椭圆中的最值问题与定点、定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1） 利用定义转化为几何问题处理；（2） 利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3） 利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x、y的取值范围；（4） 利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c（远日点）、最小值a-c（近日点）推导：设点为椭圆上的任意一点，左焦点为，，由得，将其代入并化简得所以，当点为长轴的右端点重合时，；当点为长轴的左端点重合时当焦点为右焦点时，可类似推出BAOxy1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆上两个不同的点A、B关于直线对称1） 求实数m的取值范围；（2） 求面积的最大值（O为坐标原点）解：（1）由题意知，可设直线AB的方程为联立，消去，得因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以①设，线段AB的中点 ，则，所以将线段AB的中点代入直线，解得②由①②得2)令，则=，且O到直线AB的距离为设的面积为，所以，当且仅当时，等号成立。

故面积的最大值为2.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解　(1)由　得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，所以|AB|＝＝＝＝ ＝.所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练2　如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.解　∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，即△BAP是等腰直角三角形，||＝||.∵·＝9，∴||||cos 45°＝||2cos 45°＝9，∴||＝3.(1)∵P(0,1)，∴||＝1，||＝2，即b＝2，且B(3,1).∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：＋＝1，解得a2＝.∵a2>b2>0，∴>(3－t)2>0.∴>1，即－1＝>0，∴所求t的取值范围是0

解决此类问题的方法有两种：（1）进行一般计算、推理求出结果；（2）通过检查特殊位置，探索出“定点”“定值”，然后再进行一般性证明或计算2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为11）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（1）根据题意可设椭圆方程，由已知得，解得 ，所以椭圆的标准方程为2)设，联立得，则由题意得，即，且，又==，设椭圆的右顶点为D 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，即，，，化简整理得，解得,且均满足的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以直线过定点，定点的坐标为。