第三节 函数的极限一、学问归纳1、学问精讲：1）当 x→∞时函数 f〔x〕 的极限 :当自变量 x 取正值并且无限增大时 , 假如函数 f〔x〕 无限趋近于一个常数 a, 就说当 x 趋向于正无穷大时 , 函数 f〔x〕 的极限是 a, 记作limxf 〔 x〕a ,〔 或 x→ +∞时 ,f〔x〕 →a〕当自变量 x 取负值并且无限增大时 , 假如函数 f〔x〕 无限趋近于一个常数 a, 就说当 x 趋向于负无穷大时 , 函数 f〔x〕 的极限是 a, 记作limxf 〔 x〕a ,〔 或 x→ - ∞时 ,f〔x〕 →a〕注：自变量 x→ +∞和 x→ - ∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题limxf 〔 x〕limxf 〔 x〕 alimxf 〔 x〕 a2）当 x→ x 0 时函数 f〔x〕 的极限 :当自变量 x 无限趋近于常数 x 0（但 x≠ x 0）时，假如函数 f〔x〕 无限趋近于一个常数 a，就说当 x趋向于 x 0 时, 函数 f〔x〕 的极限是 a, 记作limf 〔x〕a ,〔 或 x →x0 时,f〔x〕 →a〕x x0注： limf 〔 x〕a 与函数 f （ x ）在点 x 0 处是否有定义及是否等于 f （ x 0）都无关；x x 03）函数 f〔x〕 的左、右极限 :假如当 x 从点 x=x 0 左侧（即 x ＜ x0）无限趋近于 x0 时，函数 f〔x〕 无限趋近于常数 a；就说 a 是函数 f〔x〕 的左极限，记作limf 〔 x〕 a ；x x0假如当 x 从点 x=x0 右侧（即 x ＞ x 0）无限趋近于 x0 时，函数 f〔x〕 无限趋近于常数 a；就说 a 是函数 f〔x〕的右极限，记作limf 〔x〕 a ；x x0注： limf 〔 x〕limf 〔 x〕 alimf 〔 x〕a ；并且可作为一个判定函数在一点处有无极限的重要工x x0具；x x0x x0注：极限不存在的三种形状：①左极限不等于右极限limf 〔 x〕limf 〔x〕 ；x x0 x x 0② x x0 时， f x，③ xx0 时， f x的值不唯独；4）函数极限的运算法就：与函数极限的运算法就类似 , 假如lim annA, lim bnnB, 那么limn〔a nbn 〕 A Bl i 〔ma n nbn 〕 A Bman Alim 〔a n .bn 〕 A.B l i 〔B 0〕n n bn B注：以上规章对于 x→∞的情形仍旧成立；2、重点难点：对函数极限的定义的懂得及求简洁函数的极限的重点；思维方法：直接从常用的重要极限动身，运用函数极限的运算法就解题；3. 几个重要极限：（ 1）1lim 0n n（ 2） lim CnC （ C 是常数）（ 3）无穷等比数列例 1．求以下各极限{ q n } （ q1 ）的极限是 0，即nlim qn0〔 q 1〕〔1〕lim〔4 1 〕x 2 x2 4 x 2(2) lim〔 〔 x a〕〔 x b〕 x〕x(3) lim xx 0 x(4) limx2cos xcos x sin x2 2x2解： 〔1〕 原式 = lim 1 1x 2 4〔2〕 原式 = limx〔ax 2 〔 ab〕 x ab a bb〕 x ab x(3) 由于limx 0x| x |1 ，而limx 0x| x |1， limx 0x| x |limx 0x| x |，所以lim xx0| x |不存在；(4) 原式 = limcos2 x2sin 2x2 = lim 〔cos xsin x 〕 2x 2 cos x2sin x x 2 2 22（ 5）limx(1) 〕 x30 ，但 x 时，〔 1 〕 x3→ +∞；可知 x 时，lim x〔 1〕 x3不存在；【思维点拨】①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化” ；②第（ 5）小题易与数列极限lim n〔 1〕 n3相混，数列极限中 n 特指 n ，而函数极限中的 x 包括了 x 与 x ；例 2 求以下极限：2 2 2 2〕〔1〕lim〔 3 5 7 2n 1 ；〔2〕lim〔1 2 4 2n 1n 1 〕n n 1 n1 n 1n 1 .........n1 3 9 3解：（ 1）3lim 〔 2n n 15n 2 17n 2 12n 1〕n 2 13 5 7 〔2 n 1〕n[3 〔2n 21〕]22n 2n 1 nlim 2lim 2lim 2lim 1（ 2 ）n n 1n n 1n n 1 n2 n 111 n21 2 41392n 12n 1 2〔2n 1〕2[〔 〕 n ]lim〔 〕 lim lim lim 3 3 0n 3n 1n 1 nn 3n 1 n 1〔3 1〕 1 n2 3例3〔1〕设f x2x b x 0........〔 x00〕 试确定 b的值, 使limf 〔 x〕存在 :1 2x x 0f 〔 x〕 4x3x 0f 〔x〕(2) f〔 x〕为多项式 ,且lim2 1,lim5,求f〔x〕的表达式x x x 0 x解:（ 1）lim f （ x） = lim （ 2x+b） =b, lim f（ x） = lim（ 1+2 x） =2,x 0 x 0 x 0 x 0当且仅当 b=2 时,lim f （x） = limf （ x） ,x 0 x 0故 b=2 时,原极限存在 .（2）由于 f（ x）是多项式 ,且3limxf 〔 x〕x4x =1,∴可设 f （ x） =4x3+x2+ax+b（ a、b 为待定系数） .又∵ limf 〔 x〕=5,x 0 x即 lim（ 4x2+x+a+b ） =5,x 0 x∴a=5,b=0,即 f （ x） =4x3+x2+5x.评述 :（ 1）函数在某点处有极限 ,与其在该点处是否连续不同 .（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值 ,也就是对初等函数而言 ,求极限就是求函数值 ,使极限运算大大简化 .练习：设f 〔 x〕ax b, x 00, x 0，问 a， b 为何值时，limf 〔 x〕 存在；x 01 ex , x 0解： lim f 〔x〕 lim〔ax b〕b ，lim f 〔 x〕 lim 〔1e x 〕2 ；当 b=2 时有lim f 〔 x〕 limf 〔 x〕 ，x 0 x 0x 0 x 0x 0 x 0与 a 无关；故当 b=2， a 为任何实数时，limf 〔x〕 存在；x 0【思维点拨】limf 〔 x〕 存在limf 〔 x〕limf 〔 x〕x x0x x0x x 01-x 2nn例4.争论函数 f〔x〕=并作出函数图象lim1+x2nx〔0 x〕的连续性 ,部析 :应先求出 f （ x）的解析式，再判定连续性 .解:当 0≤ x＜ 1 时， f （ x） =1limn 1x 2nx 2nx=x;当 x＞ 1 时， f （x） =lim 1n 1x 2nx 2n x= limn1x 2n1x 2n1 x=－x;1当 x=1 时， f （ x） =0.x∴f （x） = 0x〔0 x〔 x 1〕,〔 x 1〕.1〕,i∵ limf（ x） =lim（－ x）=－ 1,limf （x） =limx=1,x 1 x 1 x 1 x 1∴ lim f（ x）不存在 .x 1∴f （x）在 x=1 处不连续， f （x）在定义域内的其余点都连续 .图象如下图所示 .y1O 1 x评述 :分段函数争论连续性，肯定要争论在“分-界1 点”的左、右极限，进而判定连续性 .例 5：已知lim x mx 2n,求 m, n2x 2 x 2解法一：lim xmx 2 n, x2 为方程x mx 20 的一根，得 m 3，22x 2 x 2代人可得 n 1解法二：lim 〔 x2mx 2〕 = lim x 2 xmx 2lim x2 lim xmx 20 n 022x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 222 2 m 2 0m 3 ，代人可得 n 1例 6：f 〔x〕 为多项式，且limf 〔 x〕4x321, limf 〔x〕5 ，求f 〔 x〕 ；x x x 0 x解：∵f 〔 x〕 是多项式， 且 limx3f 〔 x〕 4xx21 ，∴f 〔 x〕4x3x2 axb ， a , b 为待定系数，即 f。