波利亚的怎样解题表１ 乔治 ·波利亚乔治 ·波利亚 (George Polya， 1887～1985) 是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法 (指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法 )现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他 93 岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家， 波利亚在函数论、 变分法、 概率、 数论、组合数学、 计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献， 留下了以 “波利亚 ”命名的定理或术语；他与其他数学家合着的 《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以 200 多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》 (1945 年) 、《数学与似真推理》(1954 年 )、《数学的发现》 (1962 年 )三部世界名着上，涉及“解题理论 ”、 “解题教学 ”、 “教师培训 ”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题 ”表来实现的，而在尔后的着作中有所发展，也在 “解题讲习班 ”中对教师现身说法． 他的着作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程， 他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法 ”，而是希望通过对于解题过程的深入分析， 特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式， 使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效． 尤其有特色的是， 他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．着名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年 2 月 2 日 )．２ 怎样解题表波利亚是围绕 “怎样解题 ”、“怎样学会解题 ”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对 “问题解决 ”重要性的突出强调， 同时也表明其对 “问题解决 ”研究兴趣集中在启发法上． 波利亚在风靡世界的 《怎样解题》（被译成 14 种文字）一书中给出的 “怎样解题表 ”，正是一部 “启发法小词典 ”．２．１ 怎样解题 ”表的呈现弄清问题第一，你必 未知是什么 ?已知是什么 ?条件是什么 ?满足条件是否可能 ?要确定须 弄 清 问未知，条件是否充分 ?或者它是否不充分 ?或者是多余的 ?或者是矛盾的 ?题画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?拟定计划你以前见过它吗 ?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?第二，找出看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问已知数与题．未知数之这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．间 的 联你能不能利用它 ?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了系．如果找能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?不出直接你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?的联系，你回到定义去．可能不得如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题． 你不考虑辅能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题 ?一个更特助问题．殊的问题 ?一个类比的问题 ?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条你 应件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会该最终得怎样变化 ?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适出一个求合于确定未知数的其他数据 ?如果需要的话，你能不能改变未知数或数解的计划据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤．第三，实行你的计你能否清楚地看出这一步骤是正确的 ?你能否证明这一步划骤是正确的 ?回 顾你能否检验这个论证 ?你能否用别的方法导出这个结果 ?你第四，验算所得到能不能一下子看出它来 ?的解．你能不能把这一结果或方法用于其他的问题 ?３ 波利亚的解题观对于波利亚的怎样解题表及有关著作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识 ( 见参考文献 ) ，我们将其归结为 5 个要点．３．１ 程序化的解题系统怎样解题表，就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、 拟定计划、 实现计划、 回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统．既体现常识性，又体现由常识上升为理论 ( 普遍性 ) 的自觉努力．这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容．拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系 ( 模式识别等 ) ；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配．于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体．３．２ 启发式的过程分析还在当学生的时候，波利亚就有一个问题一再使他感到困惑：“是的，这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢 ?是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实 ?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢 ?”从解题论的观点看，这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题， 波利亚说， 这“终于导致他写出本书” ( 指《怎样解题》 ) ．波利亚认为“数学有两个侧面”，“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．这两个侧面都像数学本身一样古老．但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生，或教师自己，或公众．”他以数十年的时间悉心研究数学启发法，其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识＋启发法”．在解题表中，波利亚给出了“启发法小词典”，让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实践，自己学会怎样解题．这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识，波利亚认为，数学教育应“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”；他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成，良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”，“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”；他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”．教师要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题”．波利亚提出“合情推理”的概念，号召：“让我们教猜想吧 ! ”在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的方法和规律”．波利亚不断地提问、不断地建议，“怎样才能想出这样的解答呢 ?”“我自己怎样才能想出或发现它们呢 ?”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规律．波利亚在《数学的发现》序言中提出：“领会方法的最佳时机，可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候，也可能是阅读解法形成过程的时候”．波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析，就是暴露数学解题的思维过程，也就是教人“怎样学会解题”．在例 1 中，数学操作与思维开展相结合的图解或阐释，使我们既领会到了这样的意图，也见到了这样的行动．波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析，实质上已接触到心理层面，但没有用到多少教育学或思维学的相关名词，基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用．这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的“真刀真枪”，绝非“纸上谈兵”．波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在“知识”与“组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要．”用现在的话来说，波利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用．３．３ 开放型的念头诱发．波利亚解释说：“我们表中的问题和建议并不直接提到念头；但实际上，所有的问题和建议都与它有关 ( 可以说解题表中的每一个问句，都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头． ），弄清问题是为好念头的出现做准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我们试图更好地利用它．”他强调指出：“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头．”在《怎样解题》一书里，出现“念头”这个词不下四五十次．念头有什么用 ?波利亚说：“它会给你指出整个或部分解题途径”．“也许有些念头会把你引入歧途”，但这并不可怕，“在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”会“突然闪出一个‘好念头’”，最糟糕的是没有任何念头，还“笨头呆脑地干等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到．”这里说的念头不仅在字。