2024-2025学年北京理工大学附中高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x∈N|x≤5}，集合B={x|x(x−2)>0}，则A∩B=( )A. {2,3,4} B. {3,4,5} C. [2,5) D. (2,5]2.下列函数中，值域为R且区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y=−x3 B. y=x(x−2) C. y= x D. y=lg|x|3.若a>b，则下列各式一定成立的是( )A. a2>b2 B. ac2>bc2 C. a3>b3 D. 1a2<1b24.已知函数f(x)=lnx+2x−6，则它的零点所在的区间为( )A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)5.已知f(x)=(3a−1)x+4a,x<1logax,x≥1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )A. (0,1) B. (0,13) C. [17,13) D. [17,1)6.已知f(x)=log14x，则不等式f(x)≥−43(x−1)的解集为( )A. (−∞,14]∪[1,+∞) B. (−∞,14]∪[12,+∞)C. (0,14]∪[12,+∞) D. (0,14]∪[1,+∞)7.已知a>0，b>0，则“a+b≤2”是“ab≤1”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.已知函数f(x)满足f(−2−x)=f(−2+x)，对任意x1，x2∈(−∞,−2]，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，且f(0)=0，则f(x)>0的解集是( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞) B. (−2,2)C. (−∞,−4)∪(0,+∞) D. (−4,0)9.某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100(3x+1−2x)元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是( )A. 2千克/小时 B. 3千克/小时 C. 4千克/小时 D. 6千克/小时10.定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x−1)=−f(x)，且在0,1上单调递增，a=f(20232)，b=f(ln 2)，c=f(2022)，则a，b，c的大小关系是( )A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>b>a二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数f(x)=1x+ 1−x的定义域是______．12.已知关于x的不等式a(x−1)(x−2)>2x2−8x+8的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，则a的值______．13.已知函数f(x)=(12)x,x<12,log2x,x≥12，则f(−2)=______；f(x)的最小值为______．14.已知函数f(x)=2ax2−ax−1，a∈R.若命题“∀x∈R，不等式f(x)<0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围______．15.已知函数f(x)=3x−13x+1，有如下四个结论：①函数f(x)在其定义域内单调递减；②函数f(x)的值域为(0,1)；③函数f(x)的图象是中心对称图形；④方程f(x)=−x+1有且只有一个实根．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.(本小题10分)已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列．(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)求数列{|an|}前10项和T10．17.(本小题12分)己知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调，求实数a的取值范围；(Ⅲ)在区间[−3,−1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．18.(本小题12分)近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在A1，A2，A3，A4，A5，A6这6个国产新能源品牌或在B1，B2，B3，B4这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准(精确到0.1元/千瓦时)如表： 充电时间段充电价格(元/千瓦时)充电服务费(元/千瓦时)峰时10：00−15：00和18：00−21：001.00.8平时7：00−10：00，15：00−18：00和21：00−23：000.7谷时当日23：00−次日7：000.4(1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌A1被选中的概率；(2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时(用时不超过半小时).设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望；(3)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少．19.(本小题12分)已知函数f(x)=(x−1)ex−x2．(1)求函数的单调区间；(2)求f(x)的零点个数．(3)g(x)=f(x)−m在区间[−1,12]上有两个零点，求m的范围？20.(本小题12分)已知函数f(x)=x−ln(x+a)，其中a>0．(Ⅰ)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)的极小值为0，求a的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若对任意的x∈[0,+∞)，f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值21.(本小题12分)对于有限数列{an}，n≤N，N≥3，N∈N∗，定义：对于任意的k≤N，k∈N∗，有(1)S∗(k)=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|ak|；(2)对于c∈R，记L(k)=|a1−c|+|a2−c|+|a3−c|+⋯+|ak−c|．对于k∈N∗，若存在非零常数c，使得L(k)=S∗(k)，则称常数c为数列{an}的k阶ω系数．(Ⅰ)设数列{an}的通项公式为an=(−2)n，计算S∗(4)，并判断2是否为数列的4阶ω系数；(Ⅱ)设数列{an}的通项公式为an=3n−39，且数列{an}的m阶ω系数为3，求m的值；(Ⅲ)设数列{an}为等差数列，满足−1，2均为数列{an}的m阶ω系数，且S∗(m)=507，求m的最大值．参考答案1.B 2.D 3.C 4.C 5.C 6.D 7.A 8.D 9.C 10.A 11.(−∞,0)∪(0,1] 12.3 13.4 −1 14.(−∞,−8]∪(0，+∞) 15.③④ 16.解：(1)等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，可得a1a4=a32，即为a1(a1+6)=(a1+4)2，解得a1=−8，则an=−8+2(n−1)=2n−10，Sn=12n(−8+2n−10)=n2−9n；(2)数列{|an|}前10项和T10=|a1|+a2|+|a3|+...+|a9|+|a10|=8+6+4+2+0+2+4+6+8+10=50． 17.解：(Ⅰ)根据题意，二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3，则f(x)的对称轴为x=1，又由其最小值为1，则设f(x)=a(x−1)2+1，又由f(0)=3，则有f(0)=a+1=3，解可得a=2，则f(x)=2(x−1)2+1；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，f(x)=2(x−1)2+1，若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调，则有3a<12x+2m+1在区间[−3,−1]上恒成立，则m0，解得：x<0或x>ln2；所以f(x)的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(−∞,0)，(ln2,+∞) (2)因为f(x)的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(−∞,0)，(ln2,+∞)，由于f(0)=−1<0，则f(x)在(−∞,0)上无零点；由于f(ln2)=2(ln2−1)−(ln2)2<0，则f(x)在(0,ln2)上无零点；由于f(2。