数列极限复习指导

数列极限复习指导数列极限复习指导 一.重点难点分析: 　　1.三个最基本的极限 　　(1)常数数列的极限就是其本身,即:C=C. (2)=0. (3)当q_lt;1时,qn=0. 　　这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向. 　2.数列极限四则运算法则: 　　如果an=A,bn=B,那么: 　　(anbn)=anbn=AB. 　　(anbn)=anbn=AB.　==(bn≠0,B≠0). 　　== (an≥0, A≥0). 　　应特别注意理解: 　　(1)公式成立的条件:公式成立的前提是{an}与{bn}都存在极限. 　(2)公式的实质:是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序. 　　(3)公式的推广:公式中的两项的和,差,积可以推广到有限个项,但是它们都不能推广到无限个. 　　3.无穷数列各项的和 　　(1)无穷递缩等比数列: 　　当公比q_lt;1时无穷等比数列{an}称为无穷递缩等比数列. Sn==. 　　则称这个极限叫做无穷递缩等比数列各项的和,用S表示,即S=. 　　(3)其它无穷数列各项的和: 　　若无穷数列{bn}不是等比数列,但可求得前n项和 Tn,且Tn=t. 　　则无穷数列{bn}的各项和存在,且为:S=Tn=t. 　　4.求数列极限的方法与基本类型: 　　1)．求数列极限的基本思路是〝求和——变形——利用极限的运算法则求解〞,而在求解前应先化为三个重要的极限. 　　2)．常见的几类数列极限的类型和方法有: 　①型:分子分母分别求和再化简转化 　　②型:分子分母分别求和再化简转化 　③已知极限值定参数:待定系数法 　　3)．要注意极限运算法则的使用范围,以及特殊极限的使用条件. 　　4)．实际运用中极限思想应引起注意. 　　二.应用举例: 　　例1．求下列极限: 　　(1) 　　(2) 　　(3) 　　解:(1) ∵　　　　　　　　∴ 原式=. 　　(2)∵ 　　　　=　　∴ 原式=. 　　(3)∵ 　　　　 　　∴ 原式. 　　例2．设数列a1,a2,……an……的前n项和Sn与an的关系是:,其中b是与n无关的常数且b≠-1.　①求an和an-1的关系式.　②写出用n和b表示an的表达式. 　　③写0_lt;b_lt;1时,求极限. 　　解析:(1)∵ 　　　　　　　 　　 　　∴ 　　(2)∵ , ∴ . 　　∴ 　　 　　 　　由此猜想.　 证明(略) 　　把代入上式得: 　　(3) 　　　　　 　　∵ 0_lt;b_lt;1时,,　　∴ . 　　例3．(1) 已知,求a,b的值. 　　(2) 已知数列{an}的前n项和Sn=1+kan(k为不等于1的常数) 且,求k的取值范围. 　　解析:(1)由条件知该数列极限存在且为0,所以原式可变形为:. 　　显然,当且仅当a=1时,左边才有极限,而要使其极限为0,则-(a+b)=0,解得b=-1,因此a=1, b=-1. 　　(2) Sn=1+kan, 当n=1时,a1=S1=1+ka1,∴ ,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=kan-kan-1, (k-1)an=kan-1,∴ (常数) 　∴ ,由得, ∴ ,故 ,∴k2_lt;k2-2k+1,∴. 　例4．(_全国高考)已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项和为Sn, Sk=2550. 　　(1) 求a及k的值;(2) 求. 　　解析:(1) 设该数列为{an}, 则a1=a, a2=4, a3=3a, Sk=2550. 　　由已知a+3a=2_4,∴a1=a=2,公差d=a2-a1=4-2=2. 　　由得k2+k-2550=0,解得k=50,或k=-51. 　∴a=2, k=50. 　　(2)由得 Sn=n(n+1) 　　∴ . 　　∴ . 　 　训练题: 　　1．求下列极限 　　(1) 　　(2) 　　(3)　　(4) 　　2．设首项为1,公比为q的等比数列的前n项和为Sn,求. 　　3．RtΔABC中,AC=a, ∠A=θ, ∠C=90,排列着无限多个正方形.(如图所示),其中面积依次为S1,S2,S3,…….试将这些正方形的面积之和S用a和θ表示,若S为RtΔABC的面积的,试确定θ的值. 　　参考答案:　 　　1. (1) 　　(2) 2　　(3) 当a_gt;b时,原式=,当a_lt;b时,原式=.　　(4) 　　2. ∵ , ∴ . 　　①当q=1时,. 　②当q≠1时, 若0_lt;q_lt;1,, 　　若q_gt;1,. 故: 　　3．设第n个正方形的边长为_n,考虑图中三角形的长关系是 　　 　,∴ ,又, 　　∴ ,∴ {Sn}是首项,公比为的等比数列. 　　又,∴ S=,而, 　　∴ ,∴ ,∴ .。