6．微积分内容的要求、变化及其原由在高中数学新课程中，“导数及其应用”这部分内容的要求和处理有了较大的变化，这是基于“课标”突出数学本质、为学生的终身发展、更好地适应社会发展和对人才需求的基本理念导数及其应用”分别安排在选修系列1-1和选修系列2-2中学习其中，对导数概念的认识、导数在研究函数性质中的应用，以及生活中的优化问题举例等内容，选修系列1-1和选修系列2-2的学习和教学要求基本上是一样的稍有区别的是在选修系列2-2中，增加了定积分与微积分基本定理的内容；此外，对运算的要求略有提高选修系列2-2比选修系列1-1增加的有：（1）关于导数的运算，常见函数的导数增加了求两个函数的导数；增加了求简单复合函数导数（仅限于形如）2）增加了定积分概念和微积分基本定理因为考虑到理科对数学的实际要求多一些、也高一些课标”对这部分内容的调整进行了反复的研究与思考：为何在我国中学数学中微积分会出现几进几出的安排？如何使学生感受学习导数的必要性，帮助学生了解导数在研究函数性质和生活中涉及的导数的初步应用？如何使学生较好地认识导数的本质，不仅将导数作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习？如何更有效地学习导数的相关内容？如何渗透算法思想、以及与现代信息技术的整合？等等。
下面我们对上述问题作简要分析1）我国中学数学课程中微积分几进几出的主要原因“课标”研制前期首先分析了微积分在我国中学数学课程中几进几出的原因，除了高考影响外，主要原因是定位不当：u 把中学微积分内容作为大学微积分内容的一种缩编，简单下放学习的是压缩简编的微积分，是按照()微积分学科体系的基本线索：极限理论连续理论导数与微分积分理论微积分基本定理展开的u 先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍一是学习形式化极限本身带来的困难，二是把导数作为一种特殊的极限来学习，对导数概念缺乏感受和认识u 无论是导数概念，还是导数的应用，更多的是作为一种规则来教和学，会用公式和法则进行计算，一旦公式和法则忘记了，就留不下什么东西了严重影响了对导数概念本身的认识和理解造成的结果是：大学不受欢迎，存在着炒夹生饭现象，中学也感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担2）“课标”对“导数及其应用”内容的基本定位u 强调对数学本质的认识，对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习u 全面体现数学的价值，包括应用价值：了解导数是研究事物变化快慢、研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题的有力工具——导数的广泛应用性；体会微积分的科学价值和文化价值：人类文明与科技、社会的发展对微积分创立的促进作用，以及微积分的创立在人类科学文化发展中的意义和价值。
u 体现数学的教育价值3）处理方式上的变化及其原由与原有教材相比较，“课标”在内容的处理上有很大的变化，主要表现在：u 突出导数概念的本质，感受和领悟微积分的基本思想，而不是学习压缩简编的微积分 不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，并通过提出恰当的问题使学生感受学习瞬时变化率的必要性然后，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念例如，通过问题“ 研究高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”以及恰当的问题，经历由平均变化率到（ ）瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念,为抽象出导数概念作准备体会导数的思想，体会导数与变化率的关系：凡变化的对象，都有变化率的问题，导数就是某个时刻的瞬时变化率现代社会中存在着大量这样的问题，新课程希望给学生对他今后的学习和步入社会后，能留下对微积分的一些实际认识 同时也体现“课标”让学生在经历过程中感受数学的思想，认识数学，主动参与数学教学活动的基本理念u 强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。
应用导数探索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值u 淡化计算针对以往微积分教学中的问题，以及“课标”对这部分内容的定位——强调对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习因此，在处理导数的计算时，首先对几个常见的函数（如：），用导数定义求出它们的导数，然后直接给出其它基本初等函数的导数以及导数的运算法则，只要求学生会用基本初等函数的导数以及导数的运算法则来计算导数，而且明确指出“要避免过量的形式化运算练习”与选修系列1-1相比，选修系列2-2对运算的要求略有提高，如增加了求简单复合函数（仅限于形如）的导数u 重视几何直观等思想方法的渗透和学习反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用以往对导数几何意义的处理和要求是较弱的，“课标”提高了对导数几何意义以及用导数的几何意义去解决问题的要求，其目的一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用：导数作为刻画函数变化的瞬时变化率，能从数量上反映函数在一个点附近的变化情况，导数的符号可以反映函数是增还是减，导数绝对值的大小可以反映函数增减的快慢。
我们知道，函数的单调性是指当自变量增加（减少）时，函数值是增加还是减少？从函数图象即几何的角度看，就是函数图像“走势”的变化规律：是上升还是下降？而上升或下降的快慢，即图象“走势”是“平缓”还是“陡峭”可以通过导数绝对值的大小反映出来，“课标”希望结合函数图象帮助学生认识和理解导数在研究函数单调性中的作用，使他们对函数的单调性有一个更完整的深入的认识和理解u 关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合“算法”是高中课程中新增加的内容，“标准”明确指出：算法是数学及其应用的重要组成部分，渗透（ ）算法思想是算法学习的一个重要方面，与信息技术的有机整合也是“课标”的一个基本理念因此，“课标”建议在阅读材料中，通过介绍用切线法求方程的近似解，来渗透算法思想，以及与信息技术的有机整合总之，为了更好地体现课程改革“进一步提高未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要” 的总目标，体现课程的时代性和基础性、强调本质、强调联系的基本理念；也是基于对我国中学数学课程中微积分内容几进几出原因分析，以及对微积分教学现状的思考课标”对“导数及其应用”内容的处理有了上述变化，并提出了相应的要求7．新增内容及增加的原由新课程的基本理念之一是要与时俱进地认识“双基”。
因此，除了在一些原有内容的要求和处理上有相应的变化外，还增加了算法、推理与证明、框图、统计案例等新的内容1）算法算法是高中数学课程中的新增内容，其基本思想是非常重要的，例如，带余除法、运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数、用二分法求函数零点等都是体现算法及其基本思想的典型实例因此，“算法”一词虽然对中学数学内容来说较为陌生，但并不神秘——增加的原由增加“算法初步”是“课标”基本理念的具体体现“课标”指出，算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养增加“算法初步”是“课标”时代性、与时俱进地认识“双基”的基本理念的具体体现下面我们对这部分课程的内容与要求，以及应注意的问题等方面作简要的分析——课程内容与要求u 整体要求对“算法初步”的整体要求是：在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力；将算法的学习渗透在整个高中数学课程的学习中。
u 课程内容与要求①算法的含义、程序框图通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义算法至今没有一个统一定义因此，“课标”要求通过对解决具体问题步骤的概括，如解二元一次方程组的步骤，给出算法的含义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤在此基础上，还可通过一些实例，如质数的判定、用二分法求方程的近似解这些学生熟悉的问题，分析其算法步骤以帮助学生进一步理解算法的基本含义通过解决具体问题的步骤来表达算法的含义通俗易懂，但是不够准确，算法的基本结构也不清晰因此，“课标”建议通过框图形式表示具体问题的解决，如“质数的判定”的算法，介绍算法的基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构），以及用程序框图表示算法的方法，使学生认识到程序框图表示的算法步骤更直观，也更准确．“课标”要求通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），使学生体验为了有条理地、清晰地表达算法，需要将解决问题的过程整理成程序框图；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构顺序结构、条件结构、循环结构是算法的三种基本逻辑结构，从理论上来说，任何复杂的算法都可以用这三种基本逻辑结构来实现。
框图是理解和表达这三种基本逻辑结构的最好方式，同时，这三种基本逻辑结构也是程序框图的构成要素因此，将这三种基本逻辑结构的教学与程序框图的学习结合起来，不仅降低了这三种基本逻辑结构的学习难度，也为学习程序框图的画法提供了前提条件此外，也希望让学生认识到学习三种基本逻辑结构与程序框图对于“有计划按步骤”地完成一件事情的好处，发展有条理地思考和数学化地表达的能力②基本算法语句在现代社会中，越来越多的事情可以由计算机来完成，而计算机完成任何一项任务都需要算法，因此算法是计算机科学的基础但是，用自然语言或程序框图描述的算法计算机是无法“理解”的，因此我们需要将算法用计算机能够理解的语言表达出来，这就是通常所说的程序与程序设计，所用的语言称为程序设计语言程序设计语言是由一些有特定涵义的程序语句构成的，与程序框图中介绍的算法的三种基本逻辑结构相对应，“课标”要求理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想③通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就，是数学文化的重要组成部分。
中国古代数学著作《九章算术》是其中的杰出代表此外，中国古代数学中的割圆术、多项式求值的秦九韶算法等也都是体现算法及其思想的典型算法案例，“课标”建议选择相应的内容作为阅读材料，使学生体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感——应注意的问题① 强调算法基本思想中学阶段安排算法的学习，除学习必要的算法初步知识外，更重要的是使学生接受算法思想的熏陶，而不是以学习多少算法知识为目标因此，无论是算法的含义、三种基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构）、程序框图及其画法、五种基本算法语句（输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句）和简单程序的编写，更多的应关注算法思想的提炼，而不是把注意力放在更多的算法知识的学习上② 算法学习必须通过实例进行使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句有条件的学校，应鼓励学生尽可能上机尝试与其它数。