专题01 点的坐标的四种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、根据点所在象限求参数 2类型二、坐标与图形 4类型三、点的坐标规律 10类型四、新定义问题 15压轴能力测评 191.中点坐标公式2.坐标与几何图形1.图形上的点坐标求解2.坐标系中求图形面积3.坐标与平移1.点的平移：①将点(x,y)向右（或向左）平移a个单位可得对应点(x+a,y)或(x-a,y)；②将点(x,y)向上（或下）平移b个单位，可得对应点(x,y+b)或(x,y-b)；2.图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位；②如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位；类型一、根据点所在象限求参数1， 根据点所在的象限的符号，列出不等式；2， 解不等式组，求出参数取值范围例．若点关于坐标原点中心对称的点Q在第四象限，则m的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，以及解不等式组，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可．【详解】解：由题知，点关于坐标原点中心对称的点Q的坐标为，点Q在第四象限，，解得，故选：A．【变式训练1】．点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（ ）A． B．3 C．7 D．【答案】C【分析】此题主要考查了点的坐标，正确利用坐标性质得出的值是解题关键．直接利用第二象限点的坐标性质结合轴的距离为5，得出，解题即可．【详解】解：∵点在第二象限，∴，又∵到轴的距离为5，∴，即，解得：，故选C．【变式训练2】．已知点位于第二象限，并且，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【分析】根据第二象限的点的特点可知，即可得，，计算可得；a，b均为整数，所以或；据此分别可求出A点的坐标，即可得本题答案．【详解】解：∵点位于第二象限，∴，∴，，∴∴，∵a，b均为整数，∴或，当时，，；当时，，或或或；综上所述，满足条件的点A个数有5个．故选：B．【点睛】本题主要考查第二象限点的坐标特点及解不等式的知识；熟练掌握个象限点坐标的符号特点，是解决本题的关键．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，坐标是整数的点称作格点，第一象限的格点满足方程，则满足条件的点有（ ）A．一组 B．三组 C．四组 D．无数组【答案】B【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，各象限内点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．先根据点P的位置判断x，y为正整数，然后求出方程的正整数解即可．【详解】解：∵格点在第一象限，∴x，y是正整数，∴满足方程的正整数解分别为：，，，共三组，故选：B．类型二、坐标与图形1， 根据点的坐标符号，求出参数范围；2， 涉及面积问题一般利用图形的面积公式，把边长和高用坐标表示出来；3， 另外涉及的非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识。
例．在平面直角坐标系中，将关于x，y的二元一次方程组的解，所构成的坐标记为A点，将记为B点，与原点O构成．(1)a=2，求三角形的面积的值；(2)将记为C点．①当时，若，求k的值；②当时，如果有成立，求k的值．【答案】(1)3(2)①；②【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，三角形的面积等，掌握三角形面积的求解是解题的关键．（1）当时，，得出，，从而得出；（2）①，，得出，求出；②由于，，求出．【详解】（1）（1）当时，，，，；（2）解：∵，，，，①，，，，，，②，，，，或（舍）．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0，，其中a，b满足．(1)填空：______，______；(2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积；(3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标．【答案】(1)，3(2)(3)点P的坐标为或【分析】本题考查了一元一次方程的应用、非负数的性质、象限内点的坐标的特征，根据题意正确的列出表示各三角形面积的式子并解方程是解答本题的关键．（1）根据非负数的性质可得a、b的值；（2）过点M作轴于点N，根据三角形面积公式列式整理即可；（3）先根据（2）计算，再分两种情况：当点P在y轴正半轴上时、当点P在y轴负半轴上时，根据列方程求解即可．【详解】（1）∵，∴且，解得：，；（2）解：过点M作轴于点N，，，，又点在第三象限，，；（3）解：线段，当时，，，点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点，，解得：，∴此时点；②当点P在y轴负半轴上时，设点，，解得：，此时点；综上分析可知：点P的坐标为或．【变式训练2】．已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为1．(1)求点的坐标；(2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，直接写出点和点的坐标；(3)若轴，且，求出D点的坐标．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当轴时，轴时，点的坐标特点，坐标轴上两点间的距离．（1）根据题意可求得，的值，代入到中即可解题；（2）根据题意可得，，根据点坐标解题即可，注意点坐标不能与点坐标重合；（3）根据题意可得，，根据点坐标解题即可．【详解】（1）解：点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为1，，，解得：，，为即B4,0；（2）解：由题可知：点坐标为，轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，，，当时，点与点重合，，；（3）解：由题可知：点坐标为，轴，且，，，或．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点．点是轴正半轴上的一点．(1)求出点，的坐标；(2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）(3)如图3，轴上是否存在一点，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)；(3)存在满足条件的点，其坐标为或．【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标；（2）过点作，交轴于点，由知，从而得出、，再由角平分线得出，，根据可得答案；（3）计算的面积，利用面积法可求得点坐标．【详解】（1）解：，，，，，解得：，，，；（2）如图2，过点作，交轴于点，，又，，，，，，又平分，平分，，，，，，；（3）存在．，，，，，当点在轴上时，设，则，，，，解得：或，此时点坐标为或，综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或．【点睛】本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．类型三、点的坐标规律（1）根据图象结合平面坐标系得出各点的坐标；（2）根据各点坐标数据得出规律，进而得出答案即可；（3）通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．例．在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，．(1)依次写出的值；(2)计算的值；(3)计算的值．【答案】(1)分别为1，，，3，3，(2)1(3)1002【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．（1）根据图象结合平面坐标系得出各点横坐标即可；（2）根据各点横坐标数据得出规律，进而得出答案即可；（3）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2004个数分为501组，即可得到相应结果．【详解】（1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出：、、、、、的值分别为：1，，，3，3，；（2）；；；（3）；；．【变式训练1】．【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：，，，，，…．【归纳·应用】(1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______；(2)若点的坐标为，求n的值．【答案】(1)；(2)1012【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，以及坐标找规律，一元一次方程的应用，解题的关键在于通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．（1）根据图形写出坐标即可；（2）根据题意得到，，，，依此类推得到，再根据点的坐标为建立等式求解，即可解题．【详解】（1）解：由图知，点的坐标为，点的坐标为；故答案为：；．（2）解：，，，，，且，，，，依此类推，，即，点的坐标为，，解得．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，已知点Aa,0，点，点，且满足：． (1)请求出点、点的坐标；(2)连接，当轴时，求的值；(3)在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是8，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或或或【分析】（1）利用非负式和为零的条件列方程组求解即可得到答案；（2）根据A-4,0、，当轴时，点的横坐标相等即可得到答案；（3）根据题意，分两种情况：①当点在轴上；②当点在轴上；作出图形，数形结合，由三角形的面积是8，列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：，，解得，点Aa,0，点，，B0,3；（2）解：A-4,0，，当轴时，；（3）解：存在，根据题意，分两种情况：①当点在轴上；②当点在轴上；当点在轴上，分点D在点A左、右两种情况，如图所示： 设，三角形的面积是8，A-4,0，B0,3，，即，解得或，则或；当点在轴上，分点D在点B上、下两种情况，如图所示： 设，三角形的面积是8，A-4,0，B0,3，，即，解得或，则或；综上所述，在坐标轴上存在点，使得三角形的面积是8，则或或或．【点睛】本题考查图形与坐标，涉及绝对值非负性、算术平方根非负性、非负式和为零的条件、解二元一次方程组、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、坐标系三角形面积的求法等知识，数形结合是解决问题的关键．【变式训练3】．【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，…【归纳应用】(1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______．(2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______．(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值．【答案】(1)；。