高等数学公式手册.pdf

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PKU 高等数学公式手册概念•定理•公式 WSM 2007.12 适用于北京大学高等数学 B 和 C 及全国硕士研究生入学统一考试数学一和数学二的复习备考高等数学公式手册高等数学公式手册 by WSM I 目录目录（一）三角函数公式 ............................................................................................................................................... 1 1．同角三角函数间的基本关系式 ............................................................................................................................ 1 2．诱导公式 ................................................................................................................................................................ 1 3．加法公式 ................................................................................................................................................................ 1 4．和差化积公式 ........................................................................................................................................................ 1 5．积化和差公式 ........................................................................................................................................................ 1 6．倍角公式 ................................................................................................................................................................ 2 7．半角公式 ................................................................................................................................................................ 2 8．降幂公式 ................................................................................................................................................................ 2 9．万能公式 ................................................................................................................................................................ 2 10．辅助角公式 .......................................................................................................................................................... 2 11．反三角函数性质 .................................................................................................................................................. 2 12．正弦定理 .............................................................................................................................................................. 2 13．余弦定理 .............................................................................................................................................................. 3 （二）常用不等式 ................................................................................................................................................... 3 1．涉及绝对值的不等式 ............................................................................................................................................ 3 2．伯努利（Bernoulli）不等式 ................................................................................................................................. 3 3．均值不等式（HM-GM-AM-QM 不等式） .......................................................................................................... 3 4．涉及三角函数的不等式 ........................................................................................................................................ 3 （三）二项式定理（牛顿公式） ........................................................................................................................... 3 （一）极限 ............................................................................................................................................................... 4 1．基本概念 ................................................................................................................................................................ 4 2．基本性质与存在条件 ............................................................................................................................................ 4 3．几个重要极限 ........................................................................................................................................................ 5 4．极限的四则运算 .................................................................................................................................................... 5 5．无穷小和无穷大 .................................................................................................................................................... 5 （二）连续 ............................................................................................................................................................... 6 1．函数的连续性 ........................................................................................................................................................ 6 2．函数的间断点 ........................................................................................................................................................ 6 3．闭区间上连续函数的性质 .................................................................................................................................... 7 （一）导数（或微商） ........................................................................................................................................... 8 1．基本概念 ................................................................................................................................................................ 8 2．基本初等函数导数公式 ........................................................................................................................................ 8 3．导数运算法则 ........................................................................................................................................................ 8 （二）微分 ............................................................................................................................................................... 9 1．基本概念 ................................................................................................................................................................ 9 2．基本初等函数微分公式 ........................................................................................................................................ 9 3．微分运算法则 ...................................................................................................................................................... 10 （三）微分中值定理及其应用 ............................................................................................................................. 10 1．微分中值定理 ...................................................................................................................................................... 10 2．泰勒（Taylor）定理 ............................................................................................................................................ 10 高等数学公式手册高等数学公式手册 by WSM II 3．洛必达（L’Hôpital）法则 ................................................................................................................................... 11 （四）导数及微分的应用 ...................................................................................................................................... 11 1．微分在近似计算中的应用 .................................................................................................................................. 11 2．利用导数研究函数及平面曲线的性态 .............................................................................................................. 11 3．平面曲线的曲率 .................................................................................................................................................. 12 （一）不定积分 ..................................................................................................................................................... 14 1．基本概念与性质 .................................................................................................................................................. 14 2．基本积分公式 ...................................................................................................................................................... 14 3．基本积分法 .......................................................................................................................................................... 14 4．扩展积分公式 ...................................................................................................................................................... 15 5．几种特殊类型函数的积分 .................................................................................................................................. 15 （二）定积分 ......................................................................................................................................................... 16 1．基本概念与性质 .................................................................................................................................................. 16 2．微积分基本公式 .................................................................................................................................................. 17 3．定积分的计算 ...................................................................................................................................................... 17 4．定积分的应用 ...................................................................................................................................................... 18 （三）广义积分 ..................................................................................................................................................... 20 1．无穷积分 .............................................................................................................................................................. 20 2．瑕积分 .................................................................................................................................................................. 21 （一）向量代数 ..................................................................................................................................................... 23 1．向量的线形运算 .................................................................................................................................................. 23 2．向量的坐标 .......................................................................................................................................................... 23 3．向量的数量积、向量积与混合积 ...................................................................................................................... 24 4．向量的关系 .......................................................................................................................................................... 24 （二）空间平面与直线 ......................................................................................................................................... 25 1．平面方程 .............................................................................................................................................................. 25 2．直线方程 .............................................................................................................................................................. 25 3．直线、平面间的关系 .......................................................................................................................................... 26 （三）空间曲面与直线 ......................................................................................................................................... 27 1．空间曲面方程 ...................................................................................................................................................... 27 2．空间曲线方程 ...................................................................................................................................................... 27 3．常见曲面与曲线 .................................................................................................................................................. 27 （一）多元函数的基本概念 ................................................................................................................................. 29 1．区域 ...................................................................................................................................................................... 29 2．二元函数的极限 .................................................................................................................................................. 29 3．二元函数的连续性 .............................................................................................................................................. 30 （二）偏导数与全微分 ......................................................................................................................................... 30 1．偏导数（或偏微商） .......................................................................................................................................... 30 2．全微分 .................................................................................................................................................................. 31 （三）方向导数与梯度 ......................................................................................................................................... 31 1．方向导数（或方向微商） .................................................................................................................................. 31 2．梯度 ...................................................................................................................................................................... 32 （四）复合函数及隐函数的微分法 ..................................................................................................................... 32 1．复合函数的微分法 .............................................................................................................................................. 32 高等数学公式手册高等数学公式手册 by WSM III 2．隐函数的微分法 .................................................................................................................................................. 33 3．二元函数的泰勒公式 .......................................................................................................................................... 33 （五）空间曲线的切线与法平面·曲面的切平面与法线 .................................................................................. 34 1．空间曲线的切线与法平面 .................................................................................................................................. 34 2．曲面的切平面与法线 .......................................................................................................................................... 35 （六）多元函数微分学在极值问题中的应用 ..................................................................................................... 35 1．二元函数的极值 .................................................................................................................................................. 35 2．条件极值问题 ...................................................................................................................................................... 35 3．用最小二乘法求经验公式 .................................................................................................................................. 36 （一）二重积分 ..................................................................................................................................................... 37 1．基本概念与性质 .................................................................................................................................................. 37 2．二重积分的计算 .................................................................................................................................................. 37 3．二重积分的应用 .................................................................................................................................................. 39 （二）三重积分 ..................................................................................................................................................... 39 1．基本概念与性质 .................................................................................................................................................. 39 2．三重积分的计算 .................................................................................................................................................. 40 3．三重积分的应用 .................................................................................................................................................. 41 （三）第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）.................................................................................................. 42 1．基本概念与性质 .................................................................................................................................................. 42 2．第一型曲线积分的计算 ...................................................................................................................................... 43 3．第一型曲线积分的应用 ...................................................................................................................................... 43 （四）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）.................................................................................................. 43 1．基本概念与性质 .................................................................................................................................................. 43 2．第二型曲线积分的计算 ...................................................................................................................................... 44 3．两类曲线积分之间的关系 .................................................................................................................................. 45 4．格林（Green）公式及其应用 ............................................................................................................................ 45 （五）第一型曲面积分（对面积的曲面积分）.................................................................................................. 46 1．基本概念与性质 .................................................................................................................................................. 46 2．第一型曲面积分的计算 ...................................................................................................................................... 46 3．第一型曲面积分的应用 ...................................................................................................................................... 46 （六）第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）.................................................................................................. 47 1．基本概念与性质 .................................................................................................................................................. 47 2．第二型曲面积分的计算 ...................................................................................................................................... 47 3．两类曲面积分之间的关系 .................................................................................................................................. 48 4．高斯（Gauss）公式·通量与散度..................................................................................................................... 48 5．斯托克斯（Stokes）公式·环量与旋度 ............................................................................................................ 49 （一）数项级数 ..................................................................................................................................................... 51 1．数项级数的概念和性质 ...................................................................................................................................... 51 2．正项级数 .............................................................................................................................................................. 51 3．交错级数 .............................................................................................................................................................. 52 4．任意项级数 .......................................................................................................................................................... 53 （二）幂级数 ......................................................................................................................................................... 53 1．函数项级数的有关概念 ...................................................................................................................................... 53 2．幂级数的有关概念 .............................................................................................................................................. 53 高等数学公式手册高等数学公式手册 by WSM IV 3．幂级数的性质 ...................................................................................................................................................... 54 4．函数的幂级数展开 .............................................................................................................................................. 55 （三）傅里叶级数（傅氏级数） ......................................................................................................................... 56 1．三角函数系的正交性 .......................................................................................................................................... 56 2．周期为 2π 的函数的傅里叶级数 ........................................................................................................................ 56 3．周期为 2l 的函数的傅里叶级数 ......................................................................................................................... 57 4．定义在[-l,l]或[0,l]上的函数的傅里叶级数 ........................................................................................................ 58 5．傅里叶级数的复数形式与频谱分析 .................................................................................................................. 59 （一）一阶微分方程的解法 ................................................................................................................................. 61 1．基本类型的微分方程 .......................................................................................................................................... 61 2．可化为基本类型的微分方程 .............................................................................................................................. 62 （二）线形微分方程的概念和解的性质 ............................................................................................................. 63 1．线性微分方程的概念 .......................................................................................................................................... 63 2．线性微分方程解的叠加原理 .............................................................................................................................. 63 3．线性微分方程解的结构 ...................................................................................................................................... 63 （三）二阶线性常系数微分方程 ......................................................................................................................... 64 1．二阶线性常系数齐次微分方程的解法 .............................................................................................................. 64 2．二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 .......................................................................................................... 64 3．欧拉（Euler）方程及其解法.............................................................................................................................. 65 4．微分方程的幂级数解法 ...................................................................................................................................... 65 一、基础准备一、基础准备 - 1 - 一、基础准备一、基础准备（一）三角函数公式（一）三角函数公式 1．同角三角函数间的基本关系式．同角三角函数间的基本关系式（1）平方关系 22sincos1 22tan1sec  22cot1csc  （2）积的关系 sintancos coscotsin tansinsec cotcoscsc sectancsc csccotsec （3）倒数关系 tancot1 sincsc1 cossec1 2．．诱导公式诱导公式函数角 A sin cos tan cot -α -sinα cosα -tanα -cotα π/2-α cosα sinα cotα tanα π/2+α cosα -sinα -cotα -tanα π-α sinα -cosα -tanα -cotα π+α -sinα -cosα tanα cotα 3π/2-α -cosα -sinα cotα tanα 3π/2+α -cosα sinα -cotα -tanα 2π-α -sinα cosα -tanα -cotα 2π+α sinα cosα tanα cotα 口诀： “奇变偶不变，符号看象限” 3．加法公式．加法公式 sin()sincoscossin cos()coscossinsin tantantan()1tantan cotcot1cot()cotcot 4．和差化积公式．和差化积公式 sinsin2sincos22 sinsin2cossin22 coscos2coscos22 coscos2sinsin22  5．积化和差公式．积化和差公式 1sincos[sin()sin()]2 1cossin[sin()sin()]2 1coscos[cos()cos()]2 1sinsin[cos()cos()]2  一、基础准备一、基础准备 - 2 - 6．倍角公式．倍角公式（1）二倍角 22tansin22sincos1tan 2222cos2cossin2cos1 12sin   22tantan21tan 2cot1cot22cot 22seccottansec21tancottan 11csc2seccsc(tancot)22 （2）三倍角 3sin34sin3sin  3cos34cos3cos 323tantantan313tan 32cot3cotcot33cot1 7．半角公式．半角公式 1cossin22 　 1coscos22  1cos1cossintan21cossin1cos 　 1cos1cossincot21cossin1cos  8．降幂公式．降幂公式 21sin(1 cos2 )2 21cos(1cos2 )2 31sin(3sinsin3 )4 31cos(3coscos3 )4 41sin(34cos2cos4 )8 41cos(34cos2cos4 )8 9．万能公式．万能公式 22tan2sin1tan2 221tan2cos1tan2 22tan2tan1tan2 10．辅助角公式．辅助角公式 22sincossin() (tan)BABABA 11．反三角函数性质．反三角函数性质 πarcsinarccos2 πarctanarccot2 12．正弦定理．正弦定理 2 ()sinsinsinabcR RABC为三角形外接圆半径一、基础准备一、基础准备 - 3 - 13．余弦定理．余弦定理 2222coscababC （二）常用不等式（二）常用不等式 1．涉及绝对值的不等式．涉及绝对值的不等式 abab abab 1212nnaaaaaa 2．伯努利．伯努利（（Bernoulli）不等式）不等式 (1)1,1nxnxx    3．均值不等式（．均值不等式（HM-GM-AM-QM 不等式）不等式）对于多个非负实数，其最小值 ≤ 调和均值 ≤ 几何均值 ≤ 算术均值 ≤ 加权均值 ≤ 最大值（或Min≤HM≤GM≤AM≤QM≤Max），即：对于n个非负实数ia，有： 2min( )max( ) ()1iiniiiiiaanaaaanna当且仅当所有相等时等号成立特别地，对于两个非负实数a和b，有： 222min( , )max( , ) ()22abababa baba babab当且仅当时等号成立 4．涉及三角函数的不等式．涉及三角函数的不等式 sintan ,0,π 2xxxx  sin,Rxxx  （三）二项式定理（牛顿公式）（三）二项式定理（牛顿公式） 1220(1)(1)(1)() ()2!!nnkn kknnnn kknnkn nn nnkabC abanabababbnk为正整数二、函数二、函数极限极限连续连续 - 4 - 二、函数二、函数极限极限连续连续（一）极限（一）极限 1．基本概念．基本概念（1）极限的定义 ①设( )f x在0x的某个去心邻域内有定义，若存在常数A，对于0 ，0 ，使得当00xx时，( )f xA恒成立，则称A为当0xx的函数( )f x的极限，记作0lim( )xxf xA或0( ) ()f xA xx。

②设( )f x在(, )a及( ,)b 上有定义，若存在常数A，对于0 ，0X，使得当xX时，( )f xA恒成立，则称A为当x时函数( )f x的极限，记作lim ( )xf xA或( ) ()f xA x （2）单侧极限 ①设( )f x在0( ,)a x上有定义，若存在常数A，对于0 ，0 ，使得当00xx时，( )f xA恒成立，则称A为函数( )f x在0xx处的左极限，记作00lim( )xxf xA或0(0) f xA ②设( )f x在0(, )x b上有定义，若存在常数A，对于0 ，0 ，使得当00xx时，( )f xA恒成立，则称A为函数( )f x在处的右极限，记作00lim( )xxf xA或0(0) f xA ③设( )f x在上有定义，若存在常数A，对于0 ，0X，使得当xX时，( )f xA恒成立，则称A为当x时函数( )f x的极限，记作lim( )xf xA或( ) ()f xA x ④设( )f x在上有定义，若存在常数A，对于0 ，0X，使得当xX时，( )f xA恒成立，则称A为当x时函数( )f x的极限，记作lim( )xf xA或( ) ()f xA x。

2．．基本基本性质性质与存在条件与存在条件（1）基本性质 ①唯一性：在自变量的一个变化过程中（0xx或x），若函数的极限存在，则此极限唯一 ②有界性：若0lim( )xxf xA或（lim ( )xf xA），则0 （或0X）及0M，使得( )f x在00() \{ }Uxx（或xX）上恒有( )f xM ③保序性：设0()lim( )xxxf xA，0()lim( )xxxg xB，若AB，则0 （或0X），使得( )f x在（或xX）上恒有( )( )f xg x；若0 （或0X），使得( )f x在00() \{ }Uxx（或xX）上恒有0xx ),(a),( b}{\)(00xxU二、函数二、函数极限极限连续连续 - 5 - ( )( )f xg x，则AB （2）极限的存在条件 ①极限存在的充分必要条件： i．00000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xf xAf xA ii．lim( )lim( )lim ( )xxxf xf xAf xA ②极限存在的准则 i．夹逼定理夹逼定理：若在00() \{ }Uxx（或0xX）上，恒有( )( )( )g xf xh x，且00()()lim( )lim( )xxxxxxg xh xA，则0()lim( )xxxf xA。

ii．单调有界准则单调有界准则：单调上升（下降）且有上界（下界）的序列必有极限 3．几个重要极限．几个重要极限 0sinlim1xxx 101lim 1lim 1e2.718xyxyyx 0ln(1)lim1xxx 0log (1)1limlnaxxxa 0e1lim1xxx 01limlnxxaax 0(1)1limxxx 4．极限的四则运算．极限的四则运算设在自变量的同一个变化过程中（0xx或x），l i m () fxA ，lim ( )g xB，则有： ①和差：lim[ ( )( )]lim ( )lim ( )f xg xf xg xAB ② 积：l i m [()() ][ l i m() ][ l i m() ]fxgxfxgxAB，特别地l i m()l i m() ()c fxcfxc Ac为常数，lim[ ( )][lim( )] ()nnnf xf xAn为正整数 ③商：若lim ( )0g xB，则( )lim( )lim( )lim ( )f xf xAg xg xB 5．无穷小和无穷大．无穷小和无穷大（1）无穷小 ①定义：极限为0的变量即无穷小（即lim ( )xA常数0也是无穷小） ②lim ( )( )( )f xAf xAx ③无穷小的运算： i．有限多个无穷小的和仍为无穷小 ii．有限多个无穷小的积仍为无穷小 iii．有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小 ④无穷小的比较：二、函数二、函数极限极限连续连续 - 6 - 高阶无穷小：( )lim0( )( ( ))( )xxoxx 低阶无穷小：( )lim( )( ( ))( )xxoxx   同阶无穷小：( )lim0 ()( )xccx为常数等价无穷小等价无穷小：( )lim1( ) ~( )( )xxxx  ⑤若( ) ~( )xx，则有：lim ( ) ( )lim ( ) ( )x f xx f x；( ) ( )( ) ( )limlim( )( )x f xx f xg xg x；( )( )limlim( ) ( )( ) ( )f xf xx g xx g x ⑥常用等价无穷小 sin~~ tanxxx ln(1) ~xx e ~1xx (1) ~1xx 211cos~2xx 31sin~6xxx （2）无穷大 ①定义：绝对值无限增大的变量即为无穷大（即lim ( )x）。

②无穷小和无穷大的关系：1lim ( )lim0( )xx ；1lim ( )0( )0lim( )xxx 且（二）连续（二）连续 1．函数的连续性．函数的连续性（1）定义 ①000lim( )()( )xxf xf xf xx在处连续 ②000-0lim( )()( )xxf xf xf xx在处左连续，0000lim( )()( )xxf xf xf xx在处右连续（2）函数连续的条件 00( )( )f xxf xx在处连续在处既左连续又右连续（3）运算 ①有限多个在同一点连续的函数之和，仍在该点处连续 ②有限多个在同一点连续的函数之积，仍在该点处连续 ③若( )f x与( )g x均在0x处连续，且( )0g x ，则( )/( )f xg x也在处连续（4）复合函数与初等函数的连续性 ①设( )ux在点0xx处连续，且00()xu，若( )yf u在点0uu处连续，则[ ( )]yfx在点0xx处连续 ②一切初等函数在其定义域上都连续 2．函数的间断点．函数的间断点（1）定义：若( )f x在处不连续，则称0x为( )f x的间断点，包括下列三种情况：（i）( )f x在0x处无定义；（ii）( )f x在0x处有定义，但0lim( )xxf x不存在；（iii）( )f x在0x处有定义，且0lim( )xxf x存在，但00lim( )()xxf xf x。

（2）间断点的类型 0x0x二、函数二、函数极限极限连续连续 - 7 - ①第一类间断点第一类间断点：( )f x在0x处的左、右极限00lim( )xxf x和00lim( )xxf x都存在左、右极限相等但不等于0()f x（或( )f x在0x处无定义）的称为可去间断点可去间断点，不相等的称为跳跃间断点 ②第二类间断点第二类间断点：( )f x在0x处的左、右极限00lim( )xxf x和00lim( )xxf x至少有一个不存在无穷间断点与振荡间断点都属于第二类间断点 3．闭区间上连续函数的性质．闭区间上连续函数的性质 ①最大值和最小值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 ②有界性定理：闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界 ③介值定理：设函数( )f x在闭区间[ , ]a b上连续，且( )( )f af b，则对于( )f a和( )f b之间的任一实数c，至少存在一点( , )a b，使( )fc i．推论 1：设函数( )f x在闭区间[ , ]a b上连续，且( )( )0f af b，则至少存在一点( , )a b，使( )0f。

ii．推论 2：设函数( )f x在闭区间[ , ]a b上连续，则对介于其最小值m和最大值M之间的任一实数d，至少存在一点( , )a b，使( )fd即在闭区间上连续的函数闭区的介于最大值和最小值之间的任何值三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 8 - 三、一元函数微分学三、一元函数微分学（一）（一）导数导数（或微商）（或微商） 1．．基本概念基本概念（1）导数的定义设( )yf x在0x的某邻域内有定义，若00Δ0Δ0(Δ )()ΔlimlimΔΔxxf xxf xyxx存在，则称( )f x在0xx处可导，该极限值称为( )f x在0xx处的导数，记作0()fx或0x xy，0ddx xyx等若00Δ0 0(Δ )()limΔxf xxf xx 存在，该极限值称为( )f x在0xx处的左导数，记作0()fx；若00Δ0 0(Δ )()limΔxf xxf xx 存在，该极限值称为( )f x在0xx处的右导数，记作0()fx （2）函数可导的条件 ①( )f x在0xx处可导的必要（非充分）条件：00( )( )f xxxf xxx在处可导在处连续 ②( )f x在0xx处可导的充分必要条件：000( )()()fxxxfxfx在处可导和存在且相等，此时有000()()()fxfxfx 2．基本初等函数导数公式．基本初等函数导数公式 ( )0 ()cc 是常数 1()xx  (sin )cosxx (cos )sinxx  221(tan )seccosxxx  221(cot )cscsinxxx   (sec )sectanxxx (csc )csccotxxx 1(ln)xx  1(log) (0,1)lnaxaaxa (e )exx  ()ln (0)xxaaa a  21(arcsin )1xx  21(arccos )1xx   21(arctan )1xx 21(arccot )1xx  3．导数运算法则．导数运算法则（1）导数的四则运算法则 ()uvuv () ()cucuc是常数 ()u vuvuv 2 (0)uu vuvvvv （2）复合函数求导法：xuxyyu即ddddddyyuxux （3）反函数的导数 ( )xy在某区间内单调、可导，则其反函数( )yf x在对应区间内也可导，且1( )( )fxy 三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 9 - （4）隐函数的导数：ddxyFyxF ，其中( )y x由方程( , )0F x y 确定（5）高阶导数设( )u x，( )v x具有n阶导数，则有： ①( )( )( )() ( ,)nnnaubvaubva b为常数 ②莱布尼兹（Leibniz）公式： ( )()( )( )(1)(2)()( )( )0(1)(1)(1)()2!!nnkn kknnnn kknnkn nn nnkuvC uvuvnuvuvuvuvk （6）由参数方程所确定的函数的导数设( )yy x由参数方程( )()( )xttyt 确定，则： ①若( ) t和( ) t可导，且( )0t，则d( )d( )ytxt ②若( ) t和( ) t二阶可导，且( )0t，则223d( )1( )( )( )( )d( )( )[( )]tytttttxttt （二）微分（二）微分 1．基本概念．基本概念（1）定义设函数( )yf x在0x的某邻域内有定义，若对于x在0x处的每个充分小的增量Δx，相应的y的增量Δ y可表为ΔΔ(Δ )yAxox，其中A与Δx无关，则称( )f x在0x处可微，ΔAx即为( )f x在0xx处的微分，记作0dx xy或0d()f x，即00dd ()x xyf xA x 。

（2）函数可微的条件 ①( )f x在0xx处可微的充分必要条件：00( )( )f xxxf xxx在处可微在处可导（见 “函数可导的条件” ） ②00d()x xyf xx（( )f x在0xx处可导）；d( )( ),( , )f xfxxx xxa b ，（( )f x在区间( , )a b上可导） 2．基本初等函数微分公式．基本初等函数微分公式 d0 ()cc是常数 1ddxxx dsincos dxx x dcossin dxx x 22ddtansecdcosxxx xx 22ddcotcscdsinxxx xx   dsecsectan dxxx x dcsccsccot dxxx x dd lnxxxx ddlog (0,1)lnaxxaaxa dee dxxx dlnd (0)xxaaax a 2ddarcsin1xxx 2ddarccos1xxx  三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 10 - 2ddarctan1xxx 2ddarccot1xxx  3．微分运算法则．微分运算法则 ①微分的四则运算法则 d()dduvuv d()d ()cuc u c是常数 d()ddu vv uu v 2ddd (0)uv uu vvvv ②一阶微分形式的不变性：d( )dyf uu （三）微分中值定理及其应用（三）微分中值定理及其应用 1．微分中值定理．微分中值定理（1）罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理若函数( )yf x满足条件：（i）在闭区间[ , ]a b上连续；（ii）在开区间( , )a b内可导；（iii）( )( )f af b，则在开区间( , )a b内至少存在一点c，使得 ( )0fc。

（2）拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理若函数( )yf x满足条件：（i）在闭区间[ , ]a b上连续；（ii）在开区间( , )a b内可导，则在开区间( , )a b内至少存在一点，使得 ( )( )( )f bf af cba 上式可写成：( )( )( )() ()f bf af c baacb，(Δ )( )( ) Δ (Δ )f xxf xf cx xcxx或(Δ )( )(Δ ) Δ (01)f xxf xfxxx i．推论 1：若( )f x在( , )a b内每一点的导数都是0，即( )0 (( , ))fxxa b，则( )f x在( , )a b内为一常数 ii．推论 2：若在( , )a b内，恒有( )( )fxg x，则在( , )a b内0( )( )f xg xC，其中0C为某确定常数（3）柯西（柯西（Cauchy）中值定理）中值定理若函数( )f x和( )g x满足条件：（i）在闭区间[ , ]a b上连续；（ii）在开区间( , )a b内可导，且( )0g x，则在开区间( , )a b内至少存在一点，使得 ( )( )( )( )( )( )f bf af cg bg ag c。

当( )g xx时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 2．．泰勒（泰勒（Taylor）定理）定理（1）带有皮亚诺（Peano）余型的泰勒公式设函数( )f x在含有0x的开区间( , )a b具有n阶导数，则对( , )a b内任意一点x，有 2( )00000000011( )()()()()()()()[() ],2!!nnnf xf xfxxxfxxxfxxxo xxxxn （2）带有拉格朗日余型的泰勒公式设函数( )f x在含有0x的开区间具有(1)n阶导数，则对内任意一点x，有 2( )000000011( )()()()()()()()( )2!!nnnf xf xfxxxfxxxfxxxR xn cc),(ba),(ba三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 11 - 其中(1)101( )( )()(1)!nnnR xfxxn，是介于x与0x之间的某一点（3）麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）公式）公式 ①定义：当00x 时，以上两个公式称为麦克劳林公式，即 2( )11( )(0)(0)(0)(0)()2!!nnnf xffxfxfxo xn，0x 2( )(1)1111( )(0)(0)(0)(0)() (01)2!!(1)!nnnnf xffxfxfxfx xnn，0x ②常用的麦克劳林公式： 211e1()2!!xnnxxxo xn ，0x 35212211( 1)sin()3!5!(21)!kkkxxxxxo xk，0x 2422111( 1)cos1()2!4!(2 )!kkkxxxxo xk ，0x 2(1)(1)(1)(1)1()2!!nnnxxxxo xn   ，0x 12311( 1)ln(1)()2!3!!nnnxxxxxo xn，0x 3．．洛必达（洛必达（L’Hô pital）法则）法则（1）00型：设( )f x，( )g x在0x的某去心邻域内可导，( )0g x，若00lim( )lim ( )0xxxxf xg x，且0( )lim( )xxfxg x存在或为，则有：00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x （2）型：设( )f x，( )g x在0x的某去心邻域内可导，( )0g x，若0l i m ( )xxf x，0lim ( )xxg x，且0( )lim( )xxfxg x存在或为，则有：00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 注注：以上0xx的极限过程改为00xx，00xx，x，x时，公式仍然成立。

（四）导数及微分的应用（四）导数及微分的应用 1．微分在近似计算中的应用．微分在近似计算中的应用 ①函数值近似值的估算：0x附近的点x处的函数值000( )( )()()()f xL xf xfxxx 一般地，当x较小时，有e1xx ，ln(1)xx，1+1 ()nxxnn 是正整数 ②误差的估计：绝对误差00()() ()yfxxfxx 其中，相对误差00() ()()fxyxyf x 其中 2．利用导数研究函数及平面曲线的性态．利用导数研究函数及平面曲线的性态（1）函数单调性的判断三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 12 - 设( )f x在[ , ]a b上连续，在( , )a b内可导，且( )0fx（0），则( )f x在[ , ]a b上严格递增（递减）注：若将( )0fx（0）改为( )0fx（0），且使( )0fx的点（驻点）只有有限个，则结论变为( )f x在[ , ]a b上单调递增（递减）（2）函数极值的判断 ①判断极值的第一充分条件设( )f x在0x的某邻域00(,)xx内连续，0x是( )f x的驻点或不可导点，在00(,)xx和00(,)xx内( )f x均可导，则：（i）若在00(,)xx内( )0fx（0），而在00(,)xx内( )0fx（0），则( )f x在0x处取得极小值（极大值）；（ii）若在00(,)xx和00(,)xx内( )fx不改变符号，则( )f x在0x处不取得极值。

②判断极值的第二充分条件设( )f x在0x处一阶导数( )0fx，二阶导数( )fx存在且不为零，则( )0fx（0）时，( )f x在0x处取得极小值（极大值）（3）曲线凹凸性的判断 ①( )f x在区间I上可导，则曲线( )yf x在I上是凹（凸）弧的充分必要条件是( )fx在I上严格单调递增（减） ②若( )f x在区间I上( )0fx（0）时，则曲线( )yf x在I上是凹（凸）弧 ③在连续曲线上，凹凸部分的分界点称为曲线的拐点在拐点处，( )fx为零或不存在（4）曲线的渐近线 ①若lim ( )xaf x，0lim( )xaf x 或0lim( )xaf x ，则xa是曲线( )yf x的垂直渐近线 ②若lim( )xf xA或lim( )xf xB，则yA或yB是曲线( )yf x的水平渐近线 ③若( )limxf xax，且l i m [ ()]xf xa xb，则y a x b是曲线( )yf x的斜渐近线（极限过程也可以是x或x） 3．平面曲线的曲率．平面曲线的曲率（1）弧微分设( )yf x是平面内的光滑曲线，则弧微分2d1dsyx 若曲线方程为( )( )xtyt，则弧微分22d[ ( )][( )] dsttt （2）曲率 ①定义：M和N是曲线上不同的两电，弧MN长Δs，当M沿曲线到达N时，M处的切线所转过的角为Δ，则极限Δ0ΔlimΔsKs为该曲线在点M处的曲率。

三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 13 - ②曲率计算公式 i．若曲线方程为( )yf x，则23 2(1)yKy ii．若曲线方程为( )( )xtyt，则223 2( )( )( )( ){[( )][( )] }ttttKtt iii．平均曲率：Ks iv．曲率半径：1 (0)RKK ③直线：0K ；半径为a的圆：1Ka 四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 14 - 四、一元函数积分学四、一元函数积分学（一）不定积分（一）不定积分 1．基本概念与性质．基本概念与性质（1）原函数 ①设函数( )f x在区间I上有定义，若存在函数( )F x，使得在I上处处有( )( )F xf x或d( )( )dF xf xx，则称( )F x为( )f x在区间I上的一个原函数 ②若( )F x是( )f x在区间I上的一个原函数，则( )F xC也是( )f x在区间I上的原函数（其中C为任意常数），且( )f x的任何原函数都可以表成( )F xC的形式（即( )f x的任意两个原函数只相差一个常数）。

（2）不定积分 ①函数( )f x在区间I上的原函数的全体称为( )f x在区间I上的不定积分，记作( )df xx ②若( )F x是( )f x在区间I上的一个原函数，则在区间I上有( )d( )f xxF xC注意：在求不定积分时，求出一个原函数( )F x后，一定要加上一个任意常数C （3）基本性质 ①d( )d( )df xxf xx ②d( )( )F xF xC ③1 1221122[( )( )]d( )d( )dk f xk fxxkf xxkfxx 2．基本积分公式．基本积分公式 0dxC 1dlnxxCx 11d (1)1xxxC  e dexxxC 1d (0,1)lnxxaxaC aaa sin dcosx xxC  cos dsinx xxC 221dcscdcotsinxxxCx  221dsecdtancosxxxCx  121darctanarccot1xxCxCx  121darcsinarccos1xxCxCx  3．基本积分法．基本积分法 ①第一换元积分法（凑微分法）四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 15 - 设( )f u具有原函数( )F u，( )ux可导，则有 ( )( )[ ( )] ( )d[ ( )]d ( )( )d( )[ ( )]xuuxfxxxfxxf uuF uCFxC ②第二换元积分法（一般换元法）设( )xt具有连续导数，且( )0t，又设[ ( )]( )ftt具有原函数( )G t，则有 11( )( )( )d[ ( )] ( )d( )[( )]xttxf xxftttG tCGxC ③分部积分法设( )uu x，( )vv x具有连续导数，则有 ddu vuvv u 4．扩展积分公式．扩展积分公式 tan dln cosx xxC  cot dln sinx xxC 1sec ddln sectancosx xxxxCx 1csc ddln csccotsinx xxxxCx sec tan dsecxx xxC csc cot dcscxx xxC  22d1arctan (0)xxC aaxaa 22d1ln (0)2xaxC aaxaax 122darcsinarccosxxxCCaaax  2222dln (0)xxxaC axa 2222222dln (0)22xaxaxxaxxaC a 22222darcsin (0)22xaxaxxaxC aa 5．几种特殊类型函数的积分．几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分 dlnAxAxaCxa 11d (1)()1()nnAAxC nxanxa  222222222ddd 02242422 lnarctan244AxBAxpApxpxxBqxpxqxpxqppxqAppBxAxpxqCpp 四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 16 - 2222222122242ddd 0()2()2424,11d 2 1()2()nnnnnpptxaqAxBAxpApxpxxBqxpxqxpxqppxqAAptBnxpxqta 其中 2222222212222221212211222222ddd2d22()()()()()() 22()121d1 (1)arcsin2()2nnnnnnnnnnnnnttttttJntnnatatatatatatatnJna JtatnttJJnJCnatanataaa，（2）三角函数有理式的积分 2222tan2212d(sin ,cos )d,111txtttRxxxRttt （3）简单无理函数的积分 1( ,)d,dnnnntaxbtbntR xaxbxRttaa 12(),d (0),d()nnnnnnaxbtcxdaxbdtbadbc ntR xx acRttcxdactact 2222222( ,)d,d( ,)d( ,)d24bbR xaxbxcxR xa xcxR tettR ttet或（二）定积分（二）定积分 1．基本概念与性质．基本概念与性质（1）定积分的定义设函数( )f x在区间[ , ]a b上有定义，用分点0121nnaxxxxxb将[ , ]a b分成n个小区间，令1 (1,2,, )iiixxxin，在每个小区间1[,]iixx上任取一点1()iiiixx，作和数1()niiifx。

令1maxii nx ，若对于区间[ , ]a b的任意分割及点i的任意取法，极限01lim( )niiifx存在，则称此极限为( )f x从a到b的定积分，记作( )dbaf xx，即011( )dlim( )maxnbiiiai nif xxfxx ，其中（2）函数的可积性 ①必要条件：设( )f x在区间[ , ]a b上可积，则( )f x在[ , ]a b上有界 ②充分条件：四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 17 - i．设( )f x在区间[ , ]a b上连续，则( )f x在[ , ]a b上可积 ii．设( )f x在区间[ , ]a b上有界，且只有有限个间断点，则( )f x在[ , ]a b上可积 iii．设( )f x在区间[ , ]a b上单调有界，则( )f x在[ , ]a b上可积（3）基本性质 ①定积分只与被积函数和积分区域有关，与积分变量无关，即( )d( )d( )dbbbaaaf xxf ttf uu ②( )d( )dbaabf xxf xx ，( )d0aaf xx  ③dbaxba ④1 1221122[( )( )]d( )d( )dbbbaaak f xk fxxkf xxkfxx ⑤( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx ⑥定积分比较定理：设( )( )f xg x，[ , ]xa b，则( )d( )dbbaaf xxg xx i．推论 1：若( )0f x ，[ , ]xa b，则( )d0baf xx  ii．推论 2：( )d( ) dbbaaf xxf xx ⑦估值定理：设( )mf xM，[ , ]xa b，其中m，M是常数，则()( )d()bam baf xxM ba ⑧积分中值定理：若( )f x在[ , ]a b上连续，则在[ , ]a b上至少存在一点，使( )d( )()baf xxfba ⑨若( )f x在区间[ , ]a b上可积，则( )f x在区间[ , ]a b上也可积。

2．微积分基本公式．微积分基本公式 ①定理 1：设函数( )f x在区间[ , ]a b上连续，则变上限积分函数( )( )dxaxf tt在[ , ]a b上可微，且有 d( )( )d( )dxaxf ttf xx ②定理 2：若函数( )f x在[ , ]a b上连续，则函数( )( )dxaxf tt就是( )f x在[ , ]a b上的一个原函数故连续函数的原函数都是存在的 ③定理 3（微积分基本定理）：设函数( )f x在区间[ , ]a b上可积，而函数( )F x在[ , ]a b上连续，在( , )a b内可微，且( )( ) ()F xf xaxb，则有 ( )d( )( )( )bbaaf xxF xF bF a［牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式）］ 3．定积分的计算．定积分的计算（1）牛顿-莱布尼茨公式 ( )d( )( )( )bbaaf xxF xF bF a （2）换元积分法则四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 18 - 设函数( )f x在[ , ]a b上连续，且函数( )xt满足：（i）( )a ，( )b ；（ii）( ) t在[ ,] （或[ , ] ）有连续导数( ) t；（iii）当[ ,]t （或[ , ] ）时，( )[ , ]ta b，则有 ( )d[ ( )]d ( )baf xxftt （3）分部积分法则设( )u x与( )v x在区间[ , ]a b上有连续导数( )u x与( )v x，则有 ddbbbaaau vuvv u （4）变上限积分的求导设1( )x与2( )x在[ , ]a b上可微，且当axb时12( )( )xx，又函数( )f x在(,) 上连续，则 21( )2211( )d( )d(( ))( )(( ))( )dxxf ttfxxfxxx （5）几个常用公式 ①设( )f x在[, ]l l上连续，则 000, ()( )( )( )d[ ( )()]d2( )d , ()( )( )llllfxf xf xf xxf xfxxf xxfxf xf x 当，即为奇函数时当，即为偶函数时 ②设( )f x是定义在(,) 上以T为周期的连续函数，a为任意实数，则 0( )d( )da TTaf xxf xx ③ππ2200(21)!! π2(2 )!!2sindcosd(2 )!!21(21)!!nnknkkx xx xknkk，， ④设( )f x在[ , ]a b上连续，则 ( )d()dbbaaf xxf abxx ⑤设( )f x在(,) 上连续，则 ππππ220000π(sin )d(sin )dπ(sin )dπ(cos )d2xfxxfxxfxxfxx （6）定积分的近似计算 ①矩形法：011( )d()bnabaf xxyyyn ②梯形法：0111( )d[ ()]2bnnabaf xxyyyyn ③抛物线法：0242131( )d[()2()4()]3bnnnabaf xxyyyyyyyyn 4．定积分的应用．定积分的应用（1）平面图形的面积 ①由直线xa，xb，曲线( )yf x，( )yg x［( )( )f xg x］所围平面图形的面积为四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 19 - [ ( )( )]dbaSg xf xx ②由曲线1( )rr，2( )rr［12( )( )rr，］所围平面图形的面积为 22211[( )( )]d2Srr （2）平行截面面积已知的立体体积垂直于x轴的平面截立体所得的界面面积是x的连续函数( ) ()S xaxb，则的体积为 ( )dbaVS xx 特别地，由连续曲线( )yf x，直线xa，xb及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为 22π( )dπdbbaaVfxxyx （3）旋转体侧面积由连续曲线( )yf x，直线xa，xb及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体侧面积为 22π( ) 1 [( )] dbaSf xfxx （4）平面曲线弧长 ①设曲线弧由直角坐标方程( ) ()yf xaxb给出，( )f x在[ , ]a b上有一阶连续导数，则曲线弧长为 2d1 [( )] dbbaassfxx ②设曲线弧由参数方程( ) ()( )xttyt 给出，( ) t，( ) t在[ ,] 上有一阶连续导数，且22[( )][( )]0tt，则曲线弧长为 22d[( )][( )] dssttt ③设曲线弧由极坐标方程( ) ()rr给出，( )r在[ ,] 上有一阶连续导数，则曲线弧长为 22d( )[ ( )] dssrr （5）变力做功 ①质点在平行于x轴的力( )F x作用下，沿x轴从a移动到b，则( )F x所做的功为 ( )dbaWF xx ②设一容器顶部所在平面与Ox轴（铅直向下）相交于原点，液体表面与底面分别与Ox轴向截于xa， xb，垂直于Ox轴的平面截容器所得的截面面积为x的连续函数( )S x，则将容器中的液体全部抽出所做的功为 ( )dbaWgxS xx，其中为液体密度，g为重力加速度（6）液体静压力四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 20 - 设一薄板垂直放在密度为的液体里，液体表面所在平面与Ox轴（铅直向下）相交于原点，薄板的形状由连续曲线( )yf x，直线xa，xb及Ox轴围成，则静止液体对薄板的侧压力为 ( )dbaWgxf xx，其中为液体密度，g为重力加速度（7）函数的平均值设函数( )yf x在区间[ , ]a b上连续，则( )f x在[ , ]a b上的平均值为1( )dbayf xxba，均方根为21( )dbafxxba （三）广义积分（三）广义积分 1．无穷积分．无穷积分（1）无穷积分的定义设函数( )f x在区间[ ,)a 上有定义，且在该区间任一有限子区间[ ,]a A上都可积。

若当A时，积分( )dAaf xx有极限，则称( )f x在[ ,)a 上的无穷积分( )daf xx收敛，否则称之为发散在收敛的情况下，将( )dAaf xx在A时的极限值作为无穷积分的值，即( )dlim( )dAaaAf xxf xx 类似地，可以定义函数( )f x在区间(, ]a上的无穷积分为( )dlim( )daaAAf xxf xx 函数( )f x在区间(,) 上的无穷积分定义为( )d( )d( )daaf xxf xxf xx，其中a为任一实数，当等式右边两个积分都收敛时，称无穷积分( )df xx收敛，否则称之为发散（2）无穷积分收敛性的判断 ①若( )f x是[ ,)a 上的非负可积函数，则( )daf xx收敛的充分必要条件是：当[ ,)Aa时，积分( )dAaf xx有界，即对于[ ,)Aa ，0M，使( )dAaf xxM ②比较判别法：设( )f x与( )g x在[ ,)a 上有定义，在任一区间[ ,]a A上可积（[ ,)Aa），且当xXa时，有0( )( )f xg x，则（i）( )d ( )d aag xxf xx收敛收敛（ii）( )d ( )d aaf xxg xx发散发散 ③比较判别法的极限形式：设( )f x与( )g x在[ ,)a 上非负，在任一区间[ ,]a A上可积（[ ,)Aa），且( )lim( )xf xlg x，则（i）当0l 时，( )daf xx与( )dag xx同时收敛或发散四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 21 - （ii）当0l 时，( )d ( )d aag xxf xx收敛收敛（iii）当l 时，( )d ( )d aag xxf xx发散发散（3）两个特殊的无穷积分 ①, 1d, 1axx收敛发散 ②2001(21)!!(21)!!π2222ed () =(2 )!!(2 )!!121222kknxnkkkkJnkJxx nkkJnk，是正整数，，特别地200πed2xJx 2．瑕积分．瑕积分（1）瑕积分的定义设函数( )f x在有限区间[ , )a b上有定义，在区间[ ,]a b上可积（0ba），但在[, )bb上无界（点b称为瑕点）。

若当00 时，积分( )dbaf xx有极限，则称( )f x在[ , ]a b上的瑕积分( )dbaf xx收敛，否则称之为发散在收敛的情况下，将( ) dbafxx在00 时的极限值作为瑕积分的值，即0 0( )dlim( )dbbaaf xxf xx  类似地，若函数( )f x在区间( , ]a b上只在( ,]a a无界，则0 0( )dlim( )dbbaaf xxf xx  （2）无穷积分收敛性的判断 ①比较判别法：设( )f x与( )g x在[ , )a b上非负，都以b为瑕点，在任意区间[ ,]a b上可积（0ba），且当axb时，有0( )( )f xg x，则（i）( )d ( )d bbaag xxf xx收敛收敛（ii）( )d ( )d bbaaf xxg xx发散发散 ②比较判别法的极限形式：设( )f x与( )g x在[ , )a b上非负，都以b为瑕点，在任意区间[ ,]a b上可积（0ba），且0( )lim( )xbf xlg x ，则（i）当0l 时，( )dbaf xx与( )dbag xx同时收敛或发散（ii）当0l 时，( )d ( )d bbaag xxf xx收敛收敛（iii）当l 时，( )d ( )d bbaag xxf xx发散发散四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 22 - （3）两个特殊的瑕积分 ①0, 1d, 1axx收敛发散 ②函数：10( )ed (0)xxx 函数满足递推公式：(1)( ) (0)  0(1)ed1xx，1201( )ed = π2xxx 当为正整数n时，有(1)( )(1) (1)!nnnn nnn  五、向量代数与空间解析几何五、向量代数与空间解析几何 - 23 - 五、向量代数与空间解析几何五、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（一）向量代数 1．向量的线形运算．向量的线形运算（1）向量的加法与减法 ①若aAB，则aBA  ②向量a和b的加法服从平行四边形法则（或三角形法则），即若aAB，bBC，则abAC ③()abab ，abba，()()abcabc，abab （2）向量的数乘 ①aa，当0时，与a同向，当0时，与a反向 ②()()()aaa  ，()aaa，()abab 2．向量的坐标．向量的坐标（1）定义 ①向量的投影：过点A作平面P垂直于数轴u，其交点A即为A在u轴上的投影。

若A，B在u轴上的投影分别为A，B，则AB 的值AB  即AB在u轴上的投影，记为PrjuAB ②向量的夹角：向量a和b所夹的不超过π的交，称为a，b的夹角，记为( , )a b，0( , )πa b ③a的三个方向角：( , )a i，( , )a j，( , )a k （2）投影定理 ①设AB与u轴的夹角为，则PrjcosuABAB ②Prj ()PrjPrjuuuabab （3）向量的坐标 ①设向量a的起点和终点分别为1111( ,,)M x y z和2222(,,)Mxy z，则a的坐标表达式为 212121{,,} { ,,}xyzaxx yy zza a a，其中Prjxuaa，Prjyyaa，Prjzzaa ②设{ ,,}xyzaa a a，{ ,,}xyzbb b b，则 i．{,,}xxyyzzabab ab ab ii．{,,}xyzaaaa iii．222xyzaaaa iv．222cosxxxyzaaaaaa，cosyaa，coszaa，222coscoscos1 五、向量代数与空间解析几何五、向量代数与空间解析几何 - 24 - ③ 设( ,,) (1,2)iiiiM x y zi ，若线段12M M上一点( , , )M x y z分线段为1M M与2MM，且12: (0)M MMM ，则121xxx，121yyy，121zzz 3．向量的数量积、向量积与混合积．向量的数量积、向量积与混合积（1）数量积（内积） ①定义：cos( , )a ba ba b ②运算律：a bb a，()abca ba c，()()()aba bab，2a aa ③坐标表达式：设{ ,,}xyzaa a a，{ ,,}xyzbb b b，则xxyyzza ba ba ba b ④222222cos( , )xxyyzzxyzxyza ba ba ba ba ba baaabbb （2）向量积（外积） ①定义：c为a和b的向量积，记为cab，其中 sin( , )ca ba b，ca，cb，且a，b，c服从右手法则 ②几何意义：ab等于以向量a，b为边的平行四边形的面积 ③运算律：abba  ，()abcacbc，()()()ababab ④坐标表达式：设{ ,,}xyzaa a a，{ ,,}xyzbb b b，则 ,,yzxyzxxyzyzxyzxxyzijkaaaaaaabaaabbbbbbbbb （3）混合积 ①定义：()abc称为a，b，c的混合积，记为[ , , ]a b c ②几何意义：[ , , ]a b c等于以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积 ③性质：[ , , ][ , , ][ , , ]a b cb c ac a b（转换对称性），[ , , ][ , , ]a b ca c b  ④坐标表达式：[ , , ]()xyzxyzxyzaaaa b cabcbbbccc 4．向量的关系．向量的关系（1）平行 ①tRbtaab ，使或0 ( ,)0Rabab   ，使五、向量代数与空间解析几何五、向量代数与空间解析几何 - 25 - ②yxzxyzaaaabbbb ③若a，b都不是零向量，则0abab 注：彼此平行的向量称为共线的向量（2）垂直若a，b都不是零向量，则0aba b （3）三个向量的共面 ①1231231230 (,,)0, , Rabca b c  ，使共面 ②若a，b，c都不是零向量，则[ , , ]()0, , xyzxyzxyzaaaa b cabcbbba b cccc共面（二）空间平面与直线（二）空间平面与直线 1．平面方程．平面方程（1）点法式方程过点0000(,,)Mxy z，法向量为{ , , }nA B C的平面方程为000()()()0A xxB yyC zz （2）一般式方程 0A xB yC zD （3）截距式方程 1xyzabc （4）点到平面的距离设平面P过点0000(,,)Mxy z，法向量为{ , , }nA B C，方程为0AxByCzD，则点1111(,,)M x y z到平面P的距离为01111222M MnAxByCzDdnABC （5）法式方程 2220A xB yC zDABC 2．直线．直线方程方程（1）二面式方程 1111222200A xB yC zDA xB yC zD 其中，直线的方向向量111222111222{,,} {,,}0ijksA B CA B CABCABC （2）参数方程过点0000(,,)Mxy z，方向向量为{ , , }sm n p的直线方程为000 ()xxtmyytntzztp    （3）标准方程 000xxyyzzmnp 五、向量代数与空间解析几何五、向量代数与空间解析几何 - 26 - 当0m，0n，0p 时，上式表示两面方程000xxyyzznp；当0mn，0p 时，上式表示两面方程00xxyy；其余情况类似。

（4）两点式方程过点1111(,,)M x y z，2222(,,)Mxy z的直线方程为111212121xxyyzzxxyyzz （5）点到直线的距离设直线L过点0000(,,)Mxy z，方向向量为{ , , }sm n p，则点1111(,,)M x y z到直线L的距离为 01M Msds （6）两直线间的距离设两直线 (1,2)iLi 过点( ,,)iiiiM x y z，方向向量为{,,}iiiism n p，则1L与2L间的距离 i．当1L与2L平行但不重合时：1211M Msds ii．当1L与2L为异面直线时：121212()M Mssdss 3．直线、平面间的关系．直线、平面间的关系（1）直线与直线设直线 (1,2)iLi 的方向向量为{,,}iiiism n p，过点( ,,)iiiiM x y z，则 ①1L与2L的夹角即方向向量1s与2s的夹角满足：121212coscos( ,) (0)2sss ss s ②1111212222nmpLLssnmp ③1212120LLssss ④212121121212111222,()00xxyyyyL LM Mssmnpmnp共面 ⑤121212,()0L LM Mss异面（2）平面与平面设平面 (1,2)iP i 的法向量为{,,}iiiinA B C，方程为0iiiiAxB yC zD，则 ①1P与2P的夹角即法向量1n与2n的夹角满足：121212coscos( ,) (0)2n nn nn n 五、向量代数与空间解析几何五、向量代数与空间解析几何 - 27 - ②121212PPP Pss或 , 重合，1111122222ABCDPPABCD，1111122222,ABCDP PABCD重合 ③1212120PPnnnn （3）直线与平面设直线L：000xxyyzzmnp，平面P：0AxByCzD，则 ①L与P的夹角即L与L（L在P上的投影）的夹角满足：sinsin( , ) (0)2s ns ns n ②00000LPsnLPAmBnCpAxByCzD且不在上且 ③ABCLPsnmnp （4）平面束方程设平面iP：0 (1,2)iiiiAxB yC zDi，则过直线L1111222200AxB yC zDA xB yC zD的平面束方程为 111122222()0 ()AxB yC zDA xB yC zDP不含或 222211111()0 ()A xB yC zDA xB yC zDP 不含（三）空间曲面与直线（三）空间曲面与直线 1．空间曲面方程．空间曲面方程（1）一般方程 ( ,,)0F x y z （2）参数方程 ( , )( , )( , )xx u vyy u vzz u v 2．空间曲线方程．空间曲线方程（1）一般方程 12( ,, )0( ,, )0Fx y zFx y z （2）参数方程 ( )( )( )xx tyy tzz t 3．常见曲面与曲线．常见曲面与曲线（1）母线平行于z轴的柱面 ( ,)0F x y 方程中缺哪个变量，方程就代表母线平行于那个轴的柱面（2）旋转面母线为C：( , )00f y zx，绕z轴旋转所得曲面方程为五、向量代数与空间解析几何五、向量代数与空间解析几何 - 28 - 22(, )0fxyz （3）二次曲面通过适当的坐标变换，任一二次曲面的方程都可化为下列 9 类典型的形式之一： ①椭球面：2222221 ( , ,0)xyza b cabc ②椭圆抛物面：22222 ( ,0)xycz a bab ③椭圆锥面：222222 ( , ,0)xyza b cabc ④椭圆柱面：22221 ( ,0)xya bab ⑤双曲柱面：22221 ( ,0)xya bab ⑥抛物柱面：220 (0)xyaa ⑦单叶双曲面：2222221 ( , ,0)xyza b cabc ⑧双叶双曲面：2222221 ( , ,0)xyza b cabc  ⑨双曲抛物面（马鞍面）：22 (0,0)xyzpqpq 六、多元函数微分学六、多元函数微分学 - 29 - 六、多元函数微分学六、多元函数微分学（一）多元函数的基本概念（一）多元函数的基本概念 1．区域．区域 ①邻域：Oxy平面上的点000(,)Mxy的邻域222000()( , )|()()UMx yRxxyy ②平面上点集E的内点、外点与边界点： i．内点：对于点0M，0 ，使0()UME，则0M为E的内点。

ii．外点：对于点0M，0 ，使0()UME，则0M为E的外点 iii．边界点：对于点0M，对0，0()UME且0()UME，则0M为E的边界点E的全体边界点组成的集合称为E的边界，记作E ③连通集：若集合E中任意两点都可用属于E的折线连接起来，则E为连通集 ④区域与闭区域：连通的非空开集称为区域（开区域）区域与其边界组成的集合成为闭区域注：一维的区域就是开区间，一维的闭区域除闭区间外，还有[ ,)a ，(, ]b与(,)  ⑤有界集合与无界集合：对于集合E，0 ，使( )UOE，则E为有界集合，否则为无界集合 2．二元函数的极限．二元函数的极限（1）定义设函数( , )f x y在点000(,)P xy的某个邻域内（可以除去0P以及通过0P的几条曲线）有定义，若存在常数A，对于0 ，0 ，使( , )P x y满足22000()()xxyy时，( , )f x yA恒成立，则称为000( , )(,)P x yP xy时函数( , )f x y的极限，记作00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA或00lim( , )xxyyf x yA。

（2）二元函数极限的运算 ①若在000(,)P xy的某个邻域内，恒有( , )( , )( , )g x yf x yh x y，且0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )xyx yxyx yg x yh x yA，则00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA ②若( , )f x y与( , )g x y当00( , )(,)x yxy时分别有极限A与B，则( , )( , )f x yg x y，( , )( , )f x yg x y及( , )( , ) (0)f x yg x yB 当00( , )(,)x yxy时分别有极限AB，A B及A B ③若当00( , )(,)x yxy时，( , )0f x y 而( , )g x y为有界变量，则00( , )(,)lim( , )( , )0x yxyf x yg x y ④若( , )f x y在00(,)xy附近有定义且00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA，又( )F u在A附近有定义且lim( )uAF uB，则00( , )(,)lim[ ( , ]x yxyF f x yB A六、多元函数微分学六、多元函数微分学 - 30 - 3．二元函数的连续性．二元函数的连续性（1）定义：000000( , )(,)lim( , )(,)( , )(,)x yxyf x yf x yf x yx y在处连续（2）有界闭区域上连续函数的性质 ①二元初等函数在其定义域内连续。

②若函数( , )f x y在有界闭区域D上连续，则( , )f x y在D上有界，即0M，对(, ) xyD，使(, )fxyM  ③最大最小值定理：若函数( , )f x y在有界闭区域D上连续，则( , )f x y在D上达到最大值和最小值，即111222( ,),(,)P x yP xyD，对( , )x yD有1( )()f Pf P，2( )()f Pf P ④介值定理：若函数( , )f x y在区域D（不必是有界闭区域）内连续，12,P PD，且12( )()f Pf P，则对R ，12()()f Pf P，在D内至少存在一点0P使0()f P （二）偏导数与全微分（二）偏导数与全微分 1．．偏导数（或偏微商）偏导数（或偏微商）（1）偏导数的定义 ①设函数( , )zf x y在点00(,)xy的某邻域内有定义，若0000Δ0(Δ ,)(,)limΔxf xx yf x yx存在，则该极限为( , )zf x y在00(,)xy处对x的偏导数（或偏微商），记作00(,)xfxy，00(,)xzxy，00(,)xyfx，00(,)xyzx，即 000000Δ0(Δ ,)(,)(,)limΔxxf xx yf x yfx yx。

类似地，定义000000Δ0(,Δ )(,)(,)limΔyyf xyyf xyfxyy ②函数( , )zf x y在区域D的每一点( , )x y都有偏导数，则称为( , )f x y的偏导函数（简称偏导数），记作( , )xfx y，( , )xzx y，fx，zx （2）偏导数的几何意义对二元函数( , )zf x y，00(,)xfxy在几何上表示曲线0( , )zf x yyy在点0000(,,(,))xyf xy处的切线关于x轴的斜率，00( ,)yf x y在几何上表示曲线0( , )zf x yxx在点0000(,,(,))xyf xy处的切线关于y轴的斜率（3）高阶偏导数 ①二元函数( , )zf x y的高阶偏导数分别记作： 22( , )( , )xxxxxzzfx yfx yzxxxx 2( , )( , )xxyxyzzfx yfx yzx yyxy  2( , )( , )yyxyxzzfx yfx yzy xxyx  22( , )( , )yyyyyzzfx yfx yzyyyy 六、多元函数微分学六、多元函数微分学 - 31 - ②若函数( , )zf x y的两个二阶混合偏导数2zx y 与2zy x 在区域D内连续，则在区域D内有22zzx yy x  。

2．全微分．全微分（1）全微分的定义设函数(,)zfxy在点00(,)xy的某邻域内有定义，若( , )f x y在点00(,)xy的全增量0000Δ(,)(,)zfxxyyfxy  可表为ΔΔ( ) (0)zAxB yo ，其中A，B为不依赖于Δx，Δ y的常数，22()()xy ，则称ΔAxB y为( , )zf x y在点00(,)xy的全微分，记作00(,)dxyz或00d(,)f xy，即0000(,)dd (,)xyzf x yA xB y   （2）函数可微的条件 ①可微的必要条件：函数( , )zf x y在点00(,)xy处可微，则（i）( , )zf x y在点00(,)xy处连续；（ii））(, )z fxy在点00(,)xy处的两个偏微商都存在，且00(,)f xyAx，00(,)f xyBy，其中A，B为全微分定义中的常数 ②可微的充分条件：函数( , )zf x y的两个偏微商在点00(,)xy处连续，则( , )zf x y在点00(,)xy处可微。

故全微分公式又可表示为d( , )d( , )dxyzf x yxfx yy （3）全微分在近似计算中的应用 ①函数值近似值的估算：当x与y都很小时，有（i）00000000(,)( ,)( ,)( ,)xyf xx yyf x yf x yxfx yy  （ii）00000000(,)( ,)( ,)( ,)xyf xx yyf x yf x yxfx yy  ②误差的估计：用x与y分别表示x与y的最大绝对误差，则（i）函数值的最大绝对误差为0000(,)(,)zxxyyfx yfx y，（ii）最大相对误差为00000000(,)(,)(,)(,)xxyyzfxyfxyf xyf xy （三）方向导数与梯度（三）方向导数与梯度 1．方向导数（或方向微商）．方向导数（或方向微商）（1）定义设函数( , )zf x y在点000(,)P xy的某邻域内有定义，l为过0P的一条有向线段，它与x轴及y轴的正方向夹角分别为及，又设点P是l上的一个点（并位于0P的邻域内），则0(cos ,cos)PPt，即00(cos ,cos)PP xtyt。

当P沿l趋向于0P时，若极限00000(cos ,cos )(,)limtf xtytf x yt存在，六、多元函数微分学六、多元函数微分学 - 32 - 则该极限为( , )zf x y在点000(,)P xy处沿l方向的方向导数（或方向微商），记作00(,)xyfl或00(,)xyfl，即0000000(,)(cos ,cos )(,)limtxyf xtytf x yflt （2）若函数( , )zf x y在点( , )P x y处可微，则( , )zf x y在点( , )P x y处沿任一方向l的方向导数都存在，且 coscosffflxy，其中cos，cos是l的方向余弦（3）设{cos ,cos }e是l方向的单位向量，0000{ ( ,),( ,)}xygf x yfx y，则 00220000(,)cos( , )[(,)][(,)] cos( , )xyxyfg egg efx yfx yg el 2．梯度．梯度（1）定义设函数( , )zf x y的偏导数在点( , )P x y处连续，则称二维向量{ ,}xyff为( , )zf x y在点( , )P x y处的梯度，记作grad f，即grad{,}xyfffffijxy （2）性质 ①梯度的方向是使该点处的方向导数达到最大的方向 ②梯度的模式该点处的最大的方向导数 ③( , )zf x y在点( , )P x y处沿l方向的方向导数可表示为gradff el，其中{cos ,cos }e是l方向的单位向量，故有：（i）沿l的方向导数等于该点的梯度向量在l方向的投影；（ii）沿着与梯度垂直的方向的方向导数为0，即梯度与等高线垂直；（iii）沿着与梯度反方向的方向导数最小，为grad f。

（四）复合函数及隐函数的微分法（四）复合函数及隐函数的微分法 1．．复合函数的微分法复合函数的微分法（1）锁链法则 ①定理：设函数( , )uu x y和( , )vv x y的偏导数在( , )x y处连续，函数( , )zf u v的偏导数在( , )x y对应的点( , )u v处连续，则复合函数( ( , ), ( , ))zf u x y v x y在( , )x y处存在连续的偏导数，且有 zzuz vxu xv x    ，zzuzvyuyv y    ②应用 i．若( , , )zf u v w，其中( , )uu x y，( , )vv x y，( , )ww x y，则 zz uz vzwxu xv xw x     ，zzuz vzwyuyv yw y     ii．若( )zf u，其中( , )uu x y，则ddzz uxu x，ddzz uyu y 六、多元函数微分学六、多元函数微分学 - 33 - iii．若( , )zf u v，其中( )uu x，( )vv x，则ddddddzzuzvxuxvx iv．若( , , )uf x y z，其中( , )zz x y，则uffzxxz x  ，uffzyyzy   （2）一阶全微分的形式不变性 ①定理：设( , )zf u v及中间变量( , )uu x y，( , )vv x y都有连续的偏导数，则复合函数( ( , ), ( , ))zf u x y v x y在( , )x y处的全微分仍有以下形式 dddzzzuvuv ②全微分运算法则 d()dduvuv d()d ()cuc u c是常数 d()dduvv uu v 2ddd (0)uv uu vvvv d( )( )df uf uu 2．隐函数的微分法．隐函数的微分法（1）设方程( , )0F x y 确定出的函数( )yf x xyFyxF （当0Fy时）（2）设方程( , , )0F x y z 确定出的二元函数( , )zf x y xzFzxF ，yzFzyF （当0Fz时）（3）设方程租( , , )0( , , )0F x y zG x y z确定出的两个函数( )yy x与( )zz x ( ,)d( , )( ,)d( , )xzxzyzyzFFF GGGyx zF GFFxy zGG  ，( ,)d( , )( ,)d( , )yxyxyzyzFFF GGGzy xF GFFxy zGG  （当( ,)0( , )yzyzFFF GGGy z时）（4）设方程租( , , , )0( , , , )0F x y u vG x y u v确定出的两个函数( , )uu x y与( , )vv x y ( ,)( , )( ,)( , )F Gux vF Gxu v ，( ,)( , )( ,)( , )F Gvu xF Gxu v ，( ,)( , )( ,)( , )F Guy vF Gyu v ，( ,)( , )( ,)( , )F Gvu yF Gyu v （当( ,)0( , )F Gu v时） 3．二元函数的泰勒公式．二元函数的泰勒公式（1）设函数( , )zf x y在点00(,)xy的某邻域内连续，且具有三阶的连续偏导数，00(,)xh yk为此邻域内任一点，则有六、多元函数微分学六、多元函数微分学 - 34 - 2000000003001(,)(,)(,)(,)2!1 (,) (01)3!f xh ykf xyhkf xyhkf xyxyxyhkf xh ykxy 此公式称为设二元函数( , )f x y在点00(,)xy处带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式，其中记号 00(,)hkf x yxy表示00(,)xyffhkxy 200(,)hkf x yxy表示002222222(,)2xyfffhhkkxx yy  300(,)hkf xh ykxy表示00333332233223(,)33xh ykffffhh khkkxxyx yy   （五）空间曲线的切线与法平面·曲面的切平面与法线（五）空间曲线的切线与法平面·曲面的切平面与法线 1．空间曲线的切线与法平面．空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线C由参数方程( )( )( )xx tyy tzz t确定，则C在点0000000(,,)( ( ), ( ), ( ))Mxyzx ty tz t处有：（i）切向量：000{ ( ), ( ), ( )}x ty tz t （ii）切线方程：000000( )( )( )xxyyzzx ty tz t （iii）法平面方程：000000( )()( )()( )()0x txxy tyyz tzz 其中( )x t，( )y t，( )z t对t可微，且0( )x t，0( )x t，0( )x t不全为零（2）设空间曲线C由方程组( , , )0( , , )0F x y zG x y z表示，则C在点0000(,,)Mxy z处有：（i）切向量：00000( ,)( ,)( ,)grad()grad(),,( , )( , )( , )MMMF GF GF GF MG My zz xx y （ii）切线方程：000000( ,)( ,)( ,)( , )( , )( , )MMMxxyyzzF GF GF Gy zz xx y （iii）法平面方程：000000( ,)( ,)( ,)()()()0( , )( , )( , )MMMF GF GF Gxxyyzzy zz xx y 其中( , , )F x y z，( , , )G x y z在0M处有连续的偏导数，且00grad()grad()0F MG M 六、多元函数微分学六、多元函数微分学 - 35 - 2．曲面的切平面与法线．曲面的切平面与法线（1）设区面S由方程( , , )0F x y z 确定，则S在点0000(,,)Mxy z处有：（i）法向量：000000000{( ,,),( ,,),( ,,)}xyznF x y zF x y zF x y z （ii）切平面方程：000000000000( ,,)()( ,,)()( ,,)()0xyzF x y zxxF x y zyyF x y zzz （iii）法线方称：000000000000(,,)(,,)(,,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz 其中xF，yF，zF在0M处连续，且不全为零（2）设区面S由方程( , )zf x y确定，则S在点0000(,,)Mxy z处有：（i）法向量：0000{ ( ,),( ,), 1}xynf x yfx y （ii）切平面方程：0000000( ,)()( ,)()()0xyf x yxxf x yyyzz （iii）法线方称：0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy （六）多元函数微分学在极值问题中的应用（六）多元函数微分学在极值问题中的应用 1．二元函数的极值．二元函数的极值（1）极值存在的必要条件设函数( , )zf x y在点00(,)xy处有极值，且偏导数存在，则必有0000(,)0(,)0xyfxyfxy。

满足方程组( , )0( , )0xyfx yfx y的点( , )x y称为( , )zf x y的驻点（或平衡点）（2）极值存在的充分条件设函数( , )zf x y在定义域内一个驻点00(,)xy处有二阶连续偏导数，记00(,)xxfxyA，00( ,)xyfx yB，00( ,)yyfx yC，2ACB ，则（i）当0 时，( , )f x y在00(,)xy处取得极值，0A时取得极小值，0A时取得极大值（ii）当0 时，( , )f x y在00(,)xy处无极值（iii）当0 时，不能确定( , )f x y在00(,)xy处是否取得极值，需另作讨论 2．条件极值问题．条件极值问题（1）将条件极值化为普通极值从条件方程( , )0x y中解出( )yg x，代入函数( , )zf x y，则求条件极值化为求( , ( ))zf x g x普通极值（2）拉格朗日乘子法求n元函数12( ,,,)nzf x xx在 ()m mn个给出的附加条件112(,,,)0nx xx，212( ,,,)0nx xx，，六、多元函数微分学六、多元函数微分学 - 36 - 12( ,,,)0mnx xx下可能取条件极值的点时，应用拉格朗日乘子法：（i）构造辅助函数1211122( ,,,,,)nmmmF x xxf   （ii）写出12,,,nx xx与12,,,m 所应满足的方程组 121211111121211211200( ,,,)0( ,,,)0mmmmnnnnnnmnmFfxxxxxFfxxxxxFx xxFx xx （iii）由此nm个方程联立得方程组中解出nm个未知数1212,,,;,,,nmx xx ，其中点12( ,,,)nx xx就是可能取极值的点。

3．用最小二乘法求经验公式．用最小二乘法求经验公式对于变量x，y的n对给定值1122(,), (,),, (,)nnx yxyxy，确定经验公式yaxb使误差的平方和21()niiiuaxby最小，即最小二乘法可求得经验公式中的系数a，b分别为 1122211()()()nniiiiiinniiiix ynx yxxyyaxnxxxbyax ，其中1111niiniixxnyyn 七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 37 - 七、多元函数积分学七、多元函数积分学（一）二重积分（一）二重积分 1．基本概念与性质．基本概念与性质（1）二重积分的定义设D是Oxy平面上的有界闭区域，函数( , )zf x y定义在D上用有限条曲线任意分D为n个小区域12,,,n，同时以i表示对应区域的面积，在 (1,2,, )iin上任取一点(,)iix y，作和式1(,)niiiif xy 令为n个小区域的最大直径，若极限01lim( ,)niiiif x y存在，则称此极限为( , )zf x y在D上的二重积分，记作( , )dDf x y，即01( , )dlim( ,)niiiiDf x yf x y。

（2）二重积分的可积性 ①在有界闭区域D上可积的函数( , )f x y必是D上的有界函数 ②有界闭区域D上的连续函数或分片连续函数( , )f x y在D上可积（3）基本性质 ①1 122112212[( , )( , )]d( , )d( , )d ( ,)DDDk f x yk fx ykf x ykfx yk k为常数 ②若12DDD，且12=DD，则12( , )d( , )d+( , )dDDDf x yf x yf x y ③dD，其中为区域D的面积 ④若( , )( , )f x yg x y，( , )x yD，则( , )d( , )dDDf x yg x y ⑤( , )d( , ) dDDf x yf x y ⑥设m与M是( , )f x y在闭区域D上的最小值与最大值，为区域D的面积，则( , )dDmf x yM ⑦二重积分的中值定理：若函数( , )f x y在有界闭区域D上连续，为区域D的面积，则至少存在一点00(,)xyD，使得00( , )d(,)Df x yf x y 2．二重积分的计算．二重积分的计算（1）利用直角坐标计算二重积分 21( )( )( , )dd( , )dbxaxDf x yxf x yy，12:,( )( )D axbxyx 21( )( )( , )dd( , )ddycyDf x yyf x yx，12:( )( ),Dyxy cyd （2）利用极坐标计算二重积分七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 38 - 在极坐标变换cosxr，sinyr下，有( , )d( cos , sin ) d dDDf x yf rrr r ①极点O在区域D之外： 21( )( )( , )dd( cos , sin ) drrDf x yf rrr r，12:, ( )( )Drrr ②极点O在区域D内： 2π( )00( , )dd( cos , sin ) drDf x yf rrr r，:02π,0( )Drr （3）利用平移变换计算二重积分在平移变换uxa，vyb下，有 ( , )d( , )d d(,)d dDDDf x yf x yxyf ua vbu v 其中{( , )|(,)}Du vua vbD （4）二重积分的一般变量替换公式设函数( , )f x y在有界闭区域D上连续，若变换( , )( , )xx u vyy u v满足下列三个条件：（i）将uv平面上的区域D，一一对应地变为xy平面上的D （ii）变换函数( , )x u v，( , )y u v在D上连续，且有连续的一阶偏导数（iii）雅可比行列式( , )( , )0 (( , ))( , )uvuvxxx yJ u vu vDyyu v 则有换元公式 ( , )d( ( , ), ( , ))( , ) d dDDf x yf x u v y u vJ u vu v 保证上述换元公式成立的条件可以放宽：条件（ii）可放宽为变换函数及其偏导数在D上分片连续；条件（i）（iii）可放宽为允许在个别点或个别曲线上不满足。

（5）利用对称性简化计算 i．当区域D关于x轴对称时，有 10, ( , )( , )d2( , )d, ( , )DDf x yyf x yf x yf x yy是的奇函数是的偶函数其中区域1D是D在上半平面或下半平面的部分 ii．当区域D关于y轴对称时，有 10, ( , )( , )d2( , )d, ( , )DDf x yxf x yf x yf x yx是的奇函数是的偶函数其中区域1D是D在左半平面或右半平面的部分 iii．当区域D关于x轴，y轴都对称时，有七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 39 - 10, ( , )( , )d4( , )d, ( , )DDf x yxyf x yf x yf x yxy是的奇函数是的偶函数或或和和其中区域1D是D在任一阁象限中的部分 3．二重积分的应用．二重积分的应用（1）平面图形的面积 Oxy平面上区域D的面积为 212121( )2112( )( )2112( )( )222112( )dd[( )( )]d :,( )( )ddd[( )( )]d :( )( ),1dd[( )( )]d :, ( )( )2bxbaxadydcycDrrxyxxxD axbxyxSyxyyyDyxy cydr rrrDrrr （2）曲面面积设曲面S由函数( , )zf x y确定，D为S在Oxy平面上的投影区域，( , )f x y在D上有一阶连续偏导数，则曲面面积 221dxyDSff （3）平面薄片的重心设平面薄片在Oxy平面上占有闭区域D，点( , )x y处的面密度( , )x y在D上连续，则薄片重心坐标为 11( , )( , )d ,( , )dDDx yxx yyx yMM，其中( , )dDMx y 特别地，若( , )x y常数，则11( , )d ,dDDx yxy，其中为区域D的面积（4）平面薄片的转动惯量 2( , )dxDIyx y，2( , )dyDIxx y，22() ( , )dODIxyx y （5）平面薄片对质点的引力薄片对位于z轴上一质量为0m的质点0(0,0, )Ma的引力 000222 3 2222 3 2222 3 2( , )( , )( , ){,,}d ,d ,d()()()xyzDDDxx yyx yax yFF F FGmGmGmxyaxyaxya （二）三重积分（二）三重积分 1．基本概念与性质．基本概念与性质（1）三重积分的定义七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 40 - 设是空间有界闭区域，函数( , , )uf x y z定义在上，任意分为n块小区域：12,,,nvvv，同时以iv表示对应区域的面积，在 (1,2,, )ivin上任取一点( ,,)iiix y z，作和式1( ,,)niiiiif x y zv。

令v为n块小区域的最大直径，若极限01lim( ,,)niiiivif x y zv存在，则称此极限为( , , )uf x y z在上的三重积分，记作( , , )df x y zv，即01( , , )dlim( ,,)niiiivif x y zvf x y zv （2）三重积分的可积性三重积分存在的必要条件和充分条件与二重积分类似（3）基本性质三重积分存在的性质与二重积分类似，例如中值定理：若函数( , , )f x y z在空间有界闭区域上连续，V为空间区域的体积，则至少存在一点000(,,)xyz，使得000( , , )d(,,)f x y zvf x y zV 2．三重积分的计算．三重积分的计算（1）利用直角坐标计算三重积分 ①设是以曲面1( , )zz x y为下底，2( , ) zzx y（当( , )x yD时，21( , )( , )zx yz x y）为上顶的正柱体，其在Oxy平面上的垂直投影为区域D，则 21( , )( , )( , , )d( , , )dd dzx yzx yDf x y zvf x y zzxy  ②设界于平面za与zb（ab）之间，且对0[ , ]za b，平面0zz与交于平面区域0()D z，则 ( )( , , )dd( , , )d dbaD zf x y zvzf x y zxy （2）利用柱坐标计算三重积分在柱坐标变换cosxr，sinyr，zz下，有( , , )d( cos , sin , ) d d df x y zvf rrz r rz，其中{( , , )| ( cos , sin , )}rzrrz ，dd d dvr rz是体积元素。

常见以下情况： ①设与“ （1）①”中相同，其下底、上顶分别可用极坐标方程表为1( , )zz r，2( , )zz r，则 21( , )( , )( , , )d( cos , sin , )dd dzrzrDf x y zvf rrzz r r  ②设界于半平面与（）之间，且对0[ ,] ，半平面0与交于0()D，则 ( )( , , )dd( cos , sin , ) d dDf x y zvf rrz rrz （3）利用球坐标计算三重积分在球坐标变换sincosx，sinsiny，cosz下，有七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 41 - 2( , , )d( sincos ,sinsin ,cos )sindd df x y zvf      ，其中{( , , )|( sincos ,sinsin ,cos )}     ，2dsindddv  是体积元素。

常见以下情况： ①设与“ （2）②”中相同，则 2( )( , , )dd( sincos ,sinsin ,cos )sinddDf x y zvf     ②设的边界由平面1，2（12），圆锥面1，2（12）及曲面1( ,)  ，2( , )  （当12，12时，12( , )( , )    ）围成，则 222111( , )2( , )( , , )ddd( sincos ,sinsin ,cos )sindf x y zvf       （4）利用平移变换计算三重积分在平移变换uxa，vyb，wzc下，有 ( , , )d(,,)d d df x y zvf ua vb wcu v w 其中{( , , )|(,,)}u v wua vb wc  （5）三重积分的一般变量替换公式设函数( , , )f x y z在有界闭区域上连续，若变换( , , )( , , )( , , )xx u v wyy u v wzz u v w满足下列三个条件：（i）将uvw空间中的区域，一一对应地变为 （ii）变换函数( , , )x u v w，( , , )y u v w，( , , )z u v w在上连续，且有连续的一阶偏导数（iii）雅可比行列式( , , )( , , )0 (( , , ))( , , )uvwuvwuvwxxxx y zJ u v wyyyu v wu v wzzz 则有换元公式 ( , , )d( ( , , ), ( , , ), ( , , ))( , , ) d d df x y xvf x u v w y u v w z u v wJ u v wu v w 与二重积分的变量替换公式类似，上述条件也可以放宽。

（6）利用对称性简化计算当区域关于坐标平面Oxy对称时，有 10, ( , , )( , ,)( , , )( , , )d2( , , )d , ( , , )( , ,)( , , )f x y zzf x yzf x y zf x y zvf x y zvf x y zzf x yzf x y z 是的奇函数,即是的偶函数,即其中区域1是在Oxy平面上方或下方的部分当区域关于其他坐标平面对称时，有类似结论 3．三重积分的应用．三重积分的应用（1）物体的质心七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 42 - 设物体占有空间域，点( , , )x y z处的密度( , , )x y z在上连续，则物体的质心坐标为 111( , , )( , , )d ,( , , )d ,( , , )dx y zxx y zvyx y zvzx y zvMMM，其中( , , )dMx y zv 特别地，若( , , )x y z常数，则111( , , )d ,d ,dx y zx vy vz vVVV，其中V为区域的体积（2）物体的转动惯量 22() ( , , )dxIyzx y zv，2( , , )dxyIzx y zv，222() ( , , )dOIxyzx y zv （3）物体对质点的引力物体对外一质量为0m的质点0(0,0, )Ma的引力 000000333( , , )()( , , )()( , , )(){,,}d ,d ,dxyzx y z xxx y z xxx y z yyFF F FGmv Gmv Gmvrrr 其中222000()()()rxxyyzz （三）第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）（三）第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 1．基本概念与性质．基本概念与性质（1）第一型曲线积分的定义设函数( , )f x y定义在Oxy平面上分段光滑的曲线段C上。

任意分C为n段，第i段长为is，在第i段上任取一点( ,)ii ，作和1(,)niiiifs 令s为最大弧长，若极限01lim(,)niiisifs  存在，则称此极限为( , )f x y沿曲线C的第一型曲线积分（或对弧长的曲线积分），记作( , )dCf x ys （2）第一型曲线积分的可积性 ①函数( , )f x y在C上可积，则( , )f x y在C上有界 ②函数( , )f x y在C上连续（或有界并分段连续），则( , )f x y在C上可积（3）基本性质 ①[( , )( , )]d( , )d( , )d,CCCaf x ybg x ysaf x ysbg x ysa b，其中为任意常数 ②1212( , )d( , )d( , )d,CCCf x ysf x ysf x ysCC C，其中由连接组成 ③第一型曲线积分与积分路径的方向无关七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 43 - 2．第一型曲线积分的计算．第一型曲线积分的计算 ①设曲线C的参数方程为( ) ()( )xttyt ，且( ) t，( ) t在[ ,] 上连续，22[( )][( )]0tt，( , )f x y在C上连续，则 22( , )d( ( ),( )) [( )][( )] dCf x ysfttttt ②设曲线C由方程( ) ()yy xaxb确定，则 2( , )d( , ( )) 1 [( )] dbCaf x ysf x y xy xx ③设曲线C由方程( ) ()rrx确定，则 22( , )d( ( )cos , ( )sin )( )[ ( )] dCf x ysf rrrr ④设空间曲线C的参数方程为( )xt，( )yt，( )zt()t ，且( ) t，( ) t，( ) t在[ ,] 上连续，222[( )][( )][( )]0ttt，( , , )f x y z在C上连续，则 222( , , )d( ( ),( ),( )) [( )][( )][( )] dCf x y zsfttttttt 3．第一型曲线积分的应用．第一型曲线积分的应用（1）质心坐标设曲线形物体占有Oxy平面上的弧段C，点( , )x y处的线密度( , )x y在C上连续，则物体的质心坐标为 11( , )( , )d ,( , )dCCx yxx ysyx ysMM，其中( , )dCMx ys 特别地，若( , )x y常数，则11( , )d ,dCCx yx sysSS，其中S为C的弧长（2）转动惯量 2( , )dxCIyx ys，22() ( , )dOCIxyx ys （四）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）（四）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 1．基本概念与性质．基本概念与性质（1）第二型曲线积分的定义设向量函数( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j定义在Oxy平面上分段光滑的有向曲线段C上，C以A为起点，B为终点，记作AB。

设AB上的点( ,) (0,1,, )iiiM x yin由A到B将AB任意分为n段，在小弧1iiMM上任取一点(,)ii ，作和111( ,)[ ( ,)( ,)]nniiiiiiiiiiiiFMMPxQy   令s为最大弧长，若极限七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 44 - 10011lim( ,)lim[ ( ,)( ,)]nniiiiiiiiiissiiFMMPxQy     存在，则称此极限为( , )F x y沿曲线C从A到B的第二型曲线积分（或对坐标的曲线积分），记作( , ) dABF x ys或( , )d( , )dABP x yxQ x yy （2）第二型曲线积分的可积性第二型曲线积分存在的必要条件和充分条件与第一型曲线积分类似（3）基本性质设dABFs与dABGs存在，则 ①[] ddd,ABABABaFbGsaFsbGsa b，其中为任意常数 ②曲线AB上一点C将AB分为AC与CB，则dddABACCBFsFsFs ③第二型曲线积分与积分路径的方向有关，有ddBAABFsFs  （4）应用设质点在力( , )( , )( , )xyF x yF x y iF x y j作用下，沿平面曲线C从A点移动到B点，其中xF，yF在C上连续，则质点在移动过程中F所做的功为( , )d( , )dxyABWF x yxF x yy 2．第二型曲线积分的计算．第二型曲线积分的计算 ①设曲线C的参数方程为( )( )xtyt，当t单调地从变到时，点( , )( ( ),( ))x ytt沿C从A变到B（不一定！），又( ) t，( ) t在，间连续，22[( )][( )]0tt，F在AB上连续，即P，Q在AB上连续，则 ddd[ ( ( ),( ))( )( ( ),( ))( )]dABABFsPxQyPtttQtttt ②特别地，若AB方程为( )yy x，其中x由a到b变化，或AB方程为( )xx y，其中y由c到d变化，则 dd[ ( , ( ))( , ( ))( )]dbABaPxQyP x y xQ x y x y xx 或dd[ ( ( ), ) ( )( ( ), )]ddABcPxQyP x yy x yQ x yyy ③类似地，对于空间向量函数( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k，若空间曲线弧AB的参数方程为( )xt，( )yt，( )zt，与分别对应A与B，则 ddd[ ( ( ),( ),( ))( )( ( ),( ),( ))( )( ( ),( ),( ))( )]dABPxQyRzPttttQttttRttttt 七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 45 - 3．两类曲线积分之间的关系．两类曲线积分之间的关系设AB是分段光滑曲线，则两类曲线积分有如下关系： ddd( coscoscos )dABABP xQyR zPQRs即d =dABABFsFs 其中{cos ,cos ,cos }是曲线弧AB上任一点( , )x y处从A到B方向的单位切向量，第二型曲线积分的积分路径改变时，右端第一型曲线积分中三个方向余弦都变号。

4．格林（．格林（Green）公式及其应用）公式及其应用（1）边界曲线的方向设有界闭区域D的边界是区线C，边界曲线C的正向规定为这样的方向，使得沿C的这个方向前进时区域D总在左侧则一般外边界的正向使反时针方向，而内边界的正向是顺时针方向（2）格林公式 ①格林公式：设有界闭区域D的边界曲线C分段光滑，函数( , )P x y，( , )Q x y在D内有一阶连续偏导数，则有 ddd dCDQPP xQyxyxy，其中C是区域的正向边界 ②若取Py ，Qx，则C所围成的区域D的面积为 1dd2CSy xxy （3）平面上曲线积分与路径无关的条件设函数( , )P x y，( , )Q x y在区域D内连续，则下列三个性质等价： ①曲线积分ddABP xQy在D内与路径无关 ②对D内任一闭曲线C，dd0CP xQy ③在D内存在函数( , )uu x y，使ddduP xQy 如果再设D是单连通区域（即区域内任一闭曲线所围的区域都在该区域内），又( , )P x y，( , )Q x y在D内有一阶连续偏导数，则以下性质也与上面三个性质等价： ④在D内有等式：PQyx （4）二元函数的全微分求积 ①设( , )P x y，( , )Q x y在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则( , )d( , )dP x yxQ x yy在D内存在原函数( , )u x y的充分必要条件为PQyx在D内恒成立。

②若( , )d( , )dP x yxQ x yy在D内存在原函数( , )u x y，即存在00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy，则可选七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 46 - 取从00(,)xy到( , )x y的一条特殊积分路径求出( , )u x y通常取00(,)xy到( , )x y的折线，有 0000000( , )(,)0( ,)d( , )d( , )( , )d( , )d( , )d(, )dxyx yxyxyxyxyP x yxQ x yyu x yP x yxQ x yyP x yxQ xyy （5）保守场与势函数若向量场( , ){ ( , ),( , )}F x yP x y Q x y满足ddCP xQy在区域D内与路径无关，则称为保守场此时，ddP xQy的原函数( , )u x y称为保守场F势函数对于保守场，其第二型曲线积分的值为其势函数在终点与起点的值之差，即 1100(,)1100(,)dd(,)(,)xyxyPxQyu x yu xy （五）第一型曲面积分（对面积的曲面积分）（五）第一型曲面积分（对面积的曲面积分） 1．基本概念与性质．基本概念与性质（1）第一型曲面积分的定义设函数( , , )f x y z定义在分片光滑曲面S上。

任意分S为n小块，第i块的面积为iS，在第i块上任取一点( ,,)iiix y z，作和1( ,,)niiiiif x y zS令S为n块小曲面的最大直径，若极限01lim( ,,)niiiiSif x y zS存在，则称此极限为( , , )f x y z沿曲面S的第一型曲面积分（或对面积的曲面积分），记作( , , )dSf x y zS （2）基本性质第一型曲面积分的性质与第一型曲线积分类似 2．第一型曲面积分的计算．第一型曲面积分的计算若曲面S的方程为( , ) ( ,)zf x yx yD，且xz，yz在D上连续，( , , )f x y z在S上连续，则 22( , , )d( , , ( , )) 1dxySDf x y zSf x y z x yzz 3．第一型曲面积分的应用．第一型曲面积分的应用（1）质心坐标设曲面形物体占有曲面S，点( , , )x y z处的面密度( , , )x y z在S上连续，则物体的质心坐标为 111( , , )( , , )d ,( , , )d ,( , , )dSSSx y zxx y zSyx y zSzx y zSMMM，其中( , , )dSMx y zS 特别地，若( , )x y常数，则111( , , )d ,d ,dSSSx y zx Sy Sz SSSS，其中S为曲面S的面积（2）转动惯量七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 47 - 22() ( , , )dxSIyzx y zS，2( , , )dxySIzx y zS，222() ( , , )dOSIxyzx y zS （六）第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）（六）第二型曲面积分（对坐标的曲面积分） 1．基本概念与性质．基本概念与性质（1）定向曲面 ①一个点在曲面上运动，若不经过曲面边缘就不可能从曲面的一侧移动到另一侧，则这种能分成两侧的曲面成为双侧取面。

对于双侧取面，若取定某一侧为正向，则称为定向曲面 ②一张可以分为上、下两侧的曲面，通常取上侧为正向，即指定曲面的法方向为与z轴成锐角的方向；一张闭曲面，分为内、外侧，通常取外侧为正向（2）第二型曲面积分的定义设向量函数( , , )( , , )( , , )( , , )F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k定义在分片光滑的定向曲面S上任意分S为n小块，第i块的面积为iS，在Oyz，Ozx，Oxy平面上的有向投影分别为()iyzS，()izxS，()i xyS在第i块上任取一点( ,,)iiix y z，，作和1[ ( ,,)()( ,,)()( ,,)() ]niiiiyziiiizxiiiixyiP x y zSQ x y zSR x y zS令S为n块小曲面的最大直径，若极限01lim[ ( ,,)()( ,,)()( ,,)() ]niiiiyziiiizxiiiixySiP x y zSQ x y zSR x y zS存在，则称此极限为( , , )F x y z沿定向曲面S的第二型曲线积分（或对坐标的曲面积分），记作dSFS或d dd dd dSPy zQ z xR xy （2）基本性质第二型曲面积分的性质与第二型曲线积分类似，特别注意改变曲面S的定向时，第二型曲面积分的值改变符号，即ddSSFSFS  2．第二型曲面积分的计算．第二型曲面积分的计算 ①分别投影到Oyz，Ozx，Oxy平面时求ddSPyz，d dSQzx，d dSR xy的计算： i．设定向曲面S：( , )xx y z，( , )yzy zD，( , )x y z在yzD有连续的偏导数，( , , )P x y z在S上连续，则 dd( ( , ), , )ddyzSDPyzP x y zy zyz  （当S取前侧时公式取“”号，当S取后侧时公式取“”号）类似地有： ii．定向曲面S：( , )yy z x，( , )zxz xD d d( , ( , ), )d dzxSDQ z xQ x y z x zz x  （当S取右侧时公式取“”号，当S取左侧时公式取“”号） iii．定向曲面S：( , )zz x y，( , )xyx yD 七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 48 - d d( , , ( , ))d dxySDR xyR x y z x yxy  （当S取上侧时公式取“”号，当S取下侧时公式取“”号） ②均投影到Oxy平面时d dd dd dSPy zQ z xR xy的计算公式：设定向曲面S：( , )zz x y，( , )xyx yD，( , )z x y在xyD有连续的偏导数，P，Q，R在S连续，则 d dd dd d( , , ( , ))( , , ( , ))( , , ( , )) d dxySDzzPyzQ zxR xyP x y z x yQ x y z x yR x y z x yxyxy  （当S取上侧时公式取“”号，当S取下侧时公式取“”号）若均投影到Oyz，Ozx平面时也有类似的公式。

3．两类曲面积分之间的关系．两类曲面积分之间的关系设S是定向分片光滑曲面，则两类曲面积分有如下关系： d dd dd d( coscoscos )dSSPy zQ z xR xyPQRS即ddSSFSF n S 其中{cos ,cos ,cos }n是曲面S在( , , )x y z处的单位法向量，第二型曲面积分中S的定向改变时，右端第一型曲面积分中三个方向余弦都变号 4．高斯（．高斯（Gauss）公式·通量与散度）公式·通量与散度（1）高斯公式 ①高斯公式：设空间有界闭区域的边界曲面S分片光滑，函数( , , )P x y z，( , , )Q x y z，( , , )R x y z在上有一阶连续偏导数，则有 d dd dd ddSPQRPy zQ z xR xyvxyz，其中S表示曲面S的外侧 ②若取Px，Qy，Rz，则空间区域的体积为 1ddd dd d3SVxyzyzxzxy （2）通量与散度设向量场( , , ){ ( , , ),( , , ),( , , )}F x y zP x y z Q x y z R x y z，P，Q，R有一阶连续偏导数，则 ①通量：向量场F沿定向曲面S的通量即 dd( coscoscos )dd dd dd dSSSSFSF n SPQRSP y zQ z xR xy 其中{cos ,cos ,cos }n是曲面S上任一点( , , )x y z处的单位法向量 ②散度：向量场F在点( , , )x y z处的散度即七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 49 - divPQRFFxyz记，其中ijkxyz 为 del 算子（或 nabla 算子）散度的物理意义：00(div )div0,MFMF点处单位体积散出(若则为消失)的流体的量 ③高斯公式的向量形式 ddivdSF n SF v，其中S表示曲面S的外侧可以叙述为：向量场F通过闭区面S流出的流量等于闭区面S所围空间区域上各点处散度的总和 5．斯托克斯（．斯托克斯（Stokes）公式·环量与旋度）公式·环量与旋度（1）斯托克斯公式设分片光滑有向曲面S的边界L是分段光滑的有向闭曲线，S与L按右手法则取定相应的方向。

函数( , , )P x y z，( , , )Q x y z，( , , )R x y z在一个包含曲面S的空间区域内有一阶连续偏导数，则有 dddd dddd()dd()d d()d dLSSyzzdxxyRQPRQPPxQyRzyzzxxyyzzxxyxyzPQR 也可记为coscoscosdddddLSSijkPxQyRznSSxyzxyzPQRPQR （2）空间曲线积分与路径无关的条件设函数( , , )P x y z，( , , )Q x y z，( , , )R x y z在空间区域连续，则下列三个性质等价： ①曲线积分dddLP xQyR z在内与路径无关 ②对内任一分段光滑闭曲线C，ddd0CP xQyR z ③在内存在函数( , , )uu x y z，使dddduP xQyR z 如果再设是单连通区域，又( , , )P x y z，( , , )Q x y z，( , , )R x y z在内有一阶连续偏导数，则以下性质也与上面三个性质等价： ④在内有等式：PQyx，QRzy，RPxz或0ijkxyzPQR （3）环量与旋度设向量场( , , ){ ( , , ),( , , ),( , , )}F x y zP x y z Q x y z R x y z，P，Q，R有一阶连续偏导数，则七、多元函数积分学七、多元函数积分学 - 50 - ①环量（或环流量）：向量场F沿定向分段光滑闭曲面L的环量即 dd( coscoscos )ddddLLLLFsFsPQRsP xQyR z 其中{cos ,cos ,cos }是L上任一点( , , )x y z处指向曲线方向的单位切向量 ②旋度：向量场F在点( , , )x y z处的旋度即 rot()()()ijkRQPRQPFijkFyzzxxyxyzPQR记记 ③斯托克斯公式的向量形式 drotLSFsF ndS ④ FF向量场在内是保守场在内是无旋场（其中，无旋场即rot0F 的向量场F）八、无穷级数八、无穷级数 - 51 - 八、无穷级数八、无穷级数（一）数项级数（一）数项级数 1．数项级数的概念和性质．数项级数的概念和性质（1）基本概念 ①设{}nu是一个数列，则1231nnuuuu为一个数项级数，nu称为通项，1nnkkSu称为n部分和 ②若n时数项级数1nnu的n部分和数列{}nS有极限，则称级数1nnu收敛，极限值limnnSS称为该级数的和，即1limnnnnuSS。

若limnnS不存在，则称该级数发散（2）级数收敛的必要条件若级数1nnu收敛，则lim0nnu （3）级数的基本性质 i．加法：若级数1nnu，1nnv均收敛，则级数1()nnnuv收敛，且111()nnnnnnnuvuv ii．数乘：若级数1nnu收敛，则级数1 ()nnkuk为任意实数收敛，且11nnnnkuku iii．改变级数的任意有限项的值，级数的敛散性不变 iv．增添或去掉级数的有限项，级数的敛散性不变 v．重组：收敛级数加括号后所形成的级数仍收敛于原级数的和（4）两个重要的级数 i．等比级数（几何级数）：1, 1 (0), 1nnqaqaq收敛发散 ii．p级数：1, 11, 1pnpnp收敛发散 2．正项级数．正项级数（1）正项级数的概念与特点 ①定义：通项非负的级数称为正项级数 ②特点：正项级数1nnu的n部分和数列{}nS为单调递增数列（2）正项级数敛散性的判别 ①正项级数收敛的充分必要条件：11nnnknkuSu正项级数收敛部分和有上界 ②比较判别法比较判别法：若0N，使得当nN时，有0nnuv，则（i）11nnnnvu收敛收敛八、无穷级数八、无穷级数 - 52 - （ii）11nnnnuv发散发散这里称1nnv为1nnu的强级数，1nnu为1nnv的弱级数 ③比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式：设两个正项级数1nnu与1nnv的相应项之比有极限：limnnnulv，则（i）若0l ，1nnu与1nnv同时收敛或发散（ii）若0l ，11nnnnvu收敛收敛（iii）若l ，11nnnnvu发散发散两个常用的比较级数：等比级数1 (0)nnaqa与p级数11pnn 若以p级数11pnn为比较级数，得到比阶判别法比阶判别法：设0nu ，limpnnn u，则（i）若0 且1p ，1nnu收敛（ii）若0 且1p ，1nnu发散 ④比值判别法比值判别法（达朗贝尔（D’Alembert）判别法）：设0nu ，1limnnnuu，则（i）若1，1nnu收敛（ii）若1 （或1limnnnuu ），1nnu发散，且limnnu  （iii）若1，1nnu的敛散性无法判断 ⑤根值判别法根值判别法（柯西判别法）：设0nu ，limnnnu，则（i）若1，1nnu收敛（ii）若1 （或1limnnnuu ），1nnu发散，且limnnu  （iii）若1，1nnu的敛散性无法判断 3．交错级数．交错级数（1）定义设0nu ，称级数1( 1)nnnu为交错级数（2）莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法若交错级数1( 1)nnnu满足（i）数列{}nu单调递减，即1nnuu （ii）lim0nnu 八、无穷级数八、无穷级数 - 53 - 则该交错级数收敛，其和10Su，且余项nR的绝对值111( 1)( 1)nnknnknnkRuuu 4．任意项级数．任意项级数（1）绝对收敛与条件收敛 ①绝对收敛：若级数1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛 ②条件收敛：若级数1nnu收敛，但级数1nnu发散，则称级数1nnu条件收敛（2）任意项级数敛散性的判别若级数1nnu收敛，则级数1nnu收敛。

即绝对收敛的级数一定收敛（二）幂级数（二）幂级数 1．函数项级数的有关概念．函数项级数的有关概念（1）函数项级数设函数( ) (1,2,3,)nuxn 在D上都有定义，则称1231( )( )( )( )nnuxu xuxu x为定义在D上的一个函数项级数，( )nnx称为通项，1( )( )nnkkSxux称为部分和函数（2）收敛域设1( )nnux是定义在D上的一个函数项级数，若数项级数001() ()nnuxxD收敛，则称0x是1( )nnux的一个收敛点所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域（3）和函数设函数项级数1( )nnux的收敛域为I，则对任意xI，存在唯一的函数( )S x，使得1( )=( )nnS xux成立定义域为I的函数( )S x称为级数1( )nnux的和函数 2．幂级数的有关概念．幂级数的有关概念（1）幂级数的定义设{} (0,1,2,3)nan 是一实数列，则称形如00()nnnaxx的函数项级数为0x处的幂级数，na称为幂级数的系数00x 时的幂级数为0nnna x。

（2）幂级数的收敛半径 ①阿贝尔（Abel）定理：若幂级数0nnna x在00x 处收敛，则当0xx时，0nnna x绝对收敛 i．推论 1：若幂级数0nnna x在1x处发散，则当1xx时，0nnna x发散 ii．推论 2：若幂级数0nnna x在00x 处收敛，在1x处发散，则存在唯一的实数0R ，使得八、无穷级数八、无穷级数 - 54 - （i）当xR时，0nnna x绝对收敛（ii）当xR时，0nnna x发散 ②收敛半径：若0R （包括）满足条件：（i）当xR时，0nnna x绝对收敛；（ii）当xR时，0nnna x发散，则称R为幂级数0nnna x的收敛半径，开区间(, )R R称为0nnna x的收敛区间 i． “ （2）①”推论 2 说明，在0nnna x既有非零收敛点，又有发散点时，其收敛半径存在且唯一当0nnna x没有非零收敛点时，规定其收敛半径为0；当0nnna x没有发散点时，规定其收敛半径为 ii．由收敛半径定义可知，使得幂级数条件收敛的点只能是其收敛区间的端点，即xR 或xR （3）收敛半径的求法对于幂级数0nnna x，设1limnnnaa（其中0na ）或limnnna，则（i）若0，则1R （ii）若0，则R （iii）若，则0R  3．幂级数的性质．幂级数的性质（1）加法和乘法设幂级数0( )nnna xf x，收敛半径为1R，0( )nnnb xg x，收敛半径为2R，则幂级数0()nnnnabx与0()nnnnab x的收敛半径均为12min(,)RR R，且有 000()( )( )nnnnnnnnnnab xa xb xf xg x 000()( )( )nnnnnnnnnnab xa xb xf xg x （2）和函数的连续性幂级数0nnna x的和函数( )S x在其收敛域I上连续，即对0xI，有 000000limlimnnnnnnxxxxnnna xa xa x （3）可积性与逐项积分公式幂级数0nnna x的和函数( )S x在其收敛域I上可积，且可逐项积分，即对xI ，有 1000000( )ddd1xxxnnnnnnnnnaS xta tta ttxn 八、无穷级数八、无穷级数 - 55 - 其中，级数101nnnaxn称为0nnna x的积分级数，其收敛半径不变。

（4）可导性与逐项求导公式幂级数0nnna x的和函数( )S x在其收敛域I上任意次可导，且可逐项求导，即对xI ，有 1()000( )(),,( )(1)(1),nnnmn mnnnnnnnn mS xa ta tna xSxn nnma x 其中，级数10nnnna x称为0nnna x的一阶导级数，其收敛半径不变（5）设0( )nnnf xa x的收敛半径为R，有（i）若0nnna R收敛，则00lim( )nnxRnf xa R  （ii）若0()nnnaR收敛，则00lim( )()nnxRnf xaR （6）幂级数在收敛区间内是绝对收敛的 4．函数的幂级数展开．函数的幂级数展开（1）基本概念设函数( )f x在区间D上有定义，对于0xD，若存在幂级数00()( )nnnaxxf x对xD 都成立，则称( )f x在区间D上能展开成0x处的幂级数，并称级数00()nnnaxx为( )f x的幂级数展开式。

由幂级数的性质，若( )f x在区间D上能展开成0x处的幂级数，则( )f x在区间D上任意次可导（2）展开形式的唯一性·泰勒级数与麦克劳林级数 ①泰勒级数：若( )f x在区间D上能展开成0x处的幂级数，则此幂级数必是( )f x的泰勒级数，即 ( )( )20000000000()()()()()()()()()2!!!nnnnnfxfxfxf xfxxxxxxxxxnn 其中，( )0() (0,1,2,)!nnfxann称为( )f x在0x处的泰勒系数 ②麦克劳林级数：00x 处的泰勒级数( )0(0)!nnnfxn称为函数( )f x的麦克劳林级数 ③函数展开成泰勒级数的充要条件：即函数( )f x在0xD处的泰勒级数在D上收敛到( )f x的充分必要条件是：( )f x在D上有任意阶导数，且在0x处的泰勒公式( )000()( )()( )!knknkfxf xxxR xn的余项( )nRx收敛到零，即对xD ，都有( )10( )lim( )lim()0 (0)(1)!nnnnnfR xxxxn其中在与之间。

④函数( )f x在0xD处的泰勒级数在D上收敛到( )f x的一个充分条件：( )f x的各阶导数( )( )nfx在D上一致有界，即0M，使得( )( )nfxM对nN 及xD 都成立八、无穷级数八、无穷级数 - 56 - （3）一些常见函数的幂级数展开式利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，可以将函数在某个区间上展开成指定点的泰勒级数 ①一些常见函数的麦克劳林级数展开式： 01e!xnnxn，(,)x   11( 1)ln(1)!nnnxxn，( 1,1)x  210( 1)sin(21)!nnnxxn，(,)x   20( 1)cos(2 )!nnnxxn，(,)x   0(1)(1)(1)!nnnxxn ，其中，当1时，( 1,1)x ；当10时，( 1,1]x ；当0时，[ 1,1]x 特别地，当1时，有 01( 1)1nnnxx，( 1,1)x  ②欧拉公式：iecosisinxxx，iieecos2xxx，iieesin2ixxx 对于复变量izxy，仍有01e!znnzn，则i2210001( 1)( 1)e(i )icosisin!(2 )!(21)!nnxnnnnnnxxxxxnnn （三）傅里叶级数（傅氏级数）（三）傅里叶级数（傅氏级数） 1．三角函数系的正交性．三角函数系的正交性 ①有公共周期2π的三角函数系：1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,,cos,sin,xxxxnxnx称为基本三角函数系。

②基本三角函数系中任意两个不同函数的乘积在区间[ π,π]上的积分为零，即 ππππππ1 cosd1 sindcossind0 ( ,1,2,)nxxnxxmxnxxm n ππππcoscosdsinsind0 ( ,1,2,)mxnxxmxnxxm nmn且具有上述性质的三角函数系称为[ π,π]上的正交函数系（将积分( ) ( )dbaf x g xx看作函数f与g的内积） ③推广地，三角函数系ππ2π2πππ1,cos,sin,cos,sin,,cos,sin,nnxxxxxxllllll是在[, ]l l上的正交函数系，即其中任意两个不同函数的乘积在区间[, ]l l上的积分为零 2．周期为．周期为 2π 的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数（1）概念设函数( )f x是周期为2π的周期函数，且在[ π,π]上可积，则称 ππ1( )cosd (0,1,2,)πnaf xnx x n ππ1( )sind (1,2,)πnbf xnx x n 八、无穷级数八、无穷级数 - 57 - 为( )f x的以2π为周期的傅里叶系数，称以傅里叶系数为系数构成的三角函数级数 01(cossin)2nnnaanxbnx 为( )f x的以2π为周期的傅里叶级数。

记作 01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx 注：根据周期函数的性质，+2π1( )cosdπnaf xnx x，+2π1( )sindπnbf xnx x （2）奇、偶函数的傅里叶级数设函数( )f x以2π为周期，在[ π,π]上可积，则 ①若( )f x在[ π,π]上为奇函数，则 0 (0,1,2,)nan π02( )sind (1,2,)πnbf xnx x n， 1( )sinnnf xbnx 此时( )f x的以2π为周期的傅里叶级数只含正弦项，称为正弦级数 ②若( )f x在[ π,π]上为偶函数，则 π02( )cosd (0,1,2,)πnaf xnx x n 0 (1,2,)nbn 01( )cos2nnaf xanx 此时( )f x的以2π为周期的傅里叶级数只含余弦项，称为余弦级数（3）傅里叶级数的收敛性狄利克雷（Dirichlet）收敛定理：设( )f x是周期为2π的可积函数，且在[ π,π]上满足狄利克雷条件，即( )f x在[ π,π]上分段连续（即只有有限个第一类间断点）且分段单调（即只有有限个单调区间），则( )f x的以2π为周期的傅里叶级数在任意一点x处均收敛，且有 01( ), ( )( )(cossin)12[ (0)(0)], ( )2nnnf xxf xaS xanxbnxf xf xxf x为的连续点为的间断点即当( )f x在[ π,π]上满足狄利克雷条件时，在( )f x的连续点处，( )f x的傅里叶级数收敛到( )f x；在( )f x的第一类间断点处，( )f x的傅里叶级数收敛到( )f x在该点的左、右极限的平均值。

3．周期为．周期为 2l 的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数（1）概念设函数( )f x是周期为2l的周期函数，且在[, ]l l上可积，则( )f x的以2l为周期的傅里叶级数为八、无穷级数八、无穷级数 - 58 - 01ππ( )(cossin)2nnnannf xaxbxll 其中傅里叶系数 1π( )cosd (0,1,2,)lnlnaf xx x nll 1π( )sind (1,2,)lnlnbf xx x nll （2）收敛性周期为2l的傅里叶级数的收敛性结论与周期为2π的傅里叶级数类似，即：设( )f x是周期为2l的可积函数，且在[, ]l l上分段连续且分段单调，则( )f x的以2l为周期的傅里叶级数在任意一点x处均收敛，且有 01( ), ( )ππ( )(cossin)12[ (0)(0)], ( )2nnnf xxf xannS xaxbxllf xf xxf x为的连续点为的间断点 4．定义在．定义在[-l,l]或或[0,l]上的函数的傅里叶级数上的函数的傅里叶级数（1）定义在[, ]l l上的函数的傅里叶级数对于只定义在[, ]l l的函数( )f x，若( )()flf l，则将其延拓为一个2l周期函数；若()( )flf l，则忽略端点xl或xl之后，延拓为一个2l周期函数。

若( )f x在[, ]l l上满足分段连续且分段单调，则其傅里叶级数收敛和函数( )S x，有 01( ), (, ),( )ππ1( )(cossin)[ (0)(0)], (, ),( )221[ (0)(0)], 2nnnf xxl lf xannS xaxbxf xf xxl lf xllflf lxl    当且为的连续点当且为的间断点当（2）定义在[0, ] l上的函数的傅里叶级数对于只定义在[0, ] l的函数( )f x，可以有多种方式展开成三角级数，但常用的方式只有三种，即奇延拓、偶延拓、周期延拓三种延拓方式得到的三角级数展开式分别为： i．奇延拓按奇函数将( )f x延拓到[, ]l l成为奇函数( ), (0, ]( )0, 0(), [,0)f xxlF xxfxxl ，则( )F x在[, ]l l上即( )f x在[0, ] l上的傅里叶级数为一正弦级数： 1π( )sinnnnf xbxl，[0, ]xl 其中 02π( )sind (1,2,)lnnbf xx x nll ii．偶延拓八、无穷级数八、无穷级数 - 59 - 按偶函数将( )f x延拓到[, ]l l成为偶函数( ), [0, ]( )(), [,0]f xxlF xfxxl ，则( )F x在[, ]l l上即( )f x在[0, ] l上的傅里叶级数为一余弦级数： 01π( )cos2nnanf xaxl，[0, ]xl 其中 02π( )cosd (0,1,2,)lnnaf xx x nll （3）周期延拓按周期函数将( )f x延拓为l周期函数( )F x，则( )F x在(,) 上即( )f x在[0, ] l上的傅里叶级数为 012 π2 π( )(cossin)2nnnannf xaxbxll，[0, ]xl 其中 022 π( )cosd (0,1,2,)lnnaf xx x nll 022 π( )sind (1,2,)lnnbf xx x nll 5．傅里叶级数的复数形式与频谱分析．傅里叶级数的复数形式与频谱分析（1）傅里叶级数的复数形式周期为T的函数( )f x的傅里叶级数为 012π2π( )(cossin)2nnnannf xaxbxTT 其中 2222π( )cosd (0,1,2,)TTnnaf xx x nTT 2222π( )sind (1,2,)TTnnbf xx x nTT 引进圆频率2πT，则有01( )(cossin)2nnnaf xan xbn x。

应用欧拉公式iecosisin，有ii1cos(ee)2n xn xn x，ii1sin(ee)2in xn xn x，则iii+icossinee22n xn xnnnnnnababan xbn x令 002ac ，iie2n xnnnabc，+i2nnnnabcc 即得到傅里叶级数的复数形式 i( )en xnnf xc 其中八、无穷级数八、无穷级数 - 60 - i221( )ed (0, 1, 2,)Tn xTncf xx nT  （2）频谱分析设t为时间变量，函数( )f t以T为周期（代表周期信号），它可以展开成傅里叶级数 01( )(cossin)2nnnaf tan tbn t 其中222( )cosd (0,1,2,)TTnaf tn t t nT，222( )sind (1,2,)TTnbf xn t t nT 2πT为圆频率，也称基频其傅里叶级数可以改写为 01( )sin()2nnnaf tAn t 其中22nnnAab为n次谐波的振幅，arctannnnab为n次谐波的相位。

由上式可得下表频率 0  2 3 n 振幅 02a或0c 1A或1c 2A或2c 3A或3c nA或nc 此表称为( )f t的振幅频谱表把它用描点法画出（取横轴为频率，纵轴为振幅），所的图像为振幅频谱图九、常微分方程九、常微分方程 - 61 - 九、常微分方程九、常微分方程（一）一阶微分方程的解法（一）一阶微分方程的解法 1．基本类型的微分方程．基本类型的微分方程（1）变量可分离微分方程形如d( )( )dyf xg xx的一阶微分方程称为变量可分离微分方程当( )0g y 时，dd( )( )( )dd( )yyf xg xf xxxg x，方程的通解为 d( )d( )yf xxCg x，其中C为任意常数若存在某个0y，使0()0g y，则常数函数0yy也是方程的一个解（2）一阶线性微分方程形如d( )( )dyP x yQ xx的微分方程称为一阶线性微分方程 ①当( )0Q x 时，方程为d( )0dyP x yx，称为一阶线性齐次微分方程它也是一个变量可分离微分方程，用分离变量法可求出其通解 ( )d( )eP xxy xC ②当( )0Q x 时，称为一阶线性非齐次微分方程，并称( )0Q x 时的方程为其对应的齐次方程。

i．积分因子法：方程两边同乘一个已知函数( )d( )eP xxx，得 ( )d( )d( )d( )d( )ddde( )e( )ee( )eddP xxP xxP xxP xxP xxyP xyQ xyQ xxx 积分得( )d( )de( )edP xxP xxyQ xx，得到方程的通解为 ( )d( )de( )edP xxP xxyQ xxC，其中C为任意常数 ii．常数易变法：即将其对应的齐次方程d( )0dyP x yx的通解( )d( )eP xxy xC中的C替换为一个新的未知函数( )uu x，作变换 ( )d( )( )ep xxy xu x 由此得( ) d[( ) ( )]ep xxyuP x u x，将( )y x及y代入原方程，可得关于新未知函数( )u x的微分方程( )d( )ep xxuQ x，解出( )d( )( )edp xxu xQ xxC，从而得到方程的通解 ( )d( )de( )edP xxP xxyQ xxC，其中C为任意常数（3）全微分方程 ①若存在可微函数( , )u x y，使得d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy，则称方程( , )d( , )d0P x yxQ x yy为全微九、常微分方程九、常微分方程 - 62 - 分方程。

, )u x yC是全微分方程的通解，其中C为任意常数设( , )P x y，( , )Q x y具有连续的一阶偏导数，则在单连通区域内，若( , )( , )Q x yP x yxy，则( ,) d( ,) d0P x yxQ x yy为全微分方程求全微分方程( , )d( , )d0P x yxQ x yy的通解归结为求( , )d( , )dP x yxQ x yy的原函数求原函数的方法参见第七章“ （四）④” 求出其原函数( , )u x y，则得到方程的通解为 ( , )u x yC，其中C为任意常数 ②一些常用的全微分公式： ddd()xyy xxy 2dddxyyxyxx 2dddy xx yxyy ddd lny xxyxxyy 22ddd arctandarctany xxyxyxyyx 2．可化为基本类型的微分方程．可化为基本类型的微分方程（1）形如( )( )nyf x的方程利用不定积分运算直接求解。

（2）形如() (0)yg axbycb的方程令zaxbyc，于是zaby，则原方程变为 d( )dzbg zax 这是一个关于新未知函数( )z x的变量可分离微分方程（3）形如( , )yf x y的方程形如( , )yf x y的方程要求( , )f x y为齐次函数，即对参数t，有( , )(, )f t xt yf xy，此时方程称为齐次方程齐次方程总可以变为 ddyyfxx 令yzx，即yxz，于是yzxz，则原方程变为 ( )zxzf z即d1[ ( )]dzf zzxx 这是一个关于新未知函数( )z x的变量可分离微分方程（4）形如( ,)yf x y的方程这类方程的特点是不显含未知函数y 引进新的未知函数( )( )u xy x，则原方程变为 ( , )uf x u 这是关于( )uu x的一个一阶微分方程（5）方程( ,)yf y y 九、常微分方程九、常微分方程 - 63 - 这类方程的特点是不显含自变量x 引进关于变量y的新未知函数( )( ( ))u yy x y，于是22ddddddddyuuyu uxxyx，则原方程变为 ( , )u uf y u  这是一个以y为自变量，( )u y为未知函数的一阶微分方程。

（6）伯努利方程形如d( )( ) (0,1)dyP x yQ x yx的一阶微分方程称为伯努利方程（0时为一阶线性齐次微分方程，1时为一阶线性非齐次微分方程）用变换1( )z xy可把伯努利方程化为关于( )z x的线性微分方程 111d1d( )( )( )( )d1dyyP x yQ xyP x yQ xxx d(1) ( )(1) ( )dzP x zQ xx 这是一个关于新未知函数( )z x的一阶线性微分方程（7）自变量与因变量互换后化为一阶线性微分方程的情形以y为自变量，x为因变量，方程d1d( )( )yxP y xQ y就化为一阶线性微分方程d( )( )dxP y xQ yy （二）线形微分方程的概念和解的性质（二）线形微分方程的概念和解的性质 1．线性微分方程的概念．线性微分方程的概念未知函数( )y x及其各阶导数都以一次幂形式出现的微分方程 ( )(1)110( )( )( )( )( )nnnnax yax ya x yax yf x 称为n阶线性微分方程，其中( ) (0,1,2,, )kaxkn都是自变量x的函数。

当( ) (0,1,2,, )kaxkn都是常数时，又称方程为n阶线性常系数微分方程当( )0f x 时，称方程为n阶线性齐次微分方程；当( )0f x 时，称方程为n阶线性非齐次微分方程，且称( )0f x 时的方程为其对应的齐次方程 2．线性微分方程解的叠加原理．线性微分方程解的叠加原理（1）线性齐次微分方程解的叠加原理设12( ),( ),,( )my xyxyx是线性齐次微分方程( )(1)110( )( )( )( )0nnnnax yax ya x yax y的m个解，则对任意常数12,,,mC CC，1( )miiiC y x也是此微分方程的解此定理说明，线性齐次微分方程的解集合是一个线性空间（2）线性非齐次微分方程解的叠加原理 i．设( )yx是非齐次方程( )(1)110( )( )( )( )( )nnnnax yax ya x yax yf x的解，0( )yx是对应齐次方程的解，则0( )( )yxyx也是原非齐次方程的解 ii．更一般地，若函数( )yx，( )y x分别是非齐次方程( )(1)110( )( )( )( )( )nnnnax yax ya x yax yf x与( )(1)110( )( )( )( )( )nnnnax yax ya x yax yg x的解，则()()yxyx是非齐次方程( )(1)110( )( )( )( )( )( )nnnnax yax ya x yax yf xg x的解。

3．线性微分方程解的结构．线性微分方程解的结构（1）函数组的线性相关九、常微分方程九、常微分方程 - 64 - 设12( ),( ),,( )ny xyxyx是定义在I上的n个函数，若存在不全为零的n个常数12,,,nC CC使得1122( )( )( )0nnC y xC yxC yx在I上恒成立，则称这n个函数在I上线性相关，否则称之为线性无关特别地，两个函数1( )y x，2( )yx在I上线性相关的充要条件是12( )( )y xCy x在I上成立（2）线性齐次微分方程解的结构若函数12( ),( ),,( )ny xyxyx是线性齐次微分方程( )(1)110( )( )( )( )0nnnnax yax ya x yax y的n个线性无关解，则此微分方程的通解是 1122( )( )( )( )nny xC y xC yxC yx，其中12,,,nC CC是n个任意常数（3）线性非齐次微分方程解的结构若函数( )yx是线性非齐次微分方程( )(1)110( )( )( )( )( )nnnnax yax ya x yax yf x的一个特解，12( ),( ),,( )ny xyxyx是其对应的齐次方程的n个线性无关解，则非齐次微分方程的通解是 1122( )( )( )( )( )nny xyxC y xC yxC yx，其中12,,,nC CC是n个任意常数。

（三）二阶线性常系数微分方程（三）二阶线性常系数微分方程 1．二阶线性常系数齐次微分方程的解法．二阶线性常系数齐次微分方程的解法考虑方程0ypyqy，其中p，q是常数，20pq称为它的特征方程，特征方程的根1，2称为它的特征根二阶线性常系数齐次微分方程的通解与其特征根的关系如下表：特征方程20pq的根微分方程0ypyqy的通解两个不等实根1，2 1212( )eexxy xCC 一个重根 12( )()exy xCC x 共轭复根i 12( )e(cossin)xy xCxCx 高阶线性常系数齐次微分方程具有类似的特征解法 2．二阶线性常系数非齐次微分方程的解法．二阶线性常系数非齐次微分方程的解法非齐次线性方程( )ypyqyf x的通解为 1122( )( )( )( )y xyxC y xC yx 其中( )yx是非齐次方程的一个特解，1122( )( )C y xC yx是对应的齐次方程的通解齐次方程的通解的解法如上所述，故非齐次方程的通解的求解问题转变为其特解的求解。

（1）常数变异法若已知对应的齐次方程的通解为 1122( )( )C y xC yx，其中1C，2C为任意常数将1C，2C换为关于x的函数1( )C x与2( )Cx，1( )y x与2( )yx保持不变，即令 1122( )( )( )( )( )y xC x y xCx yx 为非齐次方程的通解，其中1( )C x，2( )Cx是待定函数函数1( )C x，2( )Cx的求法如下：由方程组 11221122( )( )( )( )0( )( )( )( )( )C x y xC x y xC x y xC x y xf x 解出1( )C x与2( )Cx，再积分即可求得1( )C x与2( )Cx （2）待定系数法当非齐次项( )f x是以下几类函数时，可用待定系数法求特解，其特解形式如下表：九、常微分方程九、常微分方程 - 65 - 非齐次方程的非齐次项( )f x 对应齐次方程的特征方程非齐次方程特解的形式 ( )exA x 不是根 exa 是单根 exax 是重根 2exax ( )nP x（x的n次多项式） 0不是根 ( )nQx（x的n次多项式） 0是单根 ( )nxQx 0是重根 2( )nx Qx sinAx（或cosBx） i不是根 cossinaxbx i是根 ( cossin)x axbx e [( )cos( )sin]xnmP xxPxx i不是根 e [( )cos( )sin]xkkQ xxQxx max( , )km n i是根 e [( )cos( )sin]xkkxQ xxQxx 3．欧拉（．欧拉（Euler）方程及其解法）方程及其解法形如( )1(1)1( )nnnnnx yp xyp yf x的变系数线性方程（其中12,,,np pp为常数）称为欧拉方程。

当0x时作变换etx （或lntx），将自变量x变为t，欧拉方程就化成线性常系数微分方程特别当2n时，即212( )x yp xyp yf x就化为 2122dd(1)(e )ddtyypp yftt 这是一个以t为自变量，y为未知函数的二阶线性常系数微分方程当0x时，通过变量代换etx  ，可类似求解 4．微分方程的幂级数解法．微分方程的幂级数解法当微分方程的解不能或难以用初等函数表达时，在有些情况下，可以用幂级数解法（1）幂级数解法当微分方程( )( )0yp x yq x y的系数函数( )p x，( )q x在0x的邻域内能展成幂级数，即00( )()nnnp xaxx，00( )()nnnq xb xx时，该微分方程有幂级数解这时，可设方程的解为 00()nnnyCxx 其中系数nC待定将上式代入原微分方程，并比较方程两端0()xx的同次幂的系数，即可确定出 (1,2,)nCn  （2）广义幂级数解对于微分方程( )( )( )0A x yB x yC x y，若( )0A x ，则称0x为方程的奇点。

在奇点的邻域内，有时可以用广义幂级数求解，有时却不能用，有下述讨论：若该方程以0x为正则奇点，即方程可以改写为 200()( )() ( )( )0xxP x yxx Q x yR x y 其中0()0P x，( )P x，( )Q x，( )R x在0x的邻域内可展成幂级数，则该方程有广义幂级数解 000() (0)nnnyCxxC 其中系数 (1,2,)nCn 与指标可用代入法来确定。

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