高二数学下第九章复习讲义高二数学下第九章复习讲义 第1讲平面的基本性质 一.典型例题 例1.用符号语言写出下列图形应满足的条件 图(1) 图(2) 分析;根据图形,准确 地想象点.线.面这些基本元素的关系,然后用集合的符号语言表示出来.书写的规律一般是:先平面再直线,最后为点. 在(1)中:平面α∩平面β=l,a∩α=A,b∩α=B 在(2)中:α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P, b∩l=P,c∥l. 例2.作出满足下列条件的图形: 图(1) 图(2) (1) α∩β=AB,aα,bβ,a∥AB,b∩AB=M; (2) 正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD中心,A1C∩平面C1BD=M,求作点M. 分析:(1)作图的顺序与读图的顺序相同,先平面再直线再到点.如图(1) (2)设法把点M放到某两个平面的交线上,∵M∈A1C,A1C平面AA1C1C(由AA1∥C1C,A1A,CC1是可以确定一个平面的),∴M∈平面AA1C1C.又M∈平面C1BD,∴M为平面AA1C1C与平面C1BD的公共点.观察图象可知,C1.O也为上述两个平面的公共点,即平面AA1C1C∩平面C1BD=C1O.∵M∈C1O,又M∈A1C,∴C1O∩A1C=M,即平面AA1C1C1内,两直线C1O与A1C的公共点就是所求作的点M. 评注:题(2)首先体现了转化的思想,将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点,确定了交点的位置.其次,将直线A1C放在平面AA1C1C内思考,这是处理直线典型的一种思考方法.借助于平面AA1C1C,点M的位置就越来越具体了.这种类似于平面几何辅助直线的平面,称之为辅助平面.在研究空间图形时,经常要作这样的辅助平面.进一步研究M点性质,还可发现M为A1C的三等分点,M是△C1BD的重心(中心). 例3.求证:两两相交且不过同一点的四条直线共面. 分析:以文字语言出现的几何证明题,首先要〝翻译〞为符号语言写成已知.求证的形式,并辅之以正确的图形,然后再进行证明. 已知:四条直线a,b,c,d两两相交,不过同一点. 求证:a,b,c,d共面. 在正确分析四条直线位置关系时,可利用逐步添加的方法.当在两条直线上添加第三条直线时,可以发现存在下列两种位置关系;三线共点和三线不共点.因此本题需分两种情况证明: (1) 当存在三线共点时,如右图: 设a,b,c共点于Q,d∩a=M,d∩b=N,d∩c=Q ∵ a∩b=P ∴ a,b可确定平面α ∵ M∈a,N∈b ∴ M∈α,N∈α ∵ M∈d,N∈d ∴ dα ∴ Q∈α 又P∈c,Q∈c ∴ cα ∴ a,b,c,d共面于α. (2) 任何三条直线都不共点时 ∵ a,b,c,d两两不相交且不过同一点 ∴ a,b,c,d可确定平面α 设d∩a=N,d∩b=M 则M∈α,N∈α 又N∈d,M∈d ∴ dα ∴ a,b,c,d共面于α. 评注:在证明几何问题,一忌用直观代替严谨的逻辑证明,如直接看图得出结论.因为直观图仅仅是直观,是对空间真实位置关系的某种〝歪曲〞反映,看到的不一定就是实际真实位置;二忌跳步,在结论之前缺乏有序有步骤有层次的推导.三忌程序混乱,不知道应该先说什么,再说什么.当然,还有符号.语言的准确性等等. 二.同步练习 (一) 选择题 1. 空间四点中〝三点共线〞是〝四点共面〞的 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要 D.既不充分也不必要 2.下面列举了四个关于空间中直线共面的条件:(1)三条直线两两相交;(2)三条直线两两平行;(3)三条直线共点;(4)三条直线有两条平行.其中不正确的个数是 A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 直线a,b,c交于一点,经过这三条直线的平面 A.1个B.3个 C.无数个 D.可以为0个,可以为1个 4. 三个平面最多可以把空间分成 A. 4个部分 B.6个部分 C.7个部分 D.8个部分 5.已知α∩β=l,M∈α,N∈α,P∈β,Pl,MN∩l=R,记过M.N.P三点的平面γ,则β∩γ等于 A.直线MP B.直线PR C.直线NP D.直线MR 6.空间四点A.B.C.D共面但不共线,则下面结论成立的是 A.四点中必有三点共线 B.四点中必有三点不共线 C.AB.BC.CD.DA四条直线中总有两条平行 D.AB与CD必相交 7.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4,过点A.B1.D1三点的平面与平面A1B1C1D1相交于直线l,则点A到直线l的距离为 A. B. C. D. (二)填空题 8.不共面的四点可以确定________个平面. 9.一条直线过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有________个公共点. 10.如图,平面ABC和平面DEF的交点有________个. 11.P为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱B1C1上的点(异于B1.C1),则直线A1P必与棱______所在直线相交. 12.如图为水平放置的△ABC的直观图,由图判定原三角形中AB.BO.BD.OD由小到大的顺序__________. 13.空间三个平面的交线条数为k,则k的可能值是__________. 14.α∩β=BC,A∈α,D∈β,E.F.G.H分别是AB.AC.CD.DB上的点,若EF∩GH=P,则点P必在直线________上. 15.空间三条直线a,b,c互相平行,但不共面,它们能确定______个平面;这些平面把空间分成______个部分. (三)解答题 16.空间四边形ABCD中,E.F分别是AB和CB的中点,G.H分别是CD和AD上的点,且,求证:EF.FG.BD三条直线交于一点. 17.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,M.N分别是AA1.D1C1的中点,过D.M.N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. (1)画出直线l;(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长. 18.画出满足条件的图形: α∩β=l,ABα,CDβ,AB∥l,CD∥l. 19.如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求证:P.Q.R三点共线. 20.已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C,求证:a,b,c,l四线共面. 该命题可作怎样的推广? 第2讲空间的平行直线和异面直线 一.典型例题 例1.如图,已知a,b,c不共面,它们相交于点P,A∈a,D∈a,B∈b,C∈c,求证BD和AC是异面直线. 分析: 法一:直接利用判定定理 ∵ AC平面PAC,D∈平面PAC,DAC,B平面PAC ∴ AC与BD是异面直线 法二:用反证法 假设AC与BD共面于β ∵ A.D.C三点不共线 ① ∴ β与平面ACD重合 ∴ aβ ∴ P∈β ∵ P.B.C三点不共线 ∴ β与平面PBC重合 ② 由①②知平面PAC与平面PBC重合 ∴ a,b,c共面,与已知矛盾 ∴ AC与BD异面 说明:在法一中,选平面PAC为基本面,也可以选平面PBD为基本面,总之,要习惯把直线放在平面内. 例2.空间四边形PABC,连对角线AC.PB,D.E分别是△PAB和△PBC的重心,求证:DEAC. 分析:养成用轨迹的思想看待图形的习惯,即把点放上,把线放在面内. 如把点D放在AB边的中线AM上,再把PM.DE放在平面PEM内,延长PE交BC于N,连MN,则N为BC中点,平面PEM即为平面PMN. △ PMN中 ∵ ∴ DEMN △ ABC中 ∵ MNAC ∴ DEAC 例3.空间四边形DABC中,P.Q为边CD上两个不同的点,M.N为AB上两个不同的点,连PM.QN,如图,问图中共有多少对异面直线? 分析:为使计算异面直线条数的过程中不出现重.漏的现象,可采用逐步添加的方法.首先考虑空间四边形DABC的四条边DA.AB.BC.CD连同对角线AC.BD,这六条线段可形成三对异面直线DA与BC,AB与CD,AC与BD. 其次添加线段PM,则除去与PM相交的CD.AB,又可新形成4对异面直线,即PM与DA.BC.AC.BD. 因QN与PM位置等同,当添上QN时,也同样新增4对异面直线. 最后注意到,PM与QN也是异面直线. ∴ 图中共有3+4+4+1=12(对)异面直线 评注:对于复杂图形,通常用分解等手段转化为基本图形.同时学会从运动的角度观察图形,如本题的逐步添加法. 例4.长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,AA1=c,求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值. 分析:显然,通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD1和B1C所成的角,但同时又为了使构造出的角便于计算,故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF—D1C1E1F1.具体作法是:延长A1D1,使A1D1=D1F1,延长B1C1至E1,使B1C1=C1E1,连E1F1,分别过E1.F1,作E1EC1C,F1FD1D,连EF,则长方体C1D1F1E—CDFE为所作长方体. ∵ BCD1F1 ∴ BD1CF1 ∴ ∠B1CF1就是异面直线BD1与B1C所成的角. ∵ BD2=a2+b2 ∴ Rt△BDD1中,BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 ∴ CF12=BD12=a2+b2+c2 ∵ B。