．A2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．D9．C10．C11．D12．D13．##14．3015．1616．17．2.0或3.318． 19．证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．20．解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝，∴BD＝BC－CD＝，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）解：如图．∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴＝．∴DF＝AG．∵DE∥CA，∴＝，＝．∴＝．∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，∴．21．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB， ∴， ∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5 m，CD＝10 m，由勾股定理得DE＝＝0.4 m， ∴， ∴BC＝7.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：树高AB是9m．22．解：令=k，∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8，又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3，∴a=5，b=3，c=4，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形．23．解：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90°，∵OD=1m，OE=1m，∴∠DEB=45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE=45°，∴AB=BE，设AB=EB=x m，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴，，解得：x=4．经检验：x=4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4m．24．（1）∵∠BAC=∠AE，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠EAC=∠DAB，在△CAE与△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS）；（2）由（1）得△CAE≌△BAD，∴∠ACE=∠ABD，CE=BD，∵M、N分别是BD，CE的中点，∴CN=BM，在△CAN与△BAM中，，∴△CAN≌△BAM（SAS），∴AN=AM，∠CAN=∠BAM，∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN，即∠CAB=∠NAM，∵AC=AB，AN=AM，∴，∴△AMN∽△ABC；（3）取AC的中点F，连接FN，过点点N作NG⊥AC于点G，∵点N是CE的中点，∴NF∥AE，NF=AE=2，∴∠GFN=∠EAC=60°，∴∠FNG=30°，∴FG=FN=1，∴AG=1+3=4，NG==，在Rt△ANG中，根据勾股定理可知：AN=．25．解：由已知得，m，m，m，m，，，，∴在和中，，∴∽∴，即，∴，在和中，∴∽，∴，即，∴，∴，，∴，，即路灯的高度为．26．（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）用△ABC的面积减去△BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．（1）解：运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB＝12−2t，BQ＝4t，由题意得：S△BPQ＝PB·BQ＝（12−2t）·4t＝＝32，解得：t1＝2，t2＝4，答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；（2）由题意得：，解得：t＝3，答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2；（3）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，则，即，解得：，②当△BPQ∽△BCA时，则，即，解得：，综上，当移动3秒或秒时，与相似．27．解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，∴，解得：AC＝10，故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m）．答：旗杆的高度为11．5m．28．（1）证明：，，为边上的高，，，，是的平分线，，．（2）解：如图，作于．∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，∴∠BFD=∠CEB，∵∠BFD=∠CFE，。
