1 第二章矩阵及其运算历年试题分类统计及考点分析分值年份方阵的行列式矩阵运算及逆矩阵，矩阵方程伴随矩阵初等变换与初等矩阵矩阵的秩分块矩阵合计87 4 3 7 88 3 6 9 89 3 3 90 6 6 91 3+3 6 92 93 94 3 6 9 95 6 3 3 12 96 6 6 97 3 5 8 98 99 00 6 6 01 3 3 02 03 04 4 4 8 05 4 4 8 06 4 4 8 07 4 4 08 4 4 09 4 4 10 4 4 合计17 47 27 16 8 考点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 32 页 -2 本章知识脉络图T概念:数表相等,AB基本运算kA,AB,A单位阵 E,数量阵 kE对角阵上,下三角阵特殊矩阵对称,反对称矩阵正交阵伴随阵矩阵定义,唯一性伴随矩阵法数值表初等变换法逆矩阵分块法求法定义法抽象矩阵运算法则初等阵初等变换初等阵等价矩阵分块阵:运算名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 32 页 -3 大纲要求（矩阵部分）考试内容矩阵的概念矩阵的线形运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。
2 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质3 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵4 理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法5.了解分块矩阵及其运算基本内容一.几种特殊的矩阵1.零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵、上（下）三角矩阵.2.对称矩阵：TAA或ijjiaa(1)对称矩阵的和与差仍是对称矩阵(2)对称矩阵乘以常数仍是对称矩阵3.反对称矩阵:TAA（主对角线元素为0）(1)反对称矩阵的和与差仍是反对称矩阵(2)反对称矩阵乘以常数仍是反对称矩阵(3)任一n阶矩阵A都可表为一个对称矩阵B与一个反对称矩阵C的和.即ABC，其中12TBAA，)(21TAAC(4)奇数解反对称矩阵的行列式的值为0 4.正交矩阵定义若实n阶方阵A满足TTAAA AE，或1TAA，则称A为正交矩阵性质(1)ijAa是正交矩阵1122ijiji nj ni ja aaaaa1122ijijn in ji ja aaaaaA的行（列）向量组是正交规范向量组(2)正交矩阵的乘积仍是正交矩阵(3)若A是正交阵，则1A也是正交阵(4)若A是正交阵，则1A5.伴随矩阵定义矩阵ijAa的伴随矩阵为112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA其中ijA是ija的代数余子式.性质(1)*1AA A，0A(2)AAA AA E(3)12nAAn证 由AAA E知nA AA若0A，则1nAA若0A则必有0A.否则0A则*A可逆，则1AAE，由此得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 32 页 -4 110AAAAA EA（零矩阵）这与0A矛盾.故0A时，0A，当然满足1nAA(4)设A为2n n阶方阵，则,1,0,nr Anr Ar Anr An当=时,当=-1时,当-1时,证 当rAn=时，即 A可逆，而10nAA故rAn=.当()r An=-1时，有0A，于是0AAA E据定理：若0AB，则rArBn，知rA1又因rAn=-1，所以至少有一个ija的代数余子式0ijA，从而rA1于是有r A1当rAn-1时，0A，故rA0(5)1nkAkA(6)ABB A(7)TTAA(8)111AAAA，0A 证对1AA A两边取逆矩阵得11111AAAAA又11111AAAAA故111AAAA(9)22nAAAn 证由1nAAA EAE，知1nAA AAA即1nAAAA当0A时，显然2nAAA当0A时，1rAn，故1r A，于是0A，故2nAAA例 已知实矩阵3 3ijA满足条件：（1）,1,2,3ijijaAi j，其中ijA是ija是代数余子式；（2）110a.计算行列式A.解 因为ijijaA，所以TAA由TA AA AA E两边取行列式，得23AA从而1A或0A.由于110a，可知1 11 11 21 21 31 3AaAaAaA2221 11 21 30aaa，于是1A例 已知n阶行列式010000200001000Ann，则A的第k行代数余子式之和12kkknAAA.解 需要先求出A11!nAn，故A可逆，令OBACO，其 中121Bn，Cn则111OCABO，其中名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 32 页 -5 111211Bn，11Cn.又*1AA A11000100011!000210001nnnn故112!1nkkknnAAAk二、矩阵的运算1.矩阵的相等：mijxnAa，mijxnBb，若ijijab，1,2,im；1,2,jn,则称AB.2.熟练掌握矩阵的加减法，数乘，矩阵相乘，矩阵转置的性质，进行矩阵的计算.3.注意矩阵的乘法不满足交换律，分左乘和右乘.矩阵的乘法要注意：（1）BAAB，例4422,0110BA，则4422,2244BAAB，特别地，222222)(BABABBAABABA（2）由0B00或AAB（3）由CBAACAB0,但是，若A可逆，则CB4.与矩阵乘法有关的公式(1)ABA B(2)TTTABB A(3)111ABBA(4)ABB A特别，矩阵乘法可交换的有EAAAAAEAAE*,三、逆矩阵1.定义A，B是n阶方阵，若ABBAE，则称B是A的逆矩阵，记作1AB注 意：可 证 明 若ABE BAE，则1BA2.定理A可逆A为若干初等矩阵的乘积3.性质(1)11AA(2)11TTAA(3)1110AA(4)11AA(5)111ABBA3.逆矩阵的求法(1)伴随矩阵法11AAA(2)112naaa11121naaa112naaa11211naaa其中120na aa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 32 页 -6(3)分块求逆法112nAAA11121nAAA112nAAA11211nAAA(4)初等变换法1A EE A行变1AEEA列变5解矩阵方程(1)AXB，则1XA B，1A BE A B行变(2)XAB，则1XBA，1AEBBA列变(3)AXBC，则11XA CB1A CE A C行变111BEA CA CB列变(4)利用矩阵性质求解四、初等变换1.熟练掌握行初等变换和列初等变换.2.初等矩阵：对单位矩阵进行一次初等变换得到的相应的矩阵.(1),E i j表示ijrr或ijcc，1,E i jE i j(2)E i k表示ikr或ikc，11E i kE ik(3),E i j k表示ijrkr或jickc1,E i j kE i jk注意：1)(,(,)(,1),(kjiEkkiEjiE，故 3 个基本初等方阵可逆3.初等变换与初等矩阵的关系对矩阵 A 作初等行（列）变换对 A 左（右）乘相应的初等矩阵.4.矩阵的等价(1)定义若存在可逆矩阵P，Q使PAQB，则称A与B等价.(2)定理A与B等价AB初等变换.(3)矩阵等价具有反身性、对称性、传递性.(4)常用的等价矩阵.AOAABEBEO列变ABOBB行变ABAOA列变，纯粹考矩阵初等变换的试题很少，但矩阵的初等变换是线性代数中用的最多的一种变换，它在求逆矩阵、求矩阵的秩和向量组的秩、求向量组的极大无关组、求解线性方程组中都有重要应用，所以必须熟练掌握矩阵的初等变换并能应用它来解决相关问题。
五、矩阵的秩1.矩阵 A 的秩rAA的非零子式的最高阶数=行秩=列秩=与 A 等价的行阶梯形矩阵中非零行的行数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 32 页 -7=A 的标准形000rE中rE的阶数2.有关秩的公式和结论(1)0TrArArkAk(2)设mxnA是实矩阵，则TrA ArA证 考虑方程组0AX(1)与0TA AX(2)显然(1)的解必是(2)的解.再证相反的结论.对(2)两边左乘TX得0TTXA AX即0TAXAX(3)设12,TmAXb bb，因A是实矩阵，X是实向量，故AX是实向量，即ib是实数1,2,im.由(3)知210mTiiAXAXb故120mbbb，即0AX说明(2)的解也是(1)的解，于是(1)与(2)同解.所以(1)与(2)的基础解系的解向量的个数相同，即TnrAnrA A也就是TrA ArA(3)若0A，则1rA.AOAABOABrrrEBEOEOnrAB故r Ar BnrAB又,rABrAB Ar O ArAABOr ABrrr BBB故min,rABrAr B(8)设mxnA，nxsB，若0AB，则r Ar Bn（4）)()()(BrArBAr(5)初等变换不改变矩阵的秩(6)若A可逆，则rABr BAr B(7)积 秩 定 理设mxnA，nxsB，则rAr BnrABmin,r Ar B证 因AOrAr BrOB(4)rABr Ar B故rAr BnrAB矩阵的秩是矩阵理论中的一个重要概念，矩阵的秩有几种等价定义，它既指矩阵中非零子式的最高阶数，又指矩阵行向量组的秩，还指矩阵列向量组的秩，矩阵的秩的理论是线性方程组解的理论的核心理论。
有关矩阵的秩的试题常常和向量组的秩、或线性方程组问题、或方阵对角化等问题柔和在一起综合考查名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 32 页 -8 典型题一.矩阵运算.1.矩阵乘法(特殊的求nA)2.1 已知1 11,2,3,1,2 3，设TA，其 中T是的 转 置，则nA .(941)解2TTTTA33TA11 11,232 33T333TTTTA2233TA111113321,2 33nnnAA111123232133312n2.2 设TAE，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，T是的转置，证明：(1)2AA的充要条件是1T；(2)当1T时，A是不可逆矩阵.(961)证 (1)2TTAEE22TTTTTEE2TTE又2AA，即2TTTEE亦即10TT因为是非零列向量，0T，故2AA的充要条件是10T，即1T(2)用反证法.当1T时2AA，若A可逆，则有121A AA A从而AE，这与TAEE矛盾，故A是不可逆矩阵.2.3 设n维行向量11,0,0,22，矩阵TAE，2TBE，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于 .(954)(A)0 (B)E (C)E (D)TE解 注意T为矩阵，而T为数，于是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 32 页 -9 2TTABEE22TTTTE2TTTE122TTEE故正确选项为(C)2.4A是 4 阶矩阵，A中所有元素都是1则433AA（）.(A)4A (B)16A(C)0 (D)A 解 记1,1,1,1T，则TA由于2TTA44TTTA递推地，32434,4AA AA.可得43316AAA.2.5 已 知1 112132122233 13233a ba ba bAa ba ba ba ba ba b,证 明:2AlA,并求l证明:显然121233aAabbba1122123212333aaAabbbabbbaa112123212333aaabbbabbbaa=31iiia bAlA.注:当()1R A时,有2AlA,其 中iila,进一步322AAAlAAl A,1nnAlA.这是求nA的一种方法,2.6 已知:,APPB其中100000001B,100210211P,求A及5A.解 因为P可逆,所以1100200611APBP5511AP B PP B PA注:当A时,求nA易求.2.7 已知:319。