精品文档经典难题（一）1、已知：如图， 0是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CD丄AB , EF丄AB , EG丄CO. 求证：CD = GF .（初二）2、已知：如图， P是正方形 ABCD内点，/ PAD =Z PDA = 15°.求证：△ PBC是正三角形.（初二）DC3、如图，已知四边形 ABCD、AiBiCiDi都是正方形, CCi、DDi的中点.求证：四边形 A2B2C2D2是正方形.（初二）A2、B2、C2、D2 分别是 AAi、BBi、4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD = BC , M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：/ DEN = Z F.经典难题（二）M1、已知：△ ABC中，H为垂心（各边高线的交点）（1） 求证：AH = 2OM ;（2） 若/ BAC = 600,求证：AH = AO .（初二）,O为外心，且0M丄BC于M .A0HEBCMD0作0A丄MN于A，自A引圆的两条直线,交圆于GBC为一边，在△ ABCDEABF// AC , AE = AC , AE 与 CD 相交于 F.2、设MN是圆0外一直线，过及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q. 求证：AP = AQ .（初二）3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以「 设MN是圆0的弦，过MN的中点A任作两弦 于 P、Q.求证：AP = AQ .（初二）4、如图，分别以厶ABC的AC和 CBFG，点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于1、如图，四边形 ABCD为正方形,求证：CE = CF.（初二）BCE4、2、如图，四边形 ABCD为正方形，DE // AC ,且CE = CA，直线EC交DA延长线于F. 求证：AE = AF .（初二）如图，PC切圆0于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D .求证：AB = DC , BC = AD .（初三）1、2、3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证:已知：△ ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA = 3, PB = 4, PC= 5. 求：/ APB的度数.（初二）设P是平行四边形ABCD内部的一点, 求证：/ PAB = Z PCB .（初二）4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点,AE = CF.求证：/ DPA =Z DPC .（初二）经典难题（五）AE与CF相交于P,且PA2、已知：P是边长为1的正方形设P是边长为1的正△ ABC 内任一点，L =3、P为正方形 ABCD内的一点，并且 PA= a, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的边长.A D4、如图，△ ABC 中，/ ABC =Z ACB = 80°, D、E 分别是 AB、AC 上的点，/ DCA = 30°,B C/ EBA = 20°，求/ BED 的度数.经典难题（一）答案1•如下图做 GH丄AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以/ GFH = Z OEG, 即厶GHFOGE,可得皂=9° = C0，又CO=EO，所以CD=GF得证GF GH CD2.如下图做厶DGC使与△ ADP全等，可得△ PDG为等边△，从而可得△ DGC ◎△ APD ◎△ CGP得出 PC=AD=DC,和/ DCG= / PCG= 15° 所以/ DCP=30°，从而得出△ PBC是正三角形3.如下图连接BG和AB分别找其中点F,E.连接C2F与AE并延长相交于Q点, 连接EB并延长交C2Q于H点，连接FB并延长交AQ于G点，由 AE=*AB=*BiCi= FB2 , EB=*AB= ^BC=FC，又/GFQ+ / Q=900 和/ GEB2+/Q=90°所以/ GEB=/ GFQ 又/ B2FC2=Z A2EB2 ,可得△ B2FC2◎△ A2EB2，所以 A2B2=B2C2 ,又/ GFQ+ / HB2F=90° 和/ GFQ= / EB2A2 ,从而可得/ A2B2 C2=90°，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A 2B 2C2D2是正方形4.如下图连接AC并取其中点 Q 连接QN和QM所以可得/ QMF= / F，/ QNM= /DEN 和/ QMN= / QNM，从而得出/ DEN = Z F。
经典难题(二)1.(1)延长 AD到 F 连 BF,做 0G_ AF, 又/ F= / ACB= / BHD , 可得BH=BF,从而可得 HD=DF , 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB 0C既得/ BOC=120°, 从而可得/ BOM=60°, 所以可得 0B=20M=AH=A0, 得证3.作 OFL CD OGL BE，连接 OP, OA , OF , AF , OG , AG , OQ 丄十 AD AC CD 2FD FD 由丁 一 一 一 =AB AE BE 2BG BG由此可得厶ADF ◎△ ABG，从而可得/ AFC= / AGE又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ , / AOP= / AOQ，从而可得 AP=AQ4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG CI, FHo可得PQ=EG+ FH2由厶 EGA◎△ AIC，可得 EG=AI，由△ BFH◎△ CBI，可得 FH=BIAI + BI AB从而可得PQ= = ，从而得证2 2经典难题（三）1•顺时针旋转△ ADE，到△ ABG，连接CG.由于 / ABG= / ADE=90 °+450=135°从而可得B , G , D在一条直线上，可得△ AGB CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△ AGC为等边三角形/ AGB=30°,既得/ EAC=3O0,从而可得/ A EC=75° 又/ EFC=Z DFA=450+3O°=750.可证：CE=CF2.连接BD乍CHL DE，可得四边形CGDH是正方形 由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/ CEH=30°,所以/ CAE= / CEA= / AED=15°,又/ FAE=9O0+450+15°=15O0,从而可知道/ F=150，从而得出AE=AF3.作FGL CD FEL BE，可以得出GFEC为正方形 令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-Xtan / BAP=tan / EPF=—=Y Y-，可得YZ=XY-X 2+XZ ,即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出△ ABP PEF , 得到PA= PF，得证经典难题（四）1.顺时针旋转△ ABP 60连接PQ ,则厶PBQ是正三角形 可得△ PQC是直角三角形所以/ APB=150°2•作过P点平行于AD的直线，并选一点 E,使AE// DC BE// PC. 可以得出/ ABP= / ADP= / AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得/ BAP= / BEP= / BCP，得证3.在 BD取一点 E,使/BCE= / ACD，既得△ BECADC，可得:BE ADBC = AC即 AD ?BC=BE ?AC,又/ ACB= / DCE，可得△ ABC DEC，既得ABACDEDC，即 AB ?CD=DE ?AC，，得证由① + ②可得：AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC • BD4.过 D作 AQL AE , AG 丄 CF ,由 Svade ==Svdfc，可得:2AEgPQ = AEgPQ，由 ae=fc2 2可得DQ=DG，可得/ DPA =Z DPC （角平分线逆定理）经典难题（五）1. （ 1）顺时针旋转△ BPC 60°，可得△ PBE为等边三角形既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上,即如下图：可得最小 L=(2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F由于/ APD> / ATP= / ADP ,推出AD>AP①又 BP+DP>BP②和 PF+FOPC③又 DF=AF④由①②③④可得：最大 L< 2 ;由( 1)和(2)既得:2.顺时针旋转△ BPC 600，可得△ PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP，PE, EF在一条直线上, 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF既得AF=/4+ 1)2护=(3+ 1)22訂3+1)3•顺时针旋转△ ABP 90可得如下图:4.在 AB上找一点 F,使/ BCF=6O0 ,连接EF, DG,既得△ BGC为等边三角形，可得/ DCF=10° , / FCE=20°，推出△ ABE ◎△ ACF , 得到 BE=CF , FG=GE推出：△ FGE为等边三角形 ，可得/ AFE=80 0 ,既得：/ DFG=40° ①又 BD=BC=BG 既得/ BGD=80°，既得/ DGF=40° ②推得：DF=DG，得到：△ DFE DGE ,从而推得：/ FED= / BED=30 0 精品文档。