５５. .４ 定积分与不定积４ 定积分与不定积分的关系分的关系 如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)， 所以又有 由于 ，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a). 一、积分上限函数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x( )，积分 存在，且对于给定的x ( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为 定理6.3 证明由积分中值定理有 结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x). 由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.定理6.4(原函数存在定理) 定理6.5二、牛顿牛顿—莱布尼兹公式 证明 上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理. 牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系. 例1 求 解 例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 小 结 理解积分上限函数、原函数存在定理，掌握积分积分上限函数的关于上限的导数，熟练掌握定积分计算公式牛顿—莱布尼兹公式。