书 山 有 路 勤 为 径 学 海 无 涯 苦 作 舟 数学知识手册 目 录 CONTENTS 数学 空间与平面几何 坐数学 标系与函数 数学 统计与概率 数学 数与试 数学 方程与不等式 03 14 16 17 23 亲爱的初中生 该是你展翅高飞的时刻了 阳光在稀疏的树干下挥洒 入眼的光刺痛瞳目 即便前路坎坷 但你要勇敢 退缩的懦夫成千上万 唯独你要做披着铠甲的战士 纵使遍地荆棘 也要勇往直前 记住 成长路上的每份经历都是青春的礼物 中考亦是 只是有的礼物包装得不那么精美 但你要相信 世界不会亏欠每一个努力的人 只要你能带着信心 给自己足够的时间 用心地拆开它 一定会发现包裹在里面的丰盛和美好 成长的意义就在于 不断的尝试和探索 不断的失败又重来 即使开始时会有些慌乱 也要坚强勇敢执着奔放 只待修炼出坚实的羽翼 展翅飞向更宽广美好的世界 奋斗吧 唯有奋斗的人生才不会留下遗憾 这场没有硝烟的战争 你能依靠的只有自己 以后的路还很长很长 每一步都会比现在更好 高途课堂真挚地祝福你 能够在人生的每场考试中都取得佳绩 比心 初中数学知识手册 几何图形初步 1 数学 空间与平面几何 几何 图形 几何图形 长方体 圆柱 球 长 正 方形 圆 线段 点等 以及小学学习过的三 角形 四边形等 都是从形形色色的物体外形中得出点 它们都是几何图形 立体图形 有些几何图形 如长方体 正方体 圆柱 圆锥 球等 的各部分不都在同一 平面内 它们是立体图形 平面图形 有些几何图形 如线段 角 三角形 长方形 圆等 的各部分都在同一平面 内 它们是平面图形 有些立体图形是由一些平面图形围成的 将它们的表面适当剪开 可以展开成 平面图形 这样的平面图形称为相应立体图形的展开图 展开图 体 长方体 正方体 圆柱 圆锥 球 棱柱 棱锥等都是几何体 几何体也简称体 线 夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线 节日的焰火画出的曲线组成优美的图 案 这些都给我们以线的形象 点 天上的星星 世界地图上的城市等都给我们以点的形象 线和线相交的地方是点 直线 射线 线段 面 包围着体的是面 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 简单说成 两点确定一条直线 相交 当两条不同的直线有一个公共点时 我们就称这两条直线相交 交点 两条直线相交 公共点叫做它们的交点 尺规作图 在数学中 我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图 这就是尺规作图 中点 一个点把线段分成相等的两条线段 那么这个点就叫做该线段的中点 两点的所有连线中 线段最短 简单说成 两点之间 线段最短 距离 连接两点间的线段的长度 叫做这两点的距离 03 角 角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 这个公共端点是角的顶点 这两条射线 是角的两条边 度 把一个周角360等分 每一份就是1度的角 记作1 分 把1度的角60等分 每一份叫做1分的角 记作1 秒 把1分的角60等分 每一份叫做1秒的角 记作1 角的平分线 一般地 从一个角的顶点出发 把这个角分成两个相等的角的射线 叫做 这个角的平分线 余角 一般地 如果两个角的和等于 90 直角 就说这两个角互为余角 即其中每一 个角是另一个角的余角 补角 如果两个角的和等于 平角 就说这两个角互为补角 即其中一个角是另一个 角的补角 关于补角的性质 同角 等角 的补角相等 关于余角的性质 同角 等角 的余角相等 相交线与平行线 2 相交线 1和 2有一条公共边OC 它们的另一边互为反向延长线 1和 2互补 具有这 种关系的两个角 互为邻补角 1和 3有一个公共顶点O 并且 1的两边分别是 3的两边的反向延长线 具有这种 位置关系的两个角 互为对顶角 对顶角相等 当 90 时 我们说a和b互相垂直 记作a b o 04 初中数学知识手册 相交线 垂直是相交的一种特殊情形 两条直线互相垂直 其中的一条直线叫做另一条直线的垂 线 它们的交点叫做垂足 在同一平面内 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 简单说成 垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 叫做点到直线的距离 看图中 1和 5 这两个角分别在直线AB CD的同一方 上方 并且都在直线EF的 同侧 右侧 具有这种位置关系的一对角叫做同位角 再看图中 3和 5 这两个角都在直线AB CD之间 并且分别在直线EF两侧 3在直 线EF左侧 5在直线EF右侧 具有这种位置关系的一对角叫做内错角 图中 3和 6也都在直线AB CD之间 但它们在直线EF的同一旁 左侧 具有这种 位置关系的一对角叫做同旁内角 平行线 及其判 定 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 由平行公理 进一步可以得到如下结论 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两 条直线也相互平行 判定两条直线平行方法1 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直 线平行 简单说成 同位角相等 两直线平行 判定两条直线平行方法2 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直 线平行 简单说成 内错角相等 两直线平行 判定两条直线平行方法3 两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角互补 那么这两条 直线平行 简单说成 同旁内角互补 两直线平行 在同一平面内 当直线a与直线b不相交时 我们说直线a与b互相平行 记作a b 05 平行线 的性质 平行线性质1 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 简单说成 两直线平行 同位角相等 平行线性质2 两条平行线被第三条直线所截 内错角相等 简单说成 两直线平行 内错角相等 平行线性质3 两条平行线被第三条直线所截 同旁内角互补 简单说成 两直线平行 同旁内角互补 命题 判断一件事情的语句 叫做命题 真命题 如果题设成立 那么结论一定成立 这样的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时 不能保证结论一定成立 这样的命题叫做假命题 定理 如果命题的正确性是经过推理证实的 那么这样得到的真命题叫做定理 证明 在很多情况下 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断 这个推理过程 叫做证明 平移平移 把一个图形整体沿某一直线方向移动 会得到一个新的图形 这图形与原图形的 形状和大小完全相同 图形的这种移动 叫做平移 三角形 3 多边形 及其内 角和 多边形 在平面内 由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的对角线 正多边形 各个角都相等 各条边都相等的多边形叫做正多边形 多边形内角和公式 n边形内角和等于 n 2 180 多边形外角和等于360 直角三角形的两个锐角互余 由三角形内角和定理可得 有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 叫做三角形的外角 一般地 由三角形内角和定理推到可以得出结论 三角形的外角等于与它不相邻的两 个内角的和 与三角 形有关 的角 06 初中数学知识手册 与三角 形有关 的线段 三角形 由不在同一条直线上的三条线段段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形 一般地 我们有三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边 三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点 三角形三条中线的交点叫做三角形的重 心 高 从 ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线 垂足为D 所得线段AD叫做 ABC的边BC上的高 中线 连接 ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D 所得线段AD叫做 ABC的边BC上 的中线 画 A的平分线AD 交 A所对的边BC于点D 所得线段AD叫做 ABC的角平分线 07 全等三 角形 全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 把两个全等的三角形重合到一起 重合的顶点叫做对应顶点 重合的边叫做对应边 重合的角叫做对应角 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 三角形 全等的 判定 三边分别相等的两个三角形全等 可以简写成 边边边 或 SSS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 可以简写成 边角边 或 SAS 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 可以简写成 角边角 或 ASA 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 可以简写成 角角边 或 AAS 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 可以简写成 斜边 直角边 或 HL 全等三角形 4 角的平 分线的 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 轴对称 5 轴对称 如果一个平面图形沿一个直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形就叫做 轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图 形关于这条直线 成轴 对称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的点是对应点 叫 做对称点 垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 08 初中数学知识手册 轴对称 图形轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 等腰三 角形 等腰三角形性质1 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 等腰三角形性质2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 简写成 三线合一 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对等边 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的三个内角都相等 并且每一个角都等于60 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 勾股定理 6 勾股 定理 勾股定理 命题1与直角三角形的边有关 我国把它称为勾股定理 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a b 斜边长为c 那么a b c 勾股定 理的逆 定理 命题2 如果三角形的三边长分别为a b c满足a b c 那么这个三角形是直角三角形 命题1与命题2的题设 结论正好相反 我们把像这样的两个命题叫做互逆命题 如果把 其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 勾股定理的逆命题是正确的 它也是一个定理 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理 09 平行四边形 7 平行四 边形 平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的性质 1 平行四边形的对边相等 2 平行四边形的对角相等 3 平行四边形的对角线互相平分 两条平行线之间的距离 两条平行线中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫 做这两条平行线之间的距离 平行四边形的判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半 在 ABC中 D E分别是AB AC的中点 连接DE 像DE这样 连接三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线 特殊的 平行四 边形 矩形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 也就是长方形 矩形性质 1 矩形的四个角都是直角 2 矩形的对角线相等 直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 矩形的判定定理 1 对角线相等的平行四边形是矩形 2 有三个角是直角的四边形是矩形 正方形 四条边都相等 四个角都是直角的四边形是正方形 菱形判定定理 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2 四条边相等的四边形是菱形 菱形性质 1 菱形的四条边都相等 2 菱形的两条对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 10 初中数学。