经典难题（一）1、已知：如图， O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点， CD ⊥ AB ， EF⊥ AB ，EG⊥ CO．求证： CD ＝ GF．（初二）CEAGOFBD2、已知：如图， P 是正方形 ABCD 内一点，∠ PAD＝∠ PDA ＝ 150．求证：△ PBC 是正三角形．（初二）ADPB C3、如图，已知四边形 ABCD 、 A 1B 1C1D1 都是正方形， A2、 B 2、C2、 D2 分别是 AA 1、 BB 1、CC1、 DD 1 的中点．求证：四边形 A 2B 2C2 D2 是正方形．（初二）ADA 2D2A 1D1B 1C1B2C2BC4、已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD ＝ BC ， M 、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、 BC的延长线交 MN 于 E、 F．F求证：∠ DEN ＝∠ F．EN CD第 1 页 共 18 页A BM经 典 难 题（二）1、已知：△ ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点） ， O 为外心，且 OM ⊥ BC 于 M ．（ 1）求证： AH ＝ 2OM ；A（ 2）若∠ BAC ＝600，求证： AH ＝ AO ．（初二）O·HEBM DC2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OA ⊥ MN 于 A ，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B 、 C及 D、 E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、 Q． G求证： AP ＝ AQ ．（初二）EC O·B DM3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC 、DE ，设于 P、Q．求证： AP＝ AQ ．（初二）MNP A QCD 、 EB 分别交 MNECAQ·NP·OBD4、如图，分别以△ ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点 P 是 EF 的中点．D求证：点 P 到边 AB 的距离等于AB 的一半．（初二）GECPFAQB第 2 页 共 18 页经 典 难 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE ∥ AC ，AE ＝ AC ， AE 与 CD 相交于 F．求证： CE＝ CF．（初二）A DF EB C2、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE ∥ AC ，且 CE＝ CA ，直线 EC 交 DA 延长线于 F．求证： AE ＝AF ．（初二）A DFB CE3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PF⊥AP ，CF 平分∠ DCE．求证： PA＝ PF．（初二）A DFB P C E4、如图， PC 切圆 O 于 C， AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE 、AF 与直线 PO 相交于B 、 D．求证： AB ＝ DC ，BC＝ AD ．（初三）AB O DPEFC第 3 页 共 18 页经 典 难 题（四）1、已知：△ ABC 是正三角形， P 是三角形内一点， PA＝3， PB＝ 4，PC＝ 5．求：∠ APB 的度数．（初二）APB C2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠ PBA ＝∠ PDA ．求证：∠ PAB ＝∠ PCB ．（初二）A DPB C3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证： AB · CD ＋ AD · BC＝ AC · BD ．（初三）ADB C4、平行四边形 ABCD 中，设 E、 F 分别是 BC、 AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且 AE ＝ CF．求证：∠ DPA＝∠ DPC ．（初二）A DFPB E C第 4 页 共 18 页经 典 难 题（五）1 、 设 P 是 边 长 为 1 的 正 △ ABC 内 任 一 点 ， L ＝ PA ＋ PB ＋ PC ， 求 证 ：≤ L ＜2．APB C2、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA＋ PB＋ PC 的最小值．A DPB C3、 P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝ a， PB＝ 2a， PC＝ 3a，求正方形的边长．A DP第 5 页 共 18 页B C4、如图，△ ABC 中，∠ ABC ＝∠ ACB ＝ 800，D 、E 分别是 AB 、 AC 上的点，∠ DCA ＝ 300，∠ EBA ＝ 200，求∠ BED 的度数． AED经 典 难 题（一）B C1.如下图做 GH ⊥ AB, 连接 EO。
由于 GOFE 四点共圆，所以∠ GFH ＝∠ OEG, 即△ GHF∽△ OGE,可得 EO = GO = CO ,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证GF GH CD2. 如下图做△ DGC 使与△ ADP 全等，可得△ PDG 为等边△，从而可得△ DGC ≌△ APD ≌△ CGP,得出 PC=AD=DC, 和∠ DCG= ∠ PCG＝ 150所以∠ DCP=30 0 ，从而得出△ PBC 是正三角形第 6 页 共 18 页3. 如下图 连接 BC1 和 AB1 分别找其中点 F,E. 连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q点，连接 EB2 并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2 并延长交 A2Q于 G点，由 A2E= 12 A1 B1= 12 B1C1= FB2 ，EB2= 12 AB= 12 BC=F C1 ，又 ∠ GFQ+ ∠ Q=900 和∠ GEB2+∠Q=90 0,所以∠ GEB2=∠ GFQ 又∠ B2FC2=∠ A2 EB2 ，可得△ B2FC2 ≌△ A 2EB 2 ，所以 A 2B2=B2C2 ，又∠ GFQ+ ∠ HB 2F=900 和∠ GFQ= ∠ EB 2A 2 ,从而可得∠ A 2B2 C2=90 0 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A 2B 2C2D2 是正方形。
4. 如下图 连接 AC并取其中点 Q，连接 QN和 QM，所以可得 ∠ QMF= ∠F，∠ QNM= ∠DEN 和∠ QMN= ∠ QNM ，从而得出∠ DEN ＝∠ F第 7 页 共 18 页经 典 难 题（二）1.(1) 延长 AD到 F 连 BF，做 OG⊥ AF,又∠ F=∠ ACB= ∠ BHD ，可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2) 连接 OB，OC,既得 ∠ BOC=120 0，从而可得∠ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证3. 作 OF⊥ CD，OG⊥BE ，连接 OP， OA ， OF， AF ， OG，AG ， OQ AD AC CD 2FD FD由于 = = = = ，AB AE BE 2BG BG第 8 页 共 18 页由此可得△ ADF ≌△ ABG ，从而可得∠ AFC= ∠ AGE 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得∠ AFC= ∠ AOP 和∠ AGE= ∠ AOQ ，∠ AOP= ∠ AOQ ，从而可得 AP=AQ 。
4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG，CI，FH可得 PQ。