第一篇：向量证明重心 向量证明重心 三角形abc中，重心为o，ad是bc边上的中线，用向量法证明ao=2od (1).ab=12b，ac=12cad是中线则ab+ac=2ad即12b+12c=2ad，ad=6b+6c;bd=6c-6bod=xad=6xb+6xx2).e是ac中点作df//be则ef=ec/2=ac/4=3c平行线分线段成比od/ad=ef/af即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=13).od=2b+2c，ao=ad-od=4b+4c=2(2b+2c)=2od 2 设bc中点为m∵pa+pb+pc=0∴pa+2pm=0∴pa=2mp∴p为三角形abc的重心上来步步可逆、∴p是三角形abc重心的充要条件是pa+pb+pc=0 3 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf，求证ad、be、cf交于一点o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1 证明：用归一法 不妨设ad与be交于点o，向量ba=a,bc=b,则ca=ba-bc=a-b 因为be是中线，所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线，故设bo=xbe=(x/2)(a+b) 同理设ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形abo中，ao=bo-ba 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关，所以 -y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以a0：ad=bo：be=2：3 故ao：od=bo：oe=2:1 设ad与cf交于o',同理有ao’：o'd=co':o'f=2:1 所以有ao:od=ao':o'd=2:1,注意到o和o’都在ad上，因此o=o’ 因此有ao：od=bo：oe=co:of=2:1 证毕! 4 设三角形abc的顶点a,b,c的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，(x3,y3)证明：三角形abc的重心(即三条中线的交点)m的坐标(x,y)满足：x=x1+x2+x3/3y=y1+y2+y3/3 设:ab的中点为d.∴dx=(x1+x2)/2，又m为三角形的重心,∴cd=3md,∴x3-(x1+x2)/2=3===>x=(x1+x2+x3)/3同理:y=(y1+y2+y3)/3 5 如图。
设ab=a(向量)，ac=b,ad=(a+b)/2,ao=tab=ta/2+tb/2. be=b/2-a.ao=a+sbe=(1-s)a+sb/2. t/2=1-s,t/2=s/2.消去s.t=2/3.ao=(2/3)ab.od=(1/3)ab,ao=2od. 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf，求证ad、be、cf交于一点o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1 证明：用归一法 不妨设ad与be交于点o，向量ba=a,bc=b,则ca=ba-bc=a-b 因为be是中线，所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线，故设bo=xbe=(x/2)(a+b) 同理设ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形abo中，ao=bo-ba 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关，所以 -y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以a0：ad=bo：be=2：3 故ao：od=bo：oe=2:1 设ad与cf交于o',同理有ao’：o'd=co':o'f=2:1 所以有ao:od=ao':o'd=2:1,注意到o和o’都在ad上，因此o=o’ 因此有ao：od=bo：oe=co:of=2:1 证毕! 第二篇：向量与三角形的重心 向量与三角形的重心 ????????????例1 已知a，b，c是不共线的三点，g是△abc内一点，若ga?gb?gc?0．求 证：g是△abc的重心． ????????????????????????证明：如图1所示，因为ga?gb?gc?0，所以ga??(gb?gc)． ????????????????????以gb，gc为邻边作平行四边形bgcd，则有gd?gb?gc， ????????所以gd??ga． ????????又因为在平行四边形bgcd中，bc交gd于点e，所以be?ec， ????????????????ge?ed．所以ae是△abc的边bc的中线，且ga?2ge． 故g是△abc的重心． 点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 变式引申：已知d，e，f分别为△abc的边bc，ac，ab的中点．求证： ????????????ad?be?cf?0． 证明：如图2的所示， ????????????????????????????????????????????ad?ac?cd????????????????2ad?ac?ab?cd?bd，即2ad?ac?ab． ad?ab?bd?? ????????????????????????同理2be?ba?bc，2cf?ca?cb．(请收藏好 范 文，请便下次访问：Www.HAOWorD.coM) ?????????????2a(d?be?c)f?a?c ????????????0?c?f?ad?be． ????????????????．?ab?ba?b0c? ca?cb???????? 点评：该例考查了三角形法则和向量的加法． 例2 如图3所示，△abc的重心为g，o为坐标原点， ????????????????oa?a，ob?b，oc?c，试用a，b，c表示og． 解：设ag交bc于点m，则m是bc的中点， ????????????b?aab?ac?bc?c?b．则，c?a， ?????1??????1??1?am?abb?c?a?(c?b)?(c?b?2a)． 222 ??????21????aga(c?b?2a． ) 33 ????????????11故og?oa?ag?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式引申：如图4，平行四边形abcd的中心为o， ????1????????????????p为该平面上任意一点，则po?(pa?pb?pc?pd)． 4 ?????????????????????????????????????po?pa?ao，po?pb?bo，po?pc?co，证法1： ????????????po?pd?do， ?????????????????p?bp?c pd?4po?pa，???? ????1????????????????即po?(pa?pb?pc?pd)． 4 ????1????????????1????????证法2：?po?(pa?pc)，po?(pb?pd)， 22 ????1?????????????????po?(pa?pb?pc?pd)． 4 点评：（1）证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则． ????????????????（2）若p与o重合，则上式变为oa?ob?oc?od?0． 第三篇：三角形重心向量性质的引申及应用 三角形重心向量性质的引申及应用 新化县第三中学肖雪晖 平面向量是高中数学实验教材中新增的一章内容．加入向量，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵．在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用，不仅可深人了解数学教材中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构，而且有利于拓展学生的想像力，激发创新活力，显现出向量作为一个工具在数学中的重要性．下面就向量与三角形的重心关系加以引申和应用． 三角形重心向量形式的充要条件：设o为?abc所在平面上一点，o为?abc的重 ?????????????心?oa?ob?oc?0 证明：先证必要性： ????????????????????如图1以ob,oc为邻边作平行四边形obdc,则od?ob?oc. ?????????????????????????????????又oa?ob?oc?0，则ob?oc??oa，所以?oa?od, o为ad的中点，且a、o、d共线. 又e为od的中点,因此，o是中线ae的三等分点，且oa?2ae 3 即o为?abc的重心. 再证充分性:设bo、oc与ac、ab分别交于f、g点，则由三角形的中线公式可得， ?????????????ae?bf?cg?0 ????2????????2????????2????又o为?abc的重心，得ao?ae,bo?bf,co?cg 333 ?????????????所以oa?ob?oc?0 引申1若o为?abc内任一点，则有 ?????????????s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0 ?????????????????????????证明：如图2,设oa1??1oa,ob1??2ob,oc1??3oc, ?????????????且o为?abc的重心，则?1oa??2ob??3oc?0 且s?aob?s?boc?s?aoc,记为s,那么， s?oab s1oa?obsin?aob1??.??12oa1?ob1sin?aob2 s即s? aob??1?2. 同理可得s?obc?s ?2?3，s?oac?s?1?3. ?????????????所以?1:?2:?3?s?obc:s?oac:s?oab.则s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0 引申2如图3,已知点g是?abc的重心，过g作直线与ab、ac两边分别交于m、n ?????????????????11两点，且am?xab,an?yac,则??3 xy ?????????????证明：点g是?abc的重心，知ga?gb?gc?0, ??????????????????。