第五章黏性不可压缩流体运动 第五章黏性不可压缩流体运动 第一节黏性不可压流体运动微分方程第二节层流与湍流 雷诺数第三节简单边界条件下层流的精确解第四节边界层第五节雷诺方程及湍流的半经验理论第六节圆管中湍流的速度分布 第一节黏性不可压流体运动微分方程 实际流体都具有黏性 黏性将导致能量的损耗 对流体流动进行研究要充分考虑到流体的黏性对流动影响 一 流体中的应力如图所示在X轴垂直的面上点的M应力分量为 在y轴垂直的面上点的M应力分量为 在z轴垂直的面上点的M应力分量为 第一个下角标表示应力作用面的法线方向 第二个下角标表示应力分量的作用方向 这些应力分量中两个下角标相同的三个应力分别是三个平面上的法向应力 法向应力以外法线方向为正 内法线方向为负 其它下角标不相同的六个应力是切向应力 这九个应力分量完全描述了点的应力状态 可证 二 应力形式的运动微分方程如图所示 得x方向作用力 质量力 加速度 同理可得 此为黏性流体运动应力形式的运动方程 根据牛顿第二定律可得 三 广义牛顿内摩擦定律牛顿流体平行层流流动牛顿内摩擦定律 推广到黏性流体运动的一般情况则 同理可得 的方向切应力与剪切变形速度的关系式 上式称为广义牛顿内摩擦定律 四 纳维埃一斯托克斯方程对于不可压缩流体 把上式左边加速度项展开并整理得 N S方程 五 能量方程系统能量的增加等于外界对该系统所作的功和加入系统的热量之和为能量守恒定律 在运动的黏性流体内取体积的微元控制体 其质量为则X方向 时间内由控制面净流入微元体的能量为 时间内作的功为 时间内由热传导净输入微元体的热量为 由能量守恒定律可得 利用上式及各应力分量与速度梯度之间的关系式可得直角坐标系中的总能量方程 第二节层流与湍流 雷诺数 雷诺实验装置如图5 1所示实验发现 当管内流体流速较小时 如图5 4中 a 所示 有色液体在玻璃管中呈现为一条直线 不与周围的流体相混杂 流体呈层状运动 这种流动状态称为层流 当管内流速增大到某一数值时 有色液体便不再连续 而是向周围液体紊乱地扩散 说明流体质点在运动中发生相互混杂 流体运动要素发生不规则的脉动 这种流动状态称为湍流 雷诺数 上临界雷诺数 下临界雷诺数 如果圆管中流动雷诺数则流动为湍流 如果 则流动为层流 如果 则流动可能是层流 也可能是湍流 实践证明 在工程实际中由于扰动较大 故大多流动为湍流 在十分平稳的条件下进行实验 测出的上临界雷诺数 近代的实验有人测出达到50000 下临界雷诺数 第三节简单边界条件下层流的精确解 研究对象 两平板间或圆管中层流运动 一 流动边界条件在工程实际中 常见的流场边界条件可分为三类 1 固壁 流体边界因为流体具有黏滞性 所以在与流体接触的固体壁面上 流体的速度等于固体壁面的速度 在静止的固体壁面上 流体的速度为零 2 液体 气体边界对于非高速流动 气液界面上的切应力相对于液相内的切应力很小 通常认为液相切应力在气液界面上为零 或液相速度梯度在气液界面上为零 3 液体 液体边界因为流体在液 液界面的速度分布或切应力具有连续性 所以液 液界面两侧的速度或切应力相等 二 平板间层流流动如图9 5所示为两平行平板间流动因为流动为管内稳定层流流动 则有根据连续方程可知 x轴方向的加速度为 因为 可得 即 由前面两式可得积分由边界条件两平板间流速分布公式为 可得 可得 三 圆管内层流流动x方向柱体所受的合力为 加速度为 由牛顿第二定律得 在等直径圆管中 压力沿管轴向的变化率为定值即 根据牛顿内摩擦定律并整理得积分当 时有圆管内速度分布为 沿程水头损失 沿程水力摩阻系数 四 壁面降膜流动璧面降膜流动在湿壁塔 冷凝器 蒸发器以及产品涂层方面经常会出现 降膜流动是靠重力产生的 与前面的平板间流动和管内流动相比 其特点是液膜的一侧与气体接触 可以认为沿流动方向没有压力差 如图5 8所示N S方程组简化为 积分得 由边界条件降膜流动流速分布公式为 得 第四节边界层 一 边界层概念1 边界层及流动阻力边界层 在固壁附近的很薄的一层 这个区域由前驻点开始向下游逐渐增大其厚度 并一直延伸到被绕流物体后方的尾迹中 这一区域的流动特征是其速度从物体表面的零开始增长 在一个很短的法向距离内速度就变成物面外的主流速度 普朗特称这个薄层为边界层 或称为附面层 流动阻力 流体与物体表面的黏性切应力2 边界层厚度 1 边界层厚度 名义厚度 把由壁面到外边界的法向距离称为边界层厚度 2 边界层排挤厚度 3 边界层动量损失厚度 4 边界层能量损失厚度 二 不可压缩流体边界层基本方程组和边界条件黏性不可压缩流体稳定流动的基本方程为 经过在边界层中对N S方程中各项的数量级大小的比较 可将方程简化为 常称为普朗特方程 相应的边界条件为 1 时 2 或 时 边界层内的压力分布 应该等于势流中压力分布于是普朗特方程方程组可写成 三 平壁面层流边界层的精确解如图5 13所示在零压力梯度的情况下 普朗特边界层方程可写成相应的边界条件为 1 时 2 或 时 引进相似变换参数表示为引进流函数 则有整理后可得三阶常微分方程为相应的边界条件为 处 处 上式是一个非线性的三阶常微分方程 需要采用数值计算的方法求解 四 边界层动量积分方程如图所示首先分析单位时间内通过控制面的流体的质量和动量 单位时间内通过面流进控制体的流体质量和动量为 流进质量 流进动量 通过CD面流出控制体的流体质量和动量为 流出质量 流出动量 通过AD面流进控制体的流体质量和动量为 流进质量 流进动量 控制体的面为固壁 没有流体的流进流出 作用在AB面上的力为 作用在CD面上的力为 作用在AD面上的力在方向的投影为 作用在BC面上的力为 于是可得作用在控制体ABCD上的合外力为 根据动量定理可得 整理得 上式称为不可压缩流体稳定流冯 卡门边界层积分方程式 它对层流和湍流都适用 五 边界层的近似解1 不可压缩流体平板层流边界层的近似解设边界层内速度分布为 这里取 则有为了求 需要三个边界条件 处 处 最后得到假定的速度分布为 上式中边界层厚度还是未知的 需要用动量积分方程来确定它 可求出 如果将通过边界层动量积分关系式获得的层流边界层的近似解与勃拉修斯精确解相比较 可以发现解的形式完全相同 结果都比较接近 可见应用边界层动量积分关系式求解边界层参数是很好的近似方法 2 平板湍流边界层的近似解与求解层流边界层一样 借助于圆管湍流的l 7指数速度分布规律 有 得 取可得 将 代入 取 代入可得 当地阻力系数为 宽为 长为的平板单面的阻力为 则平板的总阻力系数为 通过动量积分方程式得 3 平板混合边界层的近似解利用上述边界层的近似解来求混合边界层的近似解 假设平板层流边界层的长度为 临界雷诺数为 宽为b 长为L的平板单面上的总阻力可按下式计算 得 平板混合边界层的阻力系数便为 六 边界层分离及控制1 边界层分离边界层分离就是指边界层从某个位置开始的脱体现象 在此时物面附近会出现回流现象 这样的现象又称为边界层脱体现象 如图所示 2 边界层控制边界层分离往往引起阻力和流动损失大大增加 因此 在工程上要减小绕流阻力和流动损失 应设法改变边界层流动结构 尽量控制边界层使其减弱或消除分离现象 有效减弱或消除分离的措施和方法 1 合理的外形设计将被绕流物体的外形设计成流线型 且使最低压强点尽量移向物体的尾缘 可推迟边界层分离 2 边界层流动加速 3 边界层抽吸抽吸可以在边界层发生分离之前吸取其中已滞止了的流体 使流体能承受一定的逆压力梯度而不分离 七 圆柱绕流横向绕过圆柱的流体流动在实际工程中有重要意义 如风对塔 罐等设备的压力 海水对钻井平台支柱的冲击等 1 圆柱绕流圆柱绕流的流体作用在物体上的力可分解成两个分量 阻力 横向力大量实验表明 随着雷诺数的变化 圆柱绕流将经历几次质变 流动现象有明显区别 对于不可压缩流动 圆柱绕流雷诺数的结构为 下面分不同雷诺数的流动对圆柱绕流进行介绍 1 在的条件下 这种流动是小雷诺数的缓慢流动 或称为蠕动流 其特点为流动上游与下游对称 呈一种稳定层流状态 物体所受阻力为物面黏性切应力的合力 如图5 21 2 在的条件下 其特点是在背风面出现对称旋涡区 其中的流体不停地回旋 但不脱落 不流入下游 可以看出 随着雷诺数的增加 上游和下游的对称性消失了 物体所受阻力由两部分组成 摩擦阻力和压差阻力 在这种情况下 摩擦阻力与压差阻力具有同等重要性 如图5 22 3 在条件下 其特点是在背风区的对涡区发展的越来越大 并出现摆动 但仍呈层流状态 物体阻力由摩擦阻力和压差阻力组成 它们具有同等重要性 如图5 23 4 在的条件下 其特点是背风面旋涡交替脱落向下游流去从而形成两排向下游流动的涡列 所有在同一侧的旋涡都以相同的方向旋转 另一侧的旋涡则都以相反的方向旋转 通常称这种流动为卡门涡街 如图5 24 图5 23圆柱绕流 图5 24圆柱绕流 5 在条件下 流动如图5 25所示 其特点是在背风面出现明显的低速而混乱的回流区 回流区中不断脱落的旋涡逐渐破裂为小旋涡 因而形成湍流 在物面的迎风面上形成层流边界层 边界层与物面的分离点发生在迎风面 这种情况称为亚临界状态 6 在条件下 流动如图5 26所示 其特点是流动状态与 5 类似 但边界层分离前已由层流转变为湍流 分离点在背风面部分 由亚临界状态分离点左右的位置急剧地后移到左右的位置 这种状态称为超临界状态 图5 26圆柱绕流 二 圆柱绕流总阻力与平面绕流的阻力计算类似图5 27所示为由实验获得的圆柱绕流阻力系数曲线 横坐标是流动雷诺数 纵坐标是阻力系数 阻力系数突然下降点称为临界点 临界点以前的状态称为亚临界状态 临界点以后的状态称为超临界状态 第五节雷诺方程及湍流的半经验理论 一 时均化方法及湍流度1 时间平均用流动变量对时间的平均值 称为时均值 来研究流场 可以使问题得到简化 湍流瞬时流动变量看做由时均量和脉动量叠加而成的 即 设变量是空间和时间的函数则它的时间平均值为 可以证明 脉动值的时间平均值等于零 即 2湍流强度由于脉动速度的时均值等于零 为了把湍流的脉动运动强度反应出来 在工程中经常使用所谓湍流强度的概念 把脉动速度取平方 再使之时间平均 然后取其平方根 把与时均速度的比值称为湍流度 即虽然脉动速度的时均值等于零 但脉动速度的平方的时均值一般不等于零 二 不可压缩流体时均连续性方程和运动方程1 时均连续性方程仅考虑不可压缩流体的流动将湍流瞬时流动速度分解成时均速度和脉动速度之和 即由连续性方程有 时均化为 由于脉动值的时均值为零 上式可写成 时均连续性方程 2 时均运动方程下面对N S方程进行时均化即 因 则有 同理有 因与时间无关代入N S时均化方程最后可得 同理可得y轴方向和z轴方向的时均化方程 即雷诺方程 三 混合长度假说由于湍流存在雷诺应力 理论上无法求解 因此提出了湍流模式理论来解决湍流时均运动方程组 1872年布辛涅斯克提出用涡黏性系数来模拟雷诺应力第二次世界大战前 发展了一系列所谓半经验理论 其中包括普朗特的混合长度理论 以及泰勒的涡量转移理论和冯 卡门的相似性理论等 在这里 我们只介绍最广泛应用的普朗特的混合长度理论 对不可压黏性流体的剪切流动 如图5 29所示 普朗特假定 1 流体质点的纵向脉动速度近似等于两层流体的时均速度之差 2 脉动速度与量级相同 普朗特还进一步推论 靠近壁面处有效切应力近似为常数 即近似等于壁面上的切应力 第六节圆管中湍流的速度分布 一 湍流构成实验研究表明 壁面附近湍流流动如图5 11所示 可分三个区域 黏性底层 过渡区 湍流区 1 黏性底层黏性底层是贴近壁面处厚度极薄的流体层 在这一层中 受壁面的制约 流动仍保持为黏性层流状态 因此也称其为层流底层 2 过渡区是一个由黏性底层向湍流区发展的过渡层3 湍流区在距壁面稍远处 流动为充分发展的湍流状态 此区域称为湍流区 二 圆管中湍流的速度分布水力光滑 当雷诺数较小时 近壁处黏性底层完全掩盖住管壁粗糙突起 此时粗糙度对湍流不起作用 这种情况称为水力光滑 水。