几何最值问题的讨论 几何中的最值问题大多是利用几何图形的性质、作各种几何变换、作图及几何中的不等量关系来求解的．平面几何中有三种量：线段的长度、角度和面积(其中面积和周长相关)，所以这类问题大体分为以下三种． 一、关于线段的最值问题 例1 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？(人教版几何第二册P91例3) 解 如图1，取点A关于直线L的对称点A＇，连A＇B交L于点P，P点即为所求． 事实上，若在L上另取一点Q，由于AP＋PB＝A＇P＋PB＝A＇B，而AQ＋QB＝A＇Q＋QB＞A＇B，故AQ＋QB＞AP＋PB． 例2 在同底等积的三角形中，求周长最小者． 解 如图2，设AB为公共底，由于等积，所以等高，即顶点C的轨迹是平行于AB的直线L．设AB的中垂线与L交于C点，△ABC即为所求．即当△ABC为等腰三角形时，周长最小． 事实上，若在l上另取一点C＇，取B关于L的对称点 B＇，则有AB＋BC＋CA＝AB＋B＇C＋CA＝AB＋B＇A＜AB＋AC＇＋C＇B＇＝AB＋AC＇＋C＇B． 例3 经过两条相交公路内的某村庄修建一便道，使与两相交公路构成的三角形的周长最小． 解 如图3，设两公路Ox，Oy构成定角∠xOy，村庄P为定角∠xoy内一定点，过P作圆切∠xoy的两边于F、G，且使O，P在FG的同侧，过P作圆的切线，交∠xoy的两边于A、B，△OAB即为所求． 事实上，若过P任作另一直线CD，再作切线C＇D＇使C＇D＇∥CD，易知AP＝AF，BP＝BC，从而P△OAB＝OF＋OG，同理P△OCD＇＝OF＋OG，由于P△OCD＞p△OC＇D＇，因而△OAB是周长最小的三角形． 说明 以上三例都是采用几何作图，先作出要求的最短线段，然后再用几何图形的性质证明它是最短的．解决这一问题的另一途径是，恰当地选择自变量，列出函数解析式，把实际问题转化为求函数的最值问题，然后在给定区间内，求出函数的最值及相应的自变量的值． 二、关于角度的最值问题 例4 在△ABC中，设BC＝a，CA＝b为定值，试求AB＝c为何值时，才能使三角形的最大内角具有最小度数．解 由于任何三角形的最大内角不小于60，所以当a＝b时，即当且仅当c＝a＝b(△ABC为正三角形)时，其最大内角取最小值60；当a≠b时，不妨设a＞b，△ABC (△ABC为等腰三角形)时，△ABC的最大角具有最小的度数． 事实上，当a＝c时，∠A＝∠C＝A＝C；若a＞c，则三角形的最大角是∠A，根据前面的讨论，必有∠A＞A；若a＜c，则三角形的最大角是∠C，同样有∠C＞C． 注 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，其中，a，b，c，A，B，C分别为△ABC的三条边和三个角． 三、关于面积的最值问题 例5 如图4，在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC边上任一点，PE∥AB交 AC于E．PF∥AC交AB于F．①设BP＝x，用x表示S△PEF；②P在BC的什么位置时，S△PEF最大？解 ①2S△PEF＝S△ABC－S△BFP－S△CEP．作FH⊥BP于H．EM⊥PC于M，则。
